馬進才 王 建 李 萌

河北省邯鄲市第一中學 (056002)

題目已知函數(shù)f(x)=(x+1)[ln(x+1)+m]+n，曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=2x+1.

(1)求m,n的值和f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對任意的x∈[0,+∞),f(x)>kx恒成立，求整數(shù)k的最大值.

(2)法一：(分類討論)由(1)可知f(x)=(x+1)[ln(x+1)+1]，對?x∈[0,+∞),f(x)>kx恒成立，即f(x)-kx>0恒成立.令g(x)=f(x)-kx=(x+1)[ln(x+1)+1]-kx，只需g(x)min>0，則g′(x)=ln(x+1)+2-k≥2-k.

①當k≤2時g′(x)≥0恒成立(當且僅當x=0,k=2時取等號)，此時g(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增，g(x)≥g(0)=1滿足.

②當k>2時，令g′(x)=0,得x=ek-2-1，當x∈(0,ek-2-1),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當x∈(ek-2-1,+∞),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，故g(x)min=g(ek-2-1)=ek-2(k-1)-k(ek-2-1)=-ek-2+k，易知-ek-2+k為減函數(shù)，當k=3時,

-ek-2+k>0；當k=4時-ek-2+k<0，故當k=3時滿足條件.

綜上，整數(shù)k的最大值值為3.

法二：(參變分離+隱零點虛設(shè)根)由題當x=0時滿足條件.

法三：(必要性探路)∵f(x)=(x+1)[ln(x+1)+1]≥kx對?x∈[0,+∞)恒成立，令x=1,即2(ln2+1)≥k,∵ln2≈0.69,k∈Z,∴k≤3.當k=3時，構(gòu)造g(x)=(x+1)[ln(x+1)+1]-3x，只需證明g(x)min≥0即可，此時k是最大符合要求的整數(shù).g′(x)=[ln(x+1)+1]+1-3=ln(x+1)-1，令g′(x)=0,∴x=e-1,∴g(x)在(0,e-1)單調(diào)遞減,(e-1,+∞)單調(diào)遞增,∴g(x)min=g(e-1)=3-e>0,∴kmax=3.