在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有一個很容易被外行誤解的詞匯：信號（signal），當(dāng)數(shù)學(xué)家們說起“一個信號”的時候，他們腦海中想到的并不是交通指示燈所發(fā)出的閃爍光芒或者手機屏幕頂部的天線圖案，而是一段可以具體數(shù)字化的信息，可以是聲音、圖象，也可是遙感測量數(shù)據(jù)。簡單地說，它是一個函數(shù)，定義在通常的一維或者多維空間之上。譬如一段聲音就是一個定義在一維空間上的函數(shù)，自變量是時間，因變量是聲音的強度，一幅圖象是定義在二維空間上的函數(shù)，自變量是橫軸和縱軸坐標(biāo)，因變量是圖象像素的色彩和明暗，如此等等。

在數(shù)學(xué)上，關(guān)于一個信號最基本的問題在于如何將它表示和描述出來。按照上面所說的辦法，把一個信號理解成一個定義在時間或空間上的函數(shù)是一種自然而然的表示方式，但是它對理解這一信號的內(nèi)容來說常常不夠。例如一段聲音，如果單純按照定義在時間上的函數(shù)來表示，它畫出來是這個樣子的：

這通常被稱為波形圖。毫無疑問，它包含了關(guān)于這段聲音的全部信息。但是同樣毫無疑問的是，這些信息幾乎沒法從上面這個“函數(shù)”中直接看出來，事實上，它只不過是巴赫的小提琴無伴奏Partita No。3的序曲開頭幾個小節(jié)。下面是巴赫的手稿，從某種意義上說來，它也構(gòu)成了對上面那段聲音的一個“描述”：

這兩種描述之間的關(guān)系是怎樣的呢？第一種描述刻劃的是具體的信號數(shù)值，第二種描述刻劃的是聲音的高低（即聲音震動的頻率），人們直到十九世紀(jì)才漸漸意識到，在這兩種描述之間，事實上存在著一種對偶的關(guān)系，而這一點并不顯然。

1807年，法國數(shù)學(xué)家傅立葉（J。Fourier）在一篇向巴黎科學(xué)院遞交的革命性論文（《固體中的熱傳播》）中，提出了一個嶄新的觀念：任何一個函數(shù)都可以表達為一系列不同頻率的簡諧振動（即簡單的三角函數(shù)）的疊加。有趣的是，這個結(jié)論是他研究熱傳導(dǎo)問題的一個副產(chǎn)品。這篇論文經(jīng)拉格朗日（J。Lagrangel、拉普拉斯（P-s。Laplace）和勒讓德（A-M。Legendre）等人審閱后被拒絕了，原因是他的思想過于粗糙且極不嚴(yán)密。1811年傅立葉遞交了修改后的論文，這一次論文獲得了科學(xué)院的獎金，但是仍然因為缺乏嚴(yán)密性而被拒絕刊載在科學(xué)院的《報告》中。傅立葉對此耿耿于懷，直到1824年他本人成為了科學(xué)院的秘書，才得以把他1811年的論文原封不動地發(fā)表在《報告》里。

用今天的語言來描述，傅立葉的發(fā)現(xiàn)實際上是在說：任何一個信號都可以用兩種方式來表達，一種就是通常意義上的表達，自變量是時間或者空間的坐標(biāo)，因變量是信號在該處的強度，另一種則是把一個信號“展開”成不同頻率的簡單三角函數(shù)（簡諧振動）的疊加，于是這就相當(dāng)于把它看作是定義在所有頻率所組成的空間（稱為頻域空間）上的另一個函數(shù)，自變量是不同的頻率，因變量是該頻率所對應(yīng)的簡諧振動的幅度。

這兩個函數(shù)一個定義在時域（或空域）上，一個定義在頻域上，看起來的樣子通常截然不同，但是它們是在以完全不同的方式殊途同歸地描述著同一個信號。它們就像是兩種不同的語言，乍一聽完全不相干，但其實可以精確地互相翻譯。在數(shù)學(xué)上，這種翻譯的過程被稱為“傅立葉變換”。

傅立葉變換是一個數(shù)學(xué)上極為精美的對象：

它是完全可逆的，任何能量有限的時域或空域信號都存在唯一的頻域表達，反之亦然。

它完全不損傷信號的內(nèi)在結(jié)構(gòu)：任何兩個信號之間有多少相關(guān)程度（即內(nèi)積），它們的頻域表達之間也一定有同樣多的相關(guān)程度。

它不改變信號之間的關(guān)聯(lián)性：一組信號收斂到一個特定的極限，它們的頻域表達也一定收斂到那個極限函數(shù)的頻域表達。

傅立葉變換就象是把信號徹底打亂之后以最面目全非的方式復(fù)述出來，而一切信息都還原封不動的存在著。要是科幻小說作家了解這一點，他們可以多出多少有趣的素材啊。

在傅立葉變換的所有這些數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最不尋常的是這樣一種特性：一個在時域或空域上看起來很復(fù)雜的信號（譬如一段聲音或者一幅圖象）通常在頻域上的表達會很簡單。這里“簡單”的意思是說作為頻域上的函數(shù)，它只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi)，而很大一部分?jǐn)?shù)值都接近于零。

