閻躍觀(guān)，代文晨，牛永澤，譙震

中國(guó)礦業(yè)大學(xué)(北京)地球科學(xué)與測(cè)繪工程學(xué)院，北京 100083

礦區(qū)地下開(kāi)采活動(dòng)引起的地表移動(dòng)和變形會(huì)對(duì)地表鐵路、公路及建筑物的安全造成不可忽略的影響?；贕NSS技術(shù)和水準(zhǔn)等測(cè)量方法對(duì)礦區(qū)地表沉降情況進(jìn)行長(zhǎng)期、連續(xù)的監(jiān)測(cè)，并及時(shí)預(yù)測(cè)未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)地表沉降趨勢(shì)，對(duì)保證井下安全生產(chǎn)和地表建(構(gòu))筑物安全具有重要意義。目前常用的預(yù)測(cè)方法主要有Logistic曲線(xiàn)模型、Gompertz曲線(xiàn)模型、Asaoka曲線(xiàn)模型、馬爾科夫模型和 GM(1，1)模型等[1]?；诨疑碚摰腉M(1，1)模型能夠解決貧信息的問(wèn)題，通過(guò)挖掘數(shù)據(jù)內(nèi)部潛在信息，從而達(dá)到高精度預(yù)測(cè)[2]。為此，近年來(lái)許多學(xué)者對(duì)GM(1，1)模型在沉降監(jiān)測(cè)中的應(yīng)用進(jìn)行了研究[3-9]。陳俊杰等[3]利用MATLAB軟件對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行等時(shí)序化處理，使用GM(1，1)模型求得概率積分法參數(shù)并進(jìn)行了相關(guān)分析；李慶勇等[4]建立了非等間距GM(1，1)模型，并通過(guò)實(shí)際應(yīng)用證明了GM(1，1)模型在礦區(qū)沉降監(jiān)測(cè)中具有良好的精度；劉云生[5]對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)改進(jìn)，擴(kuò)大了GM(1，1)模型的適用性；彭正明等[6]基于二次擬合優(yōu)化方法建立了GM(1，1)改正模型，并在實(shí)際應(yīng)用中取得了較好的效果；龔祖官等[7]提出一種采用卡爾曼濾波對(duì)原始序列降噪和利用辛普森公式改正背景值的動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型，并通過(guò)實(shí)例證明動(dòng)態(tài)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度優(yōu)于GM(1，1)模型；趙澤昆等[8]提出了時(shí)間加權(quán)-新陳代謝GM(1，1)模型并應(yīng)用于建筑物沉降預(yù)測(cè)，證明了該模型預(yù)測(cè)精度高于傳統(tǒng)GM(1，1)模型；陶武勇等[9]提出了一種適合非等間距GM(1，1)模型求解的總體最小二乘算法，并改善了GM(1，1)模型中的病態(tài)問(wèn)題。

大量研究證明，GM(1，1)模型可用于建筑物和礦區(qū)地表沉降預(yù)測(cè)。但是，在礦區(qū)地表沉降監(jiān)測(cè)中，地表移動(dòng)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，因而具有長(zhǎng)時(shí)序的外業(yè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)特征，且地表沉降趨勢(shì)和下沉速度均表現(xiàn)為非線(xiàn)性的變化，導(dǎo)致GM(1，1)模型在礦區(qū)沉降監(jiān)測(cè)應(yīng)用中有以下兩個(gè)方面的局限性：一是礦區(qū)地表非線(xiàn)性沉降增大了GM(1，1)模型的模型誤差，降低了預(yù)測(cè)精度；二是在長(zhǎng)時(shí)序數(shù)據(jù)中難以選取合適的數(shù)據(jù)區(qū)間。數(shù)據(jù)區(qū)間的選擇對(duì)模型精度和預(yù)測(cè)精度有重要的影響，但是目前關(guān)于建模數(shù)據(jù)時(shí)序區(qū)間選取的研究尚不多見(jiàn)。

為解決上述問(wèn)題，本文通過(guò)分析礦區(qū)地表非線(xiàn)性沉降特征，建立了GM(1，1)預(yù)計(jì)殘差改進(jìn)模型，提出了適用于礦區(qū)沉降預(yù)測(cè)的建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法、建模預(yù)測(cè)流程和模型精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)，并進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證。

1 礦區(qū)地表非線(xiàn)性沉降特征分析

地下煤層開(kāi)采引起的上覆巖層和地表移動(dòng)變形，影響地面建(構(gòu))筑物的安全。通常，用地表下沉速度反映地表移動(dòng)的劇烈程度，地表下沉速度越大，地表移動(dòng)變形越劇烈。在開(kāi)采過(guò)程中，煤層傾角小于45°時(shí)，依據(jù)下沉速度把地表移動(dòng)變形過(guò)程劃分為3個(gè)階段[10-11]。

