馬朝陽(yáng)　華云松　周磊

摘要：為了對(duì)倒立擺進(jìn)行準(zhǔn)確快速的控制，根據(jù)牛頓力學(xué)原理建立一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用MATLAB對(duì)該系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。運(yùn)用模糊控制理論設(shè)計(jì)基于融合函數(shù)的模糊控制器、串聯(lián)模糊控制器和模糊PID控制器，并在MATLAB上建立SIMULINK仿真模型進(jìn)行模擬仿真，最后對(duì)設(shè)計(jì)的三種控制器的控制效果進(jìn)行分析比較。仿真結(jié)果表明：對(duì)于一級(jí)倒立擺，基于融合函數(shù)的模糊控制器和串聯(lián)模糊控制器分別能在2.5秒和2秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定，而模糊PID的控制方法會(huì)使倒立擺在1秒內(nèi)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，明顯優(yōu)于其他兩種方法。

關(guān)鍵詞：一級(jí)倒立擺;融合函數(shù);模糊控制器;模糊PID

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-8228（2020）08-01 -05

0引言

倒立擺系統(tǒng)成本低，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，并且能夠反映被控系統(tǒng)的鎮(zhèn)定性等性能參數(shù)，因此倒立擺系統(tǒng)的研究在控制領(lǐng)域方面著發(fā)揮著十分重要的意義[1-2]。

研究設(shè)計(jì)三種模糊控制器，建立仿真模型，通過調(diào)節(jié)參數(shù)，對(duì)倒立擺進(jìn)行仿真控制，然后分析比較這幾種控制器的控制效果。

1 數(shù)學(xué)建模與性能分析

1.1 建立數(shù)學(xué)模型

一級(jí)倒立擺忽略空氣阻力和各種摩擦后，可抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)[3]，如圖l所示。

圖1中M為小車質(zhì)量，m為擺桿質(zhì)量，l為擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，F(xiàn)為加在小車上的力，x為小車位置，φ為擺桿與垂直向上方向的夾角，圖2中6為小車摩擦系數(shù)，圖3中I為擺桿慣量，θ表示擺桿與垂直向下方夾角（擺桿初始位置向下）。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平方向和垂直方向的分量。

對(duì)小車水平方向所受合力進(jìn)行分析得到：

對(duì)擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到：

把式（2）代入式（l），就得到第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程：

對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析可以得到：

設(shè)θ=π+φ（φ是擺桿與垂直向上方向之間夾角），假設(shè)φ與1（單位是弧度）相比很小，即φ<<1，則可以進(jìn)行近似地處理為：cos θ=-1，sinθ=○，θ=0。

用a來代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后，兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：

由文獻(xiàn)[4]知小車質(zhì)量M=l.096Kg，擺桿質(zhì)量m=0.109Kg，小車摩擦系數(shù)b=0.1N/m/sec，擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度1=0.25m.擺桿慣量I=0.0034kg*m*m，將參數(shù)代入式（9），可得以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程：

1.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性、能控性分析

穩(wěn)定性就是指偏離平衡狀態(tài)的受擾運(yùn)動(dòng)能否只依靠系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)因素而返回到平衡狀態(tài)，或限制在它的一個(gè)有限鄰域內(nèi)[5]。

利用MATLAB調(diào)用函數(shù)eig（A），來求解系統(tǒng)的極點(diǎn)，結(jié)果如圖4所示，可知此系統(tǒng)不穩(wěn)定。

通過MATLAB命令ctrb（A，B）可以得到可控性矩陣，結(jié)果如圖5所示，能控性矩陣滿秩，所以一級(jí)倒立擺系統(tǒng)是完全能控的。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于融合函數(shù)的模糊控制器

將融合技術(shù)與模糊控制相結(jié)合，分別把狀態(tài)變量位移x和角度φ，速度x和角速度φ通過融合函數(shù)融合成偏差E和偏差變化率EC，然后通過調(diào)節(jié)比例因子和量化因子，實(shí)現(xiàn)倒立擺的穩(wěn)定。模糊控制器結(jié)構(gòu)圖如圖6所示。

取誤差E和誤差變化率EC的論域分別是X=[-6，6]，Y=[-6，6]，輸出論域?yàn)?=[-6，6]。取模糊子集為NB，NM，NS，ZE，PS，PM，PB。輸入輸出模糊子集相同。根據(jù)輸入輸出論域上的模糊語言變量劃分，可以設(shè)計(jì)模糊規(guī)則表見表l。

在MATLAB里建立仿真模型，如圖7所示。

2.2 串聯(lián)模糊控制器

將小車位置和速度作為位置模糊控制器的輸入，將輸出乘以一個(gè)廣義角與小車角度一起作為角度和角速度當(dāng)作角度模糊控制器的輸入，系統(tǒng)控制力作為輸出量，以此構(gòu)成一個(gè)串聯(lián)模糊控制器來控制倒立擺[6-8]。