這是一個意味深長的事實，它說明一個在空域中看起來占滿全空間的信號，從頻域中看起來很可能只不過占用了極小一塊區(qū)域，而大部分頻率是被浪費了的。這就導(dǎo)出了一個極為有用的結(jié)論：一個看起來信息量很大的信號，其實可以只用少得多的數(shù)據(jù)來加以描述。只要對它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以了，這樣數(shù)據(jù)量就可以大大減少。

基本上，這正是今天大多數(shù)數(shù)據(jù)壓縮方法的基礎(chǔ)思想。在互聯(lián)網(wǎng)時代，大量的多媒體信息需要在盡量節(jié)省帶寬和時間的前提下被傳輸，所以數(shù)據(jù)壓縮從來都是最核心的問題之一。而今天幾乎所有流行的數(shù)據(jù)壓縮格式，無論是聲音的mp3格式還是圖象的jpg格式，都是利用傅立葉變換才得以發(fā)明的。從這個意義上說來，幾乎全部現(xiàn)代信息社會都建立在傅立葉的理論基礎(chǔ)之上。

這當(dāng)然是傅立葉本人也始料未及的。

傅立葉變換這種對偶關(guān)系的本質(zhì)，是把一塊信息用徹底打亂的方式重新敘述一遍。正如前面所提到的那樣，一個信號可能在空域上顯得內(nèi)容豐富，但是當(dāng)它在頻域上被重新表達出來的時候，往往就在大多數(shù)區(qū)域接近于零。反過來這個關(guān)系也是對稱的：一個空域上大多數(shù)區(qū)域接近于零的信號，在頻域上通常都會占據(jù)絕大多數(shù)頻率。

有沒有一種信號在空域和頻域上的分布都很廣泛呢？有的，最簡單的例子就是噪聲信號。一段純粹的白噪聲，其傅立葉變換也仍然是噪聲，所以它在空域和頻域上的分布都是廣泛的。如果用信號處理的語言來說，這就說明“噪聲本身是不可壓縮的”。這并不違反直覺，因為信號壓縮的本質(zhì)就是通過挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來對它進行更簡潔的描述，而噪聲，顧名思義，就是沒有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號，自然也就無從得以壓縮。

另一方面，有沒有一種信號在空域和頻域上的分布都很簡單呢？換句話說，存不存在一個函數(shù)，它在空間上只分布在很少的幾個區(qū)域內(nèi)，并且在頻域上也只占用了很少的幾個頻率呢？（零函數(shù)當(dāng)然滿足這個條件，所以下面討論的都是非零函數(shù)。）

答案是不存在，這就是所謂的uncertainty princi-Dle（不確定性原理）。

這一事實有極為重要的內(nèi)涵，但是其重要性并不容易被立刻注意到。它甚至都不是很直觀：大自然一定要限制一個信號在空間分布和頻率分布上都不能集中在一起，看起來并沒有什么道理啊。

這個原理可以被盡量直觀地解釋如下：所謂的頻率，本質(zhì)上反映的是一種長期的全局的趨勢，所以任何一個單一的頻率，一定對應(yīng)于一個在時空中大范圍存在的信號。反過來，任何只在很少一塊時空的局部里存在的信號，都存在很多種不同的長期發(fā)展的可能性，從而無法精確推斷其頻率。

讓我們?nèi)匀挥靡魳穪碜骼?。聲音可以在時間上被限制在一個很小的區(qū)間內(nèi)，譬如一個聲音只延續(xù)了一剎那。聲音也可以只具有極單一的頻率，譬如一個音叉發(fā)出的聲音（如果你拿起手邊的固定電話，里面的撥號音就是一個440Hz的純音加上一個350Hz的純音，相當(dāng)于音樂中的A-F和弦）。但是不確定性原理告訴我們，這兩件事情不能同時成立，一段聲音不可能既只占據(jù)極短的時間又具有極純的音頻。當(dāng)聲音區(qū)間短促到一定程度的時候，頻率就變得不確定了，而頻率純粹的聲音，在時間上延續(xù)的區(qū)間就不能太短。因此，說“某時某刻那一剎那的一個具有某音高的音”是沒有意義的。

這看起來像是一個技術(shù)性的困難，而它實際上反映的卻是大自然的某種本質(zhì)規(guī)律：任何信息的時空分辨率和頻率分辨率是不能同時被無限提高的。一種波動在頻率上被我們辨認得越精確，在空間中的位置就顯得越模糊，反之亦然。

這一規(guī)律對于任何熟悉現(xiàn)代多媒體技術(shù)的人來說都是熟知的，因為它為信號處理建立了牢不可破的邊界，也在某種程度上指明了它發(fā)展的方向。既然時空分辨率和頻率分辨率不能同時無限小，那人們總可以去研究那些在時空分布和頻率分布都盡量集中的信號，它們在某種意義上構(gòu)成了信號的“原子”，它們本身有不確定性原理所允許的最好的分辨率，而一切其他信號都可以在時空和頻率上分解為這些原子的疊加。這一思路在20世紀(jì)40年代被D。Gabor（他后來因為發(fā)明全息攝影而獲得了1971年的諾貝爾物理獎）所提出，成為整個現(xiàn)代數(shù)字信號處理的奠基性思想，一直影響到今天。

但是眾所周知，不確定性原理本身并不是數(shù)學(xué)家的發(fā)明，而是來自于量子物理學(xué)家的洞察力。同樣一條數(shù)學(xué)結(jié)論可以在兩個截然不相干的學(xué)科分支中都產(chǎn)生歷史性的影響，這大概是相當(dāng)罕見的例子了。