(1) 開(kāi)始階段：地表累計(jì)下沉量達(dá)到10 mm至下沉速度達(dá)到1.67 mm/d。

(2) 活躍階段：地表下沉速度大于1.67 mm/d。

(3) 衰退階段：地表下沉速度小于1.67 mm/d至地表下沉累積量(6個(gè)月內(nèi))不超過(guò)30 mm。

地表的下沉量主要集中在活躍階段，此階段的下沉量占總下沉量的85%以上[12]。

依據(jù)上述3個(gè)階段作出地表移動(dòng)階段的速度變化曲線(xiàn)圖(圖1)。圖中，區(qū)間Ⅰ對(duì)應(yīng)開(kāi)始階段，區(qū)間Ⅱ和Ⅲ對(duì)應(yīng)活躍階段，區(qū)間Ⅳ對(duì)應(yīng)衰退階段。

圖1 地表移動(dòng)階段示意圖Fig.1 Sketch map of surface movement stage

當(dāng)煤層傾角大于45°時(shí)，劃分地表移動(dòng)階段的下沉速度為1 mm/d[10]。

由圖1可以看出，在地表移動(dòng)過(guò)程中，下沉速度的變化在時(shí)間上是連續(xù)的：區(qū)間Ⅰ內(nèi)下沉速度較小，始終小于1.67 mm/d；區(qū)間Ⅱ內(nèi)下沉速度由小逐漸增大，直到最大值；區(qū)間Ⅲ內(nèi)，下沉速度從最大逐漸減小，直到1.67 mm/d；區(qū)間Ⅳ中下沉速度也是逐漸減小，地表下沉趨于穩(wěn)定。由分析可知，地表點(diǎn)下沉速度總體表現(xiàn)為先增大后減小的非線(xiàn)性變化特征，相應(yīng)的地表沉降也表現(xiàn)為非線(xiàn)性變化。由圖1還可看出，四個(gè)區(qū)間內(nèi)的下沉速度變化趨勢(shì)各不相同，地表下沉加速度在區(qū)間Ⅰ內(nèi)由小逐漸增大，在區(qū)間Ⅱ中期附近達(dá)到最大(記作tamax)然后開(kāi)始減小，在速度達(dá)到最大時(shí)(記作tvmax)減小為零；區(qū)間Ⅲ內(nèi)下沉速度開(kāi)始減小，此時(shí)加速度由0開(kāi)始相對(duì)于區(qū)間Ⅱ反向逐漸增大，在區(qū)間Ⅲ中期附近達(dá)到最大后加速度逐漸減?。粎^(qū)間Ⅳ內(nèi)下沉速度越來(lái)越小，加速度也是逐漸減小。因此，在礦區(qū)地表非線(xiàn)性沉降監(jiān)測(cè)中，可以參考當(dāng)前時(shí)刻所屬階段的下沉速度和加速度變化特征選取數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。

2 GM(1，1)改進(jìn)模型及精度評(píng)定

在預(yù)測(cè)工作中，一般都是先通過(guò)探究已有觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律確定合適的模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)[13-18]。但是在非線(xiàn)性沉降的礦區(qū)地表監(jiān)測(cè)中，始終受到模型誤差的困擾。為減小建模誤差對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響、提高預(yù)測(cè)精度，本文建立了GM(1，1)預(yù)計(jì)殘差改進(jìn)模型，對(duì)模型殘差進(jìn)行加權(quán)改正，同時(shí)提出了針對(duì)礦區(qū)地表非線(xiàn)性沉降的建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法、建模預(yù)測(cè)流程和模型精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。

2.1 GM(1，1)改進(jìn)模型建立

受測(cè)量環(huán)境和天氣等因素影響，很難確保外業(yè)測(cè)量數(shù)據(jù)為嚴(yán)格的等時(shí)間序列，因此建模之前需要對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)作等時(shí)序化處理，并將高程值轉(zhuǎn)換為累計(jì)下沉值作為建模數(shù)據(jù)。

(1) 對(duì)所選取的建模數(shù)據(jù)進(jìn)行累加處理。由

x0(m)，x0(m+1)，x0(m+2)，…，x0(n)

得

x1(m)，x1(m+1)，x1(m+2)，…，x1(n)

其中

m>>1，n>>m+3

(2) 建立白化形式微分方程。將累加處理結(jié)果對(duì)時(shí)間t求一次偏導(dǎo)，得

(1)

式(1)記為GM(1，1)。其中，a、u為灰參數(shù)，其白化值(灰區(qū)間中的一個(gè)可能值)為

(3)利用最小二乘法求解微分方程：

(2)

