文劉麗芳
大家好,我是一個(gè)三角形。但我不是一個(gè)孤獨(dú)的三角形,我有許多兄弟,不管在哪一定有我的同胞,也就是總會(huì)有三角形和我一模一樣。人們管我們叫全等三角形。
人們把形狀相同、大小相同、能夠完全重合的三角形叫作全等三角形。進(jìn)入八年級(jí)后,大家就要研究我們了。無論我的同胞在哪,以什么姿態(tài)出現(xiàn),我們的形狀和大小都是相同的,在經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)(圖形的三大變換)后,我們可以完全重合。
如果把兩個(gè)全等的三角形重合到一起,重合的頂點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),重合的邊叫作對(duì)應(yīng)邊,重合的角叫作對(duì)應(yīng)角。
我們的“對(duì)應(yīng)邊”“對(duì)應(yīng)角”分別相等,“對(duì)應(yīng)邊上的中線、角平分線、高線”也分別相等。事實(shí)上,我們的周長(zhǎng)、面積也分別相等。
我和我的同胞有特殊的語(yǔ)言。我是△ABC,若△DEF與我全等,我們可以表示為△ABC≌△DEF(如圖1)。一旦我們使用了語(yǔ)言“≌”,就說明我們的對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了:一是頂點(diǎn)對(duì)應(yīng),點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E、點(diǎn)C與點(diǎn)F對(duì)應(yīng);二是邊與邊對(duì)應(yīng),AB與DE、BC與EF、AC與DF對(duì)應(yīng)。但如果我們表示成“△ABC與△DEF全等”,那么我們的對(duì)應(yīng)關(guān)系就是不確定的。
運(yùn)用全等三角形的定義可以判定我們?nèi)?,但這樣有時(shí)比較麻煩。人們發(fā)現(xiàn)了一些簡(jiǎn)單方法,如兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等,兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等,兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等,三邊分別對(duì)應(yīng)相等,都能判定我和兄弟們?nèi)?,它們依次?jiǎn)稱為“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”。此外,對(duì)于特殊的三角形還可以特別對(duì)待。如對(duì)于兩個(gè)直角三角形,若一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等,就可以直接判定他們?nèi)龋?jiǎn)稱為“HL”。
別看我們的判定方法多,其實(shí)還是有一定規(guī)律的。通過三角形位置變換:平移、翻折、旋轉(zhuǎn),能很方便就找到兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)相等的元素。
平移:將其中一個(gè)三角形沿某一直線平移一定距離,與另一個(gè)三角形相互重合,從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的邊和角。如圖2、圖3,△DEF是由△ABC向右平移而得,從而有DE=AB、EF=BC、DF=AC。
翻折:將其中一個(gè)三角形沿某一條直線翻折,與另一個(gè)三角形相互重合,從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的邊和角。如圖4,△DBC是由△ABC沿BC翻折而得,從而有BD=AB、DC=AC;同樣,圖 5—圖 8中的△DFE都是由△ABC沿某條直線翻折得到的。
旋轉(zhuǎn):將其中一個(gè)三角形繞某一點(diǎn),向某一方向旋轉(zhuǎn)一定角度后,與另一個(gè)三角形相互重合,從而發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)相等的邊和角。如圖9、圖10,△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度而得。同學(xué)們可以試著找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。
判定我們?nèi)鹊穆肪€圖如下:
此外,用我們的判定方法和性質(zhì),可以證明兩個(gè)角相等或兩條線段相等。如果要證明兩個(gè)角或兩條線段的數(shù)量或大小關(guān)系,同學(xué)們可要想到我們哦!