◎劉 楊 劉 君 （北華大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，吉林 吉林 132013）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在第三部分“課程內(nèi)容”第三學(xué)段（7－9 年級(jí)）圖形與幾何中明確指出：“探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.”為了達(dá)到這一目標(biāo)，教師在設(shè)置習(xí)題時(shí)應(yīng)遵循“精選、多變、巧練”的原則，通過典型例題的講解練習(xí)使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三.教師要充分利用典型例題在教學(xué)中產(chǎn)生的效力，一方面讓學(xué)生透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)，熟練地運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本技能，另一方面培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生能夠扎實(shí)地應(yīng)用，積累更多數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).下面筆者列舉四類典型習(xí)題，將勾股定理和四種數(shù)學(xué)解題思想聯(lián)系起來，讓學(xué)生在典型例題中形成強(qiáng)有力的知識(shí)正遷移.

案例1 利用勾股定理列方程求線段的長(zhǎng)（方程思想）.

如圖1 所示，在平靜的湖面上，有一朵美麗的紅蓮，它高出水面3 尺，一陣大風(fēng)吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動(dòng)的水平距離為6 尺 ，問此處水深多少.

圖1

分析在利用方程解決實(shí)際問題時(shí)，最重要的是找出已知量和未知量，以及它們之間存在的等量關(guān)系.

根據(jù)題干我們可知：已知量為AB＝ 3，A1B＝6，AC＝A1C，未知量為BC.此時(shí)我們?nèi)粼O(shè)水深BC為x尺，則AC＝A1C＝（x＋3） 尺.在 Rt△A1BC中，由勾股定理可得A1B2＋BC2＝A1C2，可列方程 62＋x2＝（x＋3）2，解得x＝4.5，即水深 4.5 尺.

總結(jié)遇到上面這類實(shí)際問題時(shí)，我們首先把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后根據(jù)題意分析數(shù)量關(guān)系，在示意圖中體現(xiàn)已知量和未知量，找出等量關(guān)系，最后設(shè)出未知數(shù)，應(yīng)用勾股定理構(gòu)建方程，求出結(jié)果.這類典型例題是為了讓學(xué)生學(xué)會(huì)從生活實(shí)際問題中抽象出直角三角形的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀及建模能力，并體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活又應(yīng)用于生活.勾股定理的表達(dá)式是一個(gè)等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程.通過解答這道題目，我們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)和方法，再遇到這類求線段長(zhǎng)的問題時(shí)就可以利用勾股定理來解題了.

案例2 利用勾股定理求面積（類比思想）.

（1）如圖2 所示，分別以直角三角形的三邊為邊向外側(cè)作正方形，其面積分別記為S1，S2和S3.已知S2，S3的值分別是 9 和 4，求S1的值.

（2）如圖3 所示，分別以直角三角形的三邊為邊向外側(cè)作等邊三角形，其面積分別記為S1，S2和S3，求S1，S2和S3之間的數(shù)量關(guān)系表達(dá)式.

（3）若分別以直角三角形的三邊為直徑向外側(cè)作半圓，如圖4 所示，則（2）中所求得的表達(dá)式依然成立嗎？

圖2

圖3

圖4

分析（1）由正方形的面積公式可知：S2＝a2＝ 9，S3＝b2＝ 4.在直角三角形中，由勾股定理可知：a2＋b2＝c2.故S1＝c2＝a2＋b2＝S2＋S3＝ 9＋4＝13.

總結(jié)本題的解題關(guān)鍵是重點(diǎn)掌握特殊圖形的面積公式以及靈活運(yùn)用勾股定理.這一組題的設(shè)置目的主要是讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中的類比思想，不論題目如何變化，解題的思路是不變的.通過對(duì)此類型題的訓(xùn)練，學(xué)生能達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的，能主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)規(guī)律并對(duì)其進(jìn)行探究，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力.

案例3 勾股定理與三角形周長(zhǎng)問題（分類討論思想）.

在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)是多少？

分析周長(zhǎng)等于所有邊長(zhǎng)之和，因此本題需要先求出這個(gè)三角形第三條邊BC的長(zhǎng)度.由于并未說明△ABC是何種類型的三角形，因此高AD的位置有兩種情況：可在三角形的內(nèi)部，也可在三角形的外部.接下來我們需對(duì)這兩種情況進(jìn)行討論：

當(dāng)高AD在三角形內(nèi)部時(shí)，如圖5 所示.在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝ 12，由勾股定理可求得在 Rt△ABD中，AB＝ 13，AD＝ 12，由勾股定理可求得則BC＝CD＋BD＝9＋5＝14，所以△ABC的周長(zhǎng)為AC＋AB＋BC＝15＋13＋14＝42.

圖5

圖6

當(dāng)高AD在三角形外部時(shí)，如圖6 所示.在Rt△ACD中，AC＝15，AD＝ 12，由勾股定理可求得在 Rt△ABD中，AB＝ 13，AD＝ 12，由勾股定理可求得則BC＝CD－BD＝9－5＝4，所以△ABC的周長(zhǎng)為AC＋AB＋BC＝15＋13＋4＝32.

綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為42 或32.

總結(jié)讀題時(shí)要看清題干中是否含有“如圖所示”等字樣.若給出圖形，則按照所給圖形進(jìn)行分析解答即可；但若未給出圖形，自己畫圖時(shí)需要考慮多種情況.本題的解題關(guān)鍵是在三角形形狀不明的情況下利用勾股定理求出第三邊的長(zhǎng)，題干中出現(xiàn)了“高”這一關(guān)鍵詞，而三角形的形狀又會(huì)影響三角形高的位置，所以需要對(duì)高的位置進(jìn)行分類討論.本題旨在讓學(xué)生理解：應(yīng)用勾股定理時(shí)，若圖形未知，需要自己作圖，則一定要考慮多種情況，并進(jìn)行分類討論.分類討論時(shí)要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，避免遺漏或重復(fù).分類討論思想是處理數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的一種思想方法.這道題可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的條理性、靈活性及縝密性.掌握方法后，學(xué)生對(duì)類似題型可以全面規(guī)范地解答，有效提高處理習(xí)題的準(zhǔn)確性.

案例4 勾股定理與立體幾何中的最短路徑問題（轉(zhuǎn)化思想）.

如圖7 所示，一只螞蟻從放在桌面上的實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)G處，其中AB＝ 4，BC＝ 2，BF＝1，螞蟻爬過的最短距離是多少？

圖7

分析想要求螞蟻爬過的最短距離，我們需要把立體圖形展開成平面圖形，找到起點(diǎn)和終點(diǎn)，然后根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”找到最短路徑.這樣就將立體圖形中最短路徑問題轉(zhuǎn)化成了平面圖形中利用勾股定理求斜邊長(zhǎng)的問題.由于展開有多種情況，所以我們要分情況討論頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)G的距離.

當(dāng)從右側(cè)展開時(shí)，如圖8 所示.在長(zhǎng)方體中可知：BC′＝BC＝2，AB＝4，C′G1＝CG＝BF＝ 1，AC′＝AB＋BC′＝ 4＋2 ＝ 6.在Rt△AC′G1中， 由 勾 股 定 理 可 得

當(dāng)從上側(cè)展開時(shí)，如圖9 所示.在長(zhǎng)方體中可知：FG2＝FG＝BC＝ 2，BF＝ 1，AB＝ 4，BG2＝BF＋FG2＝ 1 ＋ 2 ＝ 3.在Rt△ABG2中， 由 勾 股 定 理 可 得

圖8

圖9

當(dāng)從左側(cè)展開時(shí)，如圖 10 所示.在長(zhǎng)方體中可知：C′D′＝CD＝AB＝4，AD′＝AD＝BC＝ 2，AC′＝AD′＋C′D′＝ 2＋4 ＝6，C′G3＝BF＝ 1.在 Rt△AC′G3中，由勾股定理可得：AG3＝

圖10

當(dāng)從左上側(cè)展開時(shí)，如圖11所示.在長(zhǎng)方體中可知：EF′ ＝EF＝AB＝ 4，F(xiàn)′G4＝FG＝BC＝ 2，AF′＝AE＋EF′ ＝ 1 ＋ 4 ＝ 5.在 Rt△AF′G4中，由勾股定理可得：

圖11

總結(jié)立體幾何中的最短路徑問題是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，解決此類問題可分三步：展、畫、求.“展”即將立體圖形展開為平面圖形，并明確立體圖形中有關(guān)的點(diǎn)與線段在平面展開圖中相對(duì)應(yīng)的位置；“畫”即連接起點(diǎn)與終點(diǎn)，畫出最短線段；“求”即在直角三角形中根據(jù)勾股定理求出最短距離.在求解本題時(shí)，應(yīng)注意長(zhǎng)方體的平面展開圖有多種情況，因此，為了求螞蟻爬過的最短距離，需要對(duì)所有可能的情況進(jìn)行討論并計(jì)算，通過比較確定最短路徑，得出最短距離.本題利用勾股定理解決立體幾何問題，培養(yǎng)了學(xué)生的空間觀念，結(jié)合數(shù)學(xué)中的分類討論思想，加深了學(xué)生對(duì)勾股定理和轉(zhuǎn)化思想的理解與運(yùn)用.

結(jié)束語

勾股定理被稱為“千古第一定理”，是數(shù)學(xué)中聯(lián)系數(shù)與形的重要定理.我相信，通過對(duì)本文中四道勾股定理典型例題的學(xué)習(xí)、理解與應(yīng)用，學(xué)生能體會(huì)題中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到整合知識(shí)、提高綜合能力的目的.學(xué)生能力的提高離不開教師的指引，教師要在教學(xué)中將數(shù)學(xué)中的基本思想、方法和數(shù)學(xué)知識(shí)有效結(jié)合起來，讓學(xué)生在腦海中形成系統(tǒng)化的思維導(dǎo)圖，這樣一定能使教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果.