Yn=[x(0)(m+1)，x(0)(m+2)，…，x(0)(n)]

(4) 對(duì)模型誤差加權(quán)改正，得到改正后殘差：

(3)

k=m，m+1，m+2，…，n

(5) 將式(2)代入式(1)得到時(shí)間函數(shù)，經(jīng)過(guò)累減處理和殘差改正，建立GM(1，1)改進(jìn)模型。

2.2 建模區(qū)間的選取和預(yù)測(cè)流程

2.2.1 建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法

針對(duì)礦區(qū)地表移動(dòng)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)、具有長(zhǎng)時(shí)序的外業(yè)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)、下沉速度和地表沉降均表現(xiàn)非線(xiàn)性變化的特點(diǎn)，提出了先階段后截尾的建模數(shù)據(jù)選取方法。該方法先按照下沉速度劃分階段，再依據(jù)速度的變化趨勢(shì)即加速度確定建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取。

設(shè)時(shí)刻ti、tj、tk、tl分別位于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個(gè)下沉階段，tamax為階段Ⅱ中期附近的最大加速度時(shí)刻，tvmax為最大下沉速度時(shí)刻，t-amax為階段Ⅲ中期附近的反向加速度最大時(shí)刻。

已知當(dāng)前時(shí)刻ti處于下沉階段Ⅰ內(nèi)，根據(jù)階段劃分標(biāo)準(zhǔn)和下沉速度變化曲線(xiàn)，可以確定ti時(shí)刻的下沉速度小于1.67 mm/d，且下沉加速度小于1.67 mm/d2，地表沉降量較小，按照GM(1，1)模型建模最低要求，只需截取最后4次數(shù)據(jù)(ti-3，ti-2，ti-1，ti)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。

時(shí)刻tk位于活躍階段Ⅲ內(nèi)且tvmax<

時(shí)刻tl位于衰退階段Ⅳ內(nèi)，下沉加速度小于1.67 mm/d2且下沉速度小于1.67 mm/d，該階段的地表下沉量也比較小，截取該階段最后4次數(shù)據(jù)建模預(yù)測(cè)。

當(dāng)下沉加速度達(dá)到最大后逐漸減小趨近于0時(shí)，下沉速度即將達(dá)到最大，此時(shí)截取tamax，…，tj-1，tj區(qū)間(對(duì)應(yīng))的數(shù)據(jù)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，同時(shí)還可以加密觀(guān)測(cè)次數(shù)，以保證礦區(qū)安全生產(chǎn)和為探究地表移動(dòng)規(guī)律提供充足數(shù)據(jù)。

2.2.2 GM(1，1)改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)流程

(1) 利用MATLAB軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值處理，得到等時(shí)序的累計(jì)沉降數(shù)據(jù)。

(2) 計(jì)算下沉速度，并依據(jù)下沉階段速度標(biāo)準(zhǔn)劃分為相應(yīng)的階段。下沉速度計(jì)算公式：

式中，v為地表下沉速度；Δh為Δt時(shí)間內(nèi)的高程變化。

(3) 根據(jù)建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法，確定建模數(shù)據(jù)區(qū)間。

(4) 根據(jù)2.1節(jié)建立的改進(jìn)模型進(jìn)行建模、模型殘差加權(quán)改正。

(5) 模型精度評(píng)定和進(jìn)行預(yù)測(cè)。

2.3 模型精度評(píng)定

GM(1，1)模型常用的模型精度評(píng)定方法主要有殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)3種[19-24]。GM(1，1)改進(jìn)模型精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)由相對(duì)誤差Q、后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P共同確定。評(píng)定過(guò)程如下：