首先建立位置模糊控制器規(guī)則，把小車位置和位置變化率即速度劃分為7個(gè)等級(jí)級(jí)即NB，NM，NS，ZE，PS，PM，PB，并取模糊論域?yàn)閇-6，6]。位置模糊控制器規(guī)則見表2。

建立角度模糊控制器，把小車角度和角度變化率即角速度也劃分為同樣的7個(gè)等級(jí)即NB，NM，NS，ZE，PS，PM，PB，并取模糊論域[-6，6]。角度模糊控制器規(guī)則見表3。

在MATLAB里建立仿真模型，如圖8所示。

2.3 模糊PID控制器

以傳統(tǒng)PID控制器作為基礎(chǔ)，把偏差作為PID控制部分的輸入[9]，把偏差和偏差變化率當(dāng)作模糊控制部分的輸入，然后將模糊控制部分的三個(gè)輸出AKp、AKi、△Kd相對(duì)應(yīng)與PID控制部分的輸出進(jìn)行相加后，利用綜合結(jié)果對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制。模糊PID控制器的結(jié)構(gòu)圖如圖9所示。

為了控制PID控制器的三個(gè)參數(shù)，要設(shè)計(jì)三個(gè)模糊控制器輸出對(duì)PID參數(shù)調(diào)整[10]。由于偏差較大時(shí)，適合選取較大的Kp和較小的Kd，可使系統(tǒng)響應(yīng)加快，為防止超調(diào)較大可限制積分作用;偏差較小時(shí)，適合選用較大的Kp和Ki，可改善系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能[11];偏差介于這兩者之間時(shí)應(yīng)用較小的Kd，減小系統(tǒng)超調(diào)。由此得到模糊規(guī)則，見表4、表5、表6。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了比較設(shè)計(jì)的三種控制的控制效果，此部分對(duì)控制器進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

3.1 基于融合函數(shù)的模糊控制器實(shí)驗(yàn)

設(shè)初始狀態(tài)為[0.0l;0;0;0]，狀態(tài)方程設(shè)置為A=[O1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0]，B=[0;l;0;3]，C=[1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1]，D=[0;0;0;0]。設(shè)置好以上參數(shù)后，對(duì)兩化因子Ke、Kec和比例因子Ku進(jìn)行調(diào)整。

經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，確定當(dāng)Ke=15，Kec=20，Ku=5時(shí)，基于融合函數(shù)的模糊控制器控制效果最好，能在2.5秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定，如圖ll所示。

3.2 串聯(lián)模糊控制器實(shí)驗(yàn)

設(shè)初始狀態(tài)為[0.01;0;0;0]。經(jīng)過實(shí)驗(yàn)測(cè)試確定當(dāng)取KEl=6， KECl=6， KUl=0.03， KE2=20， KEC2=3，KU2=5，串聯(lián)模糊控制器仿真效果最好，會(huì)在2秒內(nèi)使系統(tǒng)穩(wěn)定，如圖12所示。

3.3 模糊PID控制器實(shí)驗(yàn)

設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為[0;0;0.01;0]，PID控制器的初始值Kp=300，Ki=600，Kd=40，初始值Ke=0.075，Kec=0.6，△Kp、△Ki、△Kd的初始值為0.067、0.01、0.5。

經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)試當(dāng)取Kp=-300，Ki=-100，Kd=-50時(shí)模糊PID控制效果最好，可以在1秒內(nèi)使倒立擺的穩(wěn)定，如圖13所示。

4 結(jié)束語

本研究對(duì)設(shè)計(jì)的三種控制器進(jìn)行仿真測(cè)試，仿真結(jié)果表明，這三種方法都能使倒立擺穩(wěn)定，但是基于融合函數(shù)的模糊控制器的控制效果最差，能在2.5秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定;串聯(lián)模糊控制器次之，能在2秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定;模糊PID控制器的控制效果明顯比其他兩種控制器優(yōu)秀，能在1秒內(nèi)使倒立擺穩(wěn)定。

對(duì)于倒立擺的穩(wěn)定控制研究，可以將其應(yīng)用到機(jī)器人行走中。由于本研究中的參數(shù)都需要手動(dòng)測(cè)試調(diào)節(jié)，所以后面進(jìn)一步研究參數(shù)自適應(yīng)，使其能夠適應(yīng)于更多場(chǎng)合。

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作者簡(jiǎn)介：馬朝陽(yáng)（1995-），男，江蘇徐州市人，碩士研究生，主要研究方向：機(jī)器視覺、機(jī)器人控制。

通訊作者：華云松（197卜），男，上海人，副教授，主要研究方向：自動(dòng)測(cè)量與檢測(cè)技術(shù)。