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        直觀想象素養(yǎng)下一道2020高考試題的解法探析

        2020-09-23 02:01:24江智如
        中學數(shù)學研究(江西) 2020年9期
        關(guān)鍵詞:動點切線數(shù)形

        江智如 葉 蓉 蔡 珺

        福建省南平市高級中學 (353000)

        1.試題呈現(xiàn)

        (2020年高考全國Ⅰ卷理科第11題)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0.直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點,過點P作⊙M的切線PA,PB,切點為A,B.當|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為( ).

        A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0

        C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0

        2.試題分析

        試題依托直線與圓的位置關(guān)系,考查圓的切線相關(guān)知識,考生可以從圓的幾何性質(zhì)角度思考求解,通過數(shù)學閱讀,分析試題的圖形信息,運用圓的圖形相關(guān)性質(zhì)結(jié)論,建立數(shù)與形的聯(lián)系,構(gòu)建問題的直觀模型,探索解決問題的方法與思路[1].考查考生數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想和運算求解能力.本文在直觀想象素養(yǎng)下,對本試題的解開展探析.

        3.試題解析

        3.1 幾何法

        思路分析:借助直線與圓的圖象,利用圓的切線幾何性質(zhì)求解.

        圖1

        2,所以⊙M與直線l相離.如圖1作出直線l與⊙M的圖象,連接AB,PM,交于點N.因為PA,PB為⊙M的切線且點P在⊙M外,所以由圓的性質(zhì)得PM⊥AB且點N為AB中點,從而|PM|·|AB|=

        2|PM|·|BN|.又在△PBM中,MB⊥PB,由面積法得|PM|·|BN|=|PB|·

        評析:試題由于動點較多,如果直接采用坐標法求解|PM|·|AB|的最小值,計算量大,不易求解.所以解法1考慮通過圓與直線的圖形關(guān)系,利用圓的切線幾何性質(zhì)與直角三角形的幾何性質(zhì),把兩個“配角”動點A,B化歸轉(zhuǎn)化為“主角”動點P,把問題轉(zhuǎn)化為圓心M到直線l的距離,得到AB∥l關(guān)系,最終得到結(jié)果.由于利用直線與圓的幾何性質(zhì),求解過程中減少計算量,減輕考生的計算負擔,考查考生數(shù)形結(jié)合思想、推理論證能力和運算求解能力.解法1要求考生具有扎實的幾何功底,體現(xiàn)數(shù)學學習的能力與潛能[2],體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能,實現(xiàn)對考生直觀想象素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)的提升.

        3.2 托勒密定理法

        思路分析:因為PM,AB是四邊形PAMB對角線,所以考慮利用托勒密定理求解.

        托勒密(Ptolemy)定理:在任意平面凸四邊形ABCD中,均有AB·CD+AD·BC≥AC·BD,當且僅當A,B,C,D四點共圓時,等號成立.它揭示了平面凸四邊形中對邊和對角線之間的數(shù)量關(guān)系,廣泛應用于解決幾何與代數(shù)的問題[3].

        評析:解法2運用托勒密(Ptolemy)定理把問題轉(zhuǎn)化為|PM|的最小值,然后利用圓的切線性質(zhì)求解最終結(jié)果,計算量小,技巧性強,需要考生具有較強的數(shù)學學習潛能與繼續(xù)學習的能力,體現(xiàn)考生數(shù)學思維與素養(yǎng)的差異.托勒密(Ptolemy)定理雖然不是高中數(shù)學的學習內(nèi)容,但在各類競賽和高考中,都有它的身影,如2008年高考重慶卷理科第4題[3],2018年4月福建省質(zhì)檢理科第16題[3]等,可以引導考生以“高觀”的視角來學習初等數(shù)學,提高學習數(shù)學的興趣,拓寬學習的視野,培養(yǎng)考生自主探究的能力,為考生的繼續(xù)學習打下扎實基礎(chǔ),提升綜合數(shù)學素養(yǎng).

        4.解法啟示

        試題語言精煉,邏輯嚴謹,依托幾何圖形,建立形與數(shù)的聯(lián)系,將圓的定義、圓的切線、弦的性質(zhì)等知識有機結(jié)合起來,在重視對解析幾何基礎(chǔ)理論知識考查的同時,側(cè)重考查了考生數(shù)形結(jié)合思想和化歸轉(zhuǎn)化思想.試題已知條件的設(shè)計符合考生的學習實際,給考生提供了多種分析問題和解決問題的思路,引導考生通過有效的數(shù)學閱讀,利用直觀思維抓住圓的幾何性質(zhì)本質(zhì),在剖析問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上,追求簡潔的解題方法,力求解法來源于教材和已學知識,又高于已有知識,同時能夠區(qū)分不同層次的考生,體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能,符合《課程標準(2017年版)》對解析幾何內(nèi)容的教學要求.在日常的教學實踐中,教師應加強數(shù)形結(jié)合思想的訓練,設(shè)置有效的“精致練習”[4],培養(yǎng)考生獨立思考的習慣,發(fā)展幾何直觀與空間想象能力,增強運用幾何直觀與空間想象思考問題的意識,形成數(shù)學直觀,在具體的情境中感悟事物的本質(zhì).

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