(1) 計(jì)算殘差e(k)。

k=m，m+1，m+2，…，n

(2) 計(jì)算原始序列x0(k)和殘差e的方差s12和s22。

(3)計(jì)算相對(duì)誤差Q、后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P。

C=s2/s1

P={|e(k)|<0.6745s1}

(4)按照表1內(nèi)容對(duì)模型進(jìn)行精度評(píng)定。模型精度等級(jí)按下式確定：

模型精度等級(jí)=max{Q所在的級(jí)別，P所在的級(jí)別，C所在的級(jí)別}

表1 精度檢驗(yàn)等級(jí)參照

3 實(shí)例應(yīng)用分析

為探究我國(guó)西部礦區(qū)地表沉降動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，對(duì)某礦工作面的走向和傾向觀(guān)測(cè)線(xiàn)進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的外業(yè)觀(guān)測(cè)。本文以該工作面走向線(xiàn)Z16號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)為例，探討GM(1，1)模型和GM(1，1)預(yù)計(jì)殘差改進(jìn)模型的精度，驗(yàn)證建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法的有效性。首先，利用MATLAB工具對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)作插值處理，得到了Z16號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)26期等時(shí)序的累計(jì)沉降數(shù)據(jù)序列(表2)，時(shí)序代表初始觀(guān)測(cè)后的觀(guān)測(cè)次數(shù)，時(shí)序26對(duì)應(yīng)的累計(jì)沉降量為348.1 mm。然后，按照建模預(yù)測(cè)流程分別使用GM(1，1)模型和GM(1，1)預(yù)計(jì)殘差改進(jìn)模型進(jìn)行建模預(yù)測(cè)，得到 GM(1，1)模型和GM(1，1)改進(jìn)模型的相對(duì)誤差Q、后驗(yàn)差比值C和小誤差概率P等精度參數(shù)。

由表2可知，時(shí)序11對(duì)應(yīng)的累計(jì)沉降量 10.2 mm，地表移動(dòng)已處于開(kāi)始階段，利用GM(1，1)模型和GM(1，1)預(yù)計(jì)殘差改進(jìn)模型分別對(duì)相同區(qū)間的數(shù)據(jù)(以區(qū)間11-25為例)進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。上述建模對(duì)應(yīng)的建模數(shù)據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度、預(yù)測(cè)結(jié)果和殘差相對(duì)誤差等結(jié)果見(jiàn)表3。此外，由于當(dāng)前時(shí)刻位于活躍階段Ⅱ內(nèi)且時(shí)序數(shù)據(jù)少，利用試驗(yàn)法對(duì)區(qū)間11-25內(nèi)的所有數(shù)據(jù)依次進(jìn)行建模，探討不同建模數(shù)據(jù)區(qū)間和模型精度的關(guān)系和驗(yàn)證建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法的有效性，各個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)的模型精度參數(shù)和預(yù)測(cè)值等結(jié)果見(jiàn)表4。

表2 Z16號(hào)監(jiān)測(cè)點(diǎn)等時(shí)序累計(jì)下沉觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)

表3 GM(1，1)模型和GM(1，1)改進(jìn)模型預(yù)測(cè)結(jié)果

表4 對(duì)不同區(qū)間數(shù)據(jù)的建模預(yù)測(cè)結(jié)果

由表3可知，通過(guò)對(duì)同一區(qū)間11-25建模，GM(1，1)預(yù)計(jì)殘差改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)殘差比GM(1，1)模型小17.1 mm，相對(duì)誤差減小了4.9%。可見(jiàn)，GM(1，1)預(yù)計(jì)殘差改進(jìn)模型精度優(yōu)于GM(1，1)模型。

比較表4中建模數(shù)據(jù)區(qū)間11-25和區(qū)間 14-25對(duì)應(yīng)模型精度和預(yù)測(cè)結(jié)果可得，模型精度的Q、C和P都得到了提高，模型精度提高10%，預(yù)測(cè)精度提高約5%。由建模數(shù)據(jù)區(qū)間14-25至22-25的結(jié)果可得，隨著建模數(shù)據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度減小，相對(duì)誤差Q由22.5%降至0.9%，后驗(yàn)差比值C由0.17降至0.03，模型誤差由23.9%降低到0.08%，模型等級(jí)由“不合格”變成“好”，模型精度得到了顯著提高，證明了建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法的有效性。此外，還計(jì)算了建模數(shù)據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度與模型精度的相關(guān)性，相關(guān)系數(shù)為0.98，證明建模區(qū)間長(zhǎng)度和模型精度具有很強(qiáng)的相關(guān)性，建模數(shù)據(jù)區(qū)間越短，數(shù)據(jù)距離預(yù)測(cè)時(shí)刻的時(shí)間距離越小，更能真實(shí)反應(yīng)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)。

4 結(jié) 論

針對(duì)GM(1，1)模型在礦區(qū)非線(xiàn)性沉降應(yīng)用中模型誤差大和預(yù)測(cè)精度低的問(wèn)題，建立了基于預(yù)計(jì)殘差加權(quán)改正的GM(1，1)改進(jìn)模型，提高了預(yù)測(cè)精度。

針對(duì)礦區(qū)地表非線(xiàn)性沉降預(yù)測(cè)中建模數(shù)據(jù)區(qū)間難以選取的問(wèn)題，提出了建模數(shù)據(jù)選取方法、預(yù)測(cè)流程和精度評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。

通過(guò)實(shí)例應(yīng)用證明，在GM(1，1)預(yù)計(jì)殘差改進(jìn)模型預(yù)測(cè)精度優(yōu)于GM(1，1)模型；先階段后截尾的建模數(shù)據(jù)區(qū)間選取方法解決了礦區(qū)非線(xiàn)性沉降監(jiān)測(cè)中建模數(shù)據(jù)難以選取的問(wèn)題。