嚴霞

摘要：在機械制圖中，圓弧連接存在兩種情況，第一種情況是已知連接弧半徑，求作圓弧連接;第二種情況是已知一個切點，連接弧半徑未知，求作圓弧連接。根據(jù)“已知線段”的不同，將第二種情況中的圓弧連接分為三種類型，分別對三種類型的圓弧連接作圖方法和步驟進行了研究，歸納出已知切點時運用“三步法”作圓弧連接的方法，并舉例應用。

關鍵詞：圓弧連接;幾何作圖;已知切點

1? 圓弧連接的另一種情況

在《機械制圖》課程教學中，圓弧連接是幾何作圖部分的重點內容。圓弧連接存在兩種情況，第一種情況是已知連接弧半徑，求作圓弧連接。對于這一種情況，我們通常采用“求圓心、找切點、作圓弧”三步來作出連接弧，詳細作圖步驟可參見《機械制圖》中幾何作圖（尺規(guī)作圖）相關章節(jié)，這里不再贅述。第二種情況是已知一個切點（連接弧半徑未知），求作圓弧連接。如圖1所示，左上方連接圓？準14和圓弧R39的連接弧半徑未知，但連接弧與圓？準14的公切線方向為已知，即已知一個切點，求作圓弧連接。這一種情況在企業(yè)零件測繪中也常會遇到，由于《機械制圖》教材中沒有對這一種情況中的圓弧連接作圖方法和步驟進行詳細介紹，同學們遇到這一類作圖題目時往往束手無策，經過冥思苦想后，也只有屈指可數(shù)的幾位同學能夠作出正確解答。本文重點探索這一種情況中的圓弧連接，下文中的“圓弧連接”也僅指此情況中的圓弧連接。

要作出圖1中圓？準14和圓弧R39的連接弧，必須先求出連接弧的圓心。由于平面上的一個點是由兩個坐標值確定的，即要知道兩個條件才能求出一個點。本題中已知圓弧連接的一個切點，即只知道一個有效條件，所以不能直接求出連接弧的圓心，故采用“求圓心、找切點、作圓弧”三步不能作出連接弧。我們來探索采用“找切點、求圓心、作圓弧”這三步來作連接弧，這里的“找切點”是指找連接弧與另一已知線段（直線或圓?。┑那悬c。

圓弧連接中的“已知線段”既可以是像圖1中的兩圓弧，也可以是兩直線，還可以是一直線和一圓弧。我們可以根據(jù)“已知線段”的不同，將圓弧連接分成三種類型。類型一：圓弧連接兩相鄰已知直線;類型二：圓弧連接兩相鄰已知圓弧;類型三：圓弧連接兩相鄰已知直線和圓弧。為便于討論，我們將已知切點記作K1，另一切點記作K2;已知切點K1所在的線段稱作第一線段，另一已知線段稱作第二線段;第一線段如果是圓弧，其圓心記作O1，半徑為R1;第二線段如果是圓弧，其圓心記作O2，半徑為R2;連接弧的圓心記作O，半徑為R。

2? 圓弧連接兩相鄰已知直線

如圖2所示，用一段圓弧光滑地連接兩相鄰直線AE和CE，點K1和點K2為切點（連接點）。分別過點K1作直線AE的垂線和過點K2作直線CE的垂線，兩垂線相交于點O，點O即為連接弧的圓心，OK1=OK2=R;連接點O和點E，在Rt△OK1E和Rt△OK2E中，OE=OE，OK1=OK2，根據(jù)定理“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等”可得Rt△OK1E≌Rt△OK2E，所以K1E=K2E，即圓弧連接兩相鄰已知直線時，兩切點到兩直線交點的距離相等。

如表1所示，已知兩相鄰直線AB和CD及直線AB上的一個切點（連接點）K1，求作圓弧連接。根據(jù)以上分析，我們歸納出圓弧連接兩相鄰已知直線的作圖方法和步驟，說明如下：

①找切點。延長兩已知直線相交于點E，以點E為圓心，EK1為半徑，作圓弧交第二線段于點K2，點K2即為所求另一切點。②求圓心。分別過點K1和K2，作直線AB和CD的垂線相交于點O，點O即為連接圓弧的圓心。③作圓弧并描粗。以點O為圓心，OK1為半徑，作圓弧連接點K1和K2，描粗保留的已知線段和連接弧，圓弧連接完成。

3? 圓弧連接兩相鄰已知圓弧

我們先來看等腰梯形的一個性質：等腰梯形的對角線相等。（圖3）

如圖3所示，等腰梯形ABCD的對角線分別為AC和BD，在△ADC和△BCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCD，DC=CD，根據(jù)基本事實“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”可得△ADC≌△BCD，所以AC=BD，即等腰梯形的對角線相等。圓弧連接兩相鄰已知圓弧中就隱藏著一個等腰梯形，而“找切點”的關鍵就是找到這個等腰梯形。（圖4）

