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        分類例說,突破“重圍”

        2020-09-19 09:37:12
        初中生世界 2020年35期
        關(guān)鍵詞:解方程一元二次方程實(shí)數(shù)

        文 吳 凡

        一元二次方程的學(xué)習(xí)是同學(xué)們繼學(xué)習(xí)了一元一次方程、二(三)元一次方程(組)、可化為一元一次方程的分式方程等知識(shí)之后,對(duì)方程的繼續(xù)探究學(xué)習(xí),所以在入手時(shí)較為簡單。在方程求解過程中,借助轉(zhuǎn)化的思想,我們可將一元二次方程降次為一元一次方程來解決,因此前面所學(xué)的解方程的知識(shí)對(duì)本章的學(xué)習(xí)有著很好的鋪墊作用。同時(shí),一元二次方程的學(xué)習(xí)與一元二次不等式、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)也有著極大的關(guān)聯(lián)。我們還能發(fā)現(xiàn)本章的學(xué)習(xí)來自生活實(shí)際,最終又回到了生活實(shí)際,體現(xiàn)了方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的有效模型。

        學(xué)習(xí)中,我們首先要明確本章的具體學(xué)習(xí)目標(biāo):

        1.理解并會(huì)運(yùn)用配方法、公式法、因式分解法解含數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;

        2.會(huì)用一元二次方程根的判別式判別該方程是否有實(shí)數(shù)根以及兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等;

        3.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系;

        4.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,解決實(shí)際問題。

        下面我們結(jié)合具體例題,一起來看看一元二次方程這一章中的主要知識(shí)點(diǎn)及常見考題。

        知識(shí)點(diǎn)1 解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程

        這類題主要考查一元二次方程的解法。一元二次方程的解法主要包括:配方法、公式法和因式分解法等。解決此類問題的基本策略就是降次,即通過配方、因式分解等,將一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解。具體地,通過配方,可將一元二次方程轉(zhuǎn)化為x2=n或(x+m)2=n(n≥0)的形式再求解;一元二次方程的求根公式x=也是對(duì)方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得出的。

        例1(2020·江蘇南京)解方程:x2-2x-3=0。

        【分析】先觀察這個(gè)方程的結(jié)構(gòu),這是一元二次方程,且a=1,b=-2,c=-3,我們可以選擇配方法或者因式分解法來解。

        解法一(配方法):

        移項(xiàng),得x2-2x=3,

        配方,得x2-2x+12=3+12,

        即(x-1)2=4,

        由此可得x-1=±2,

        所以x1=-1,x2=3。

        解法二(因式分解法):

        原方程可變形為(x+1)(x-3)=0,

        x+1=0或x-3=0,

        所以x1=-1,x2=3。

        例2(2019·江蘇揚(yáng)州)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是________。

        【分析】先觀察這個(gè)方程的結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)等號(hào)兩邊都有x-2,我們可以移項(xiàng)為x(x-2)-(x-2)=0,因此可以選擇因式分解法(提取公因式)來求解,或者將這個(gè)方程化成一般式x2-3x+2=0,選擇公式法或配方法來解。

        【答案】x1=2,x2=1。

        知識(shí)點(diǎn)2 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

        此類知識(shí)點(diǎn)主要有兩類考查形式:(1)判斷該方程有幾個(gè)實(shí)數(shù)根或兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否相等;(2)一元二次方程的實(shí)數(shù)根與系數(shù)間有怎樣的關(guān)系。這類題型可通過b2-4ac的符號(hào)來判斷ax2+bx+c=0是否有實(shí)數(shù)根或者有幾個(gè)實(shí)數(shù)根,具體方法如下。

        當(dāng)b2-4ac>0時(shí),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;

        當(dāng)b2-4ac=0時(shí),有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;

        當(dāng)b2-4ac<0時(shí),沒有實(shí)數(shù)根。

        對(duì)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,也可在了解以下知識(shí)的基礎(chǔ)上來解題。

        方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1、x2,那么有

        例3(2019·江蘇淮安)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )。

        A.k<-1 B.k>-1

        C.k<1 D.k>1

        【分析】由信息“方程x2+2x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”可知:當(dāng)b2-4ac>0時(shí),此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。因此b2-4ac=22-4×1×(-k)=4+4k>0,即k>-1,故選B。

        【答案】B。

        例4(2019·江蘇鹽城)關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-2=0(k為實(shí)數(shù))的根的情況是( )。

        A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

        B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

        B.沒有實(shí)數(shù)根

        D.不確定

        【分析】在此題中,b2-4ac=k2-4×1×(-2)=k2+8>0,因此該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,選A。

        【答案】A。

        知識(shí)點(diǎn)3 用一元二次方程解決實(shí)際問題

        一般情況下,我們?cè)谡J(rèn)真審題的基礎(chǔ)上,可以借助表格、圖表等多種手段來厘清題目中的等量關(guān)系,從而建立關(guān)于x的一元二次方程,再通過解此方程來解決實(shí)際問題。

        例5在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng);同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng),幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2?

        【分析】對(duì)于此類實(shí)際問題,我們先要認(rèn)真審題,嘗試找出題目中的等量關(guān)系,再用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來表示它們,最后寫出關(guān)于所設(shè)未知數(shù)的方程,解方程,從而解決問題。在此題中,我們不妨設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm2,然后結(jié)合面積關(guān)系,得到數(shù)量關(guān)系:矩形ABCD的面積-△DAP的面積-△QPB的面積-△QCD的面積=28,從而列出方程。

        解:設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm2,則△DAP,△QPB,△QCD的面積分別

        根據(jù)題意,得

        即x2-6x+8=0,

        解這個(gè)方程,得x1=2,x2=4。

        答:2s或4s后△DPQ的面積等于28cm2。

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