文 吳 凡
一元二次方程的學習是同學們繼學習了一元一次方程、二(三)元一次方程(組)、可化為一元一次方程的分式方程等知識之后,對方程的繼續(xù)探究學習,所以在入手時較為簡單。在方程求解過程中,借助轉(zhuǎn)化的思想,我們可將一元二次方程降次為一元一次方程來解決,因此前面所學的解方程的知識對本章的學習有著很好的鋪墊作用。同時,一元二次方程的學習與一元二次不等式、二次函數(shù)的學習也有著極大的關(guān)聯(lián)。我們還能發(fā)現(xiàn)本章的學習來自生活實際,最終又回到了生活實際,體現(xiàn)了方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的有效模型。
學習中,我們首先要明確本章的具體學習目標:
1.理解并會運用配方法、公式法、因式分解法解含數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;
2.會用一元二次方程根的判別式判別該方程是否有實數(shù)根以及兩個實數(shù)根是否相等;
3.了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系;
4.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程,解決實際問題。
下面我們結(jié)合具體例題,一起來看看一元二次方程這一章中的主要知識點及常見考題。
這類題主要考查一元二次方程的解法。一元二次方程的解法主要包括:配方法、公式法和因式分解法等。解決此類問題的基本策略就是降次,即通過配方、因式分解等,將一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。具體地,通過配方,可將一元二次方程轉(zhuǎn)化為x2=n或(x+m)2=n(n≥0)的形式再求解;一元二次方程的求根公式x=也是對方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得出的。
例1(2020·江蘇南京)解方程:x2-2x-3=0。
【分析】先觀察這個方程的結(jié)構(gòu),這是一元二次方程,且a=1,b=-2,c=-3,我們可以選擇配方法或者因式分解法來解。
解法一(配方法):
移項,得x2-2x=3,
配方,得x2-2x+12=3+12,
即(x-1)2=4,
由此可得x-1=±2,
所以x1=-1,x2=3。
解法二(因式分解法):
原方程可變形為(x+1)(x-3)=0,
x+1=0或x-3=0,
所以x1=-1,x2=3。
例2(2019·江蘇揚州)一元二次方程x(x-2)=x-2的根是________。
【分析】先觀察這個方程的結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)等號兩邊都有x-2,我們可以移項為x(x-2)-(x-2)=0,因此可以選擇因式分解法(提取公因式)來求解,或者將這個方程化成一般式x2-3x+2=0,選擇公式法或配方法來解。
【答案】x1=2,x2=1。
此類知識點主要有兩類考查形式:(1)判斷該方程有幾個實數(shù)根或兩個實數(shù)根是否相等;(2)一元二次方程的實數(shù)根與系數(shù)間有怎樣的關(guān)系。這類題型可通過b2-4ac的符號來判斷ax2+bx+c=0是否有實數(shù)根或者有幾個實數(shù)根,具體方法如下。
當b2-4ac>0時,有兩個不相等的實數(shù)根;
當b2-4ac=0時,有兩個相等的實數(shù)根;
當b2-4ac<0時,沒有實數(shù)根。
對于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,也可在了解以下知識的基礎(chǔ)上來解題。
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1、x2,那么有
例3(2019·江蘇淮安)若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍是( )。
A.k<-1 B.k>-1
C.k<1 D.k>1
【分析】由信息“方程x2+2x-k=0有兩個不相等的實數(shù)根”可知:當b2-4ac>0時,此方程有兩個不相等的實數(shù)根。因此b2-4ac=22-4×1×(-k)=4+4k>0,即k>-1,故選B。
【答案】B。
例4(2019·江蘇鹽城)關(guān)于x的一元二次方程x2+kx-2=0(k為實數(shù))的根的情況是( )。
A.有兩個不相等的實數(shù)根
B.有兩個相等的實數(shù)根
B.沒有實數(shù)根
D.不確定
【分析】在此題中,b2-4ac=k2-4×1×(-2)=k2+8>0,因此該方程有兩個不相等的實數(shù)根,選A。
【答案】A。
一般情況下,我們在認真審題的基礎(chǔ)上,可以借助表格、圖表等多種手段來厘清題目中的等量關(guān)系,從而建立關(guān)于x的一元二次方程,再通過解此方程來解決實際問題。
例5在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B移動;同時,點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C移動,幾秒鐘后△DPQ的面積等于28cm2?
【分析】對于此類實際問題,我們先要認真審題,嘗試找出題目中的等量關(guān)系,再用數(shù)學符號語言來表示它們,最后寫出關(guān)于所設(shè)未知數(shù)的方程,解方程,從而解決問題。在此題中,我們不妨設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm2,然后結(jié)合面積關(guān)系,得到數(shù)量關(guān)系:矩形ABCD的面積-△DAP的面積-△QPB的面積-△QCD的面積=28,從而列出方程。
解:設(shè)xs后△DPQ的面積為28cm2,則△DAP,△QPB,△QCD的面積分別
根據(jù)題意,得
即x2-6x+8=0,
解這個方程,得x1=2,x2=4。
答:2s或4s后△DPQ的面積等于28cm2。