如圖4所示，半徑為R的圓弧光滑地連接著半徑分別為R1和R2的兩個圓。兩個圓（圓?。┫嗲校悬c必在兩個圓心的連線上，我們把這條直線稱作連心線。連接圓心O和O1，與半徑為R1的圓弧相交于點K1，連接圓心O和O2，與半徑為R2的圓弧相交于點K2，點K1和點K2即為切點。在連心線OO1上從切點K1向圓心O1的方向截取另一圓弧的半徑R2，與連心線OO1相交于點E，即K1E=K2O2=R2。連接點K1和點K2，連接點E和O2，在等腰△K1OK2中，∠OK1K2=（180°-∠O）/2，在等腰△EOO2中，∠OEO2=（180°-∠O）/2，所以∠OK1K2=∠OEO2，根據(jù)基本事實“同位角相等，兩直線平行”可得K1K2∥EO2，所以四邊形K1EO2K2便是隱藏在圓弧連接兩相鄰已知圓弧中的一個等腰梯形，其對角線K1O2=K2E。當然，我們在作圓弧連接時，并不需要將這個等腰梯形的四條邊全部作出來。

根據(jù)以上分析，我們歸納出圓弧連接兩相鄰已知圓弧的作圖方法和步驟，如表2所示，說明如下：

①找切點。連接已知切點K1及相應的圓心O1，當連接弧與兩已知圓弧外切或內切時，從切點K1向圓心O1的方向截取半徑R2，與直線K1O1相交于點E;當連接弧與兩已知圓弧分別內外切時，從切點K1向背離圓心O1的方向截取半徑R2，與直線K1O1相交于點E。以點E為圓心，以已知切點K1至圓心O2的距離為半徑，作圓弧交第二線段于點K2，點K2即為所求另一切點。

②求圓心。連接切點K2和圓心O2，延長后與直線K1O1相交于點O，點O即為連接圓弧的圓心。

③作圓弧并描粗。以點O為圓心，以線段OK1為半徑，作圓弧連接點K1和K2，描粗保留的已知線段和連接弧，圓弧連接完成。

4? 圓弧連接兩相鄰已知直線和圓弧

用一段圓弧光滑地連接兩相鄰已知直線和圓弧，當已知切點在圓弧上時，作圖方法和步驟如表3所示。在第一步“找切點”時，先連接已知切點K1和圓心O1，然后過已知切點K1作直線K1O1的垂線（已知圓弧的切線）與已知直線AB相交于點E，從而將此類問題轉化為圓弧連接兩相鄰已知直線的問題，后續(xù)作圖方法和步驟亦與上文中“圓弧連接兩相鄰已知直線”的作圖方法和步驟相同。

用一段圓弧來光滑地連接兩相鄰已知直線和圓弧，當已知切點在直線上時，如果將直線理解為一個直徑無窮大的圓，此類問題就可以轉化為圓弧連接兩相鄰已知圓弧的問題了，作圖方法和步驟如表4所示。由于這里的“圓弧”直徑無窮大，所以在第一步“找切點”時，將原來的“先連接已知切點K1及相應的圓心O1”改成“過已知切點K1作已知直線AB的垂線”就可以了，后續(xù)作圖方法和步驟亦與上文中“圓弧外切或內切連接兩已知圓弧”的作圖方法和步驟相同。

5? 總結及實例

上面介紹的已知一個切點時三種不同類型的圓弧連接作圖方法，由于都是按照“找切點、求圓心、作圓弧”這三步來完成作圖的，我們將其稱作“三步法”作圓弧連接。根據(jù)以上分析，我們總結出“三步法”作圓弧連接的方法和步驟，其流程圖如圖5所示。

下面我們應用“三步法”繪制圖1中連接圓？準14和圓弧R39的連接弧（在繪制連接弧前，已完成圖1中其他線條的繪制，如圖6所示）。

連接弧與兩已知圓弧都是外切，屬于“圓弧外切連接兩已知圓弧”的類型，作圖方法和步驟如圖7所示，說明如下：

①找切點。從已知切點K1向圓心O1的方向截取另一已知圓弧的半徑39mm，與直線K1O1相交于點E;以點E為圓心，以已知切點K1至另一已知圓弧的圓心O2之間的距離為半徑，作圓弧交另一已知圓弧于點K2，點K2即為所求另一切點。

②求圓心。連接切點K2和圓心O2，與直線K1O1相交于點O，點O即為連接圓弧的圓心。

③作圓弧并描粗。以點O為圓心，以線段OK1為半徑，作圓弧連接點K1和K2，描粗保留的已知線段和連接弧，圓弧連接完成。

同學們在學習了“三步法”作已知切點的圓弧連接后，遇到類似的題目再也不會抓耳撓腮、不知所措了，只要根據(jù)已知條件先確定一個切點（連接點）和連接類型，然后按照相應類型的“找切點、求圓心、作圓弧”這三步就可以輕而易舉地完成作圖了。經過教學實踐，在對學生進行以上作圖方法的詳細介紹后，能夠解決此類作圖問題的學生人數(shù)大幅提高，約85%的同學經過簡單思考或提醒后能夠作出正確解答，教學質量顯著提高。

參考文獻：

[1]全國技術產品文件標準化技術委員會，中國標準出版社.技術產品文件標準匯編：機械制圖卷[G].北京：中國標準出版社，2007.

[2]錢可強.機械制圖[M].三版.北京：高等教育出版社，2011.

[3]柳燕君，應龍泉，潘陸桃.機械制圖[M].北京：高等教育出版社，2010.