李文善

摘要：為了分析多級齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能，構(gòu)建了齒輪傳動系統(tǒng)仿真模型，通過仿真，分析多級齒輪傳動系統(tǒng)的主要物理參數(shù)對于齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)性能的影響規(guī)律。并基于仿真得到的分析數(shù)據(jù)據(jù)和相應(yīng)的實驗測試數(shù)據(jù)，提出了應(yīng)用諧波平衡法的多級齒輪傳動系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計方法，并獲得最優(yōu)設(shè)計參數(shù)。

Abstract： In order to analyze the dynamic performance of the multi-stage gear transmission system， a simulation model of the gear transmission system is constructed. Through the simulation， the influence law of the main physical parameters of the multi-stage gear transmission system on the dynamic performance of the gear transmission system is analyzed. And based on the analysis data obtained by simulation and the corresponding experimental test data， a multi-stage gear transmission system optimization method based on the harmonic balance method is proposed. The housing size parameters of the reducer and the basic parameters of the gear pair are used as design variables. The transmission ratio， actual center distance， gear tooth strength， etc. are constraints， and the root mean square value of vibration acceleration and the overall mass are the goals. A multi-objective hybrid discrete optimization model is established， and the program is solved based on the branch and bound algorithm to obtain the optimal design variable.

關(guān)鍵詞：齒輪傳動系統(tǒng);動態(tài)性能;優(yōu)化設(shè)計

Key words： gear transmission system;dynamic performance;optimization design

0? 引言

多級齒輪傳動系統(tǒng)相較于普通齒輪傳動系統(tǒng)而言，具有體積小、質(zhì)量輕、傳動效率高、傳動精度高、承載能力高等眾多優(yōu)勢。精密設(shè)備的控制系統(tǒng)對于多級齒輪的傳動性能在靈敏度界限、工作快速性和穩(wěn)定性方面提出更高的要求。因此，有必要對多級齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能開展相關(guān)的研究。

1? 建立多級齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能分析模型

1.1 構(gòu)建多級齒輪傳動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

依據(jù)剛度特性，多級齒輪傳動與一般齒輪傳動之間具有一定的差異，并且在負載與執(zhí)行件之間安裝徑向嚙合式多級齒輪傳動的主要目的是為了傳遞動力、實現(xiàn)運動，所以必須要考慮到彈性與齒間側(cè)隙的影響[1]。通過綜合考慮彈性與齒間側(cè)隙的影響，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

而模型中的IL為負載慣量，IM是執(zhí)行電機轉(zhuǎn)子和波發(fā)生器的慣量，制定電機的轉(zhuǎn)角？漬M（t）進行折算，使其到輸出軸上的轉(zhuǎn)角以？漬M（t）=？漬M（t）/ih。

當系統(tǒng)存在齒間側(cè)隙為2jt的情況下，可以采用以下的方程式來表示方程組。

從上述的公式中，充分考慮了元件彈性以及齒間側(cè)隙的影響，其是一個非線性函數(shù)。在多級齒輪傳動系統(tǒng)中，將電機到負載的系統(tǒng)當量為兩個具有彈性元件的鏈接，為間隙隔開集中質(zhì)量的運動傳遞，模型中的Ii為IM折算到輸出軸上的慣量，？漬i（t）與Ti則為折算到輸出端的輸入轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)角。

1.2 建立多級齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)性能仿真模型

在對于多級齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能建立數(shù)學(xué)模型后，利用SIMULINK組件能夠?qū)崿F(xiàn)多級齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能仿真模型的構(gòu)建[2]。如圖1所示為仿真模型。

1.3 仿真分析和結(jié)論

對于多級齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)性能建立仿真模型，后進行仿真分析，從而確定傳動系統(tǒng)中的主要物理參數(shù)，得出對于整個系統(tǒng)性能產(chǎn)生的影響規(guī)律。

利用某研究項目中應(yīng)用的多級齒輪減速器為仿真對象，總傳動比i=80、柔輪變形波數(shù)U=2，鋼輪齒數(shù)z2=162，柔輪齒數(shù)z1=160，輸入軸轉(zhuǎn)速fH=9500r/min，嚙合角？琢n=20°，額定負載60N·m，輸入端轉(zhuǎn)動慣量J1=0.00022kga·m2，輸出端轉(zhuǎn)動慣量J0=0.2839kg·m2，0是初始條件。通過進行各種試驗之后，能夠得出扭轉(zhuǎn)剛度表達式各項，而齒間側(cè)隙則是2？漬i=8′。

在設(shè)定仿真參數(shù)之后，將上述的各項參數(shù)開展仿真分析，以此來得到這些參數(shù)對于傳動系統(tǒng)性能所產(chǎn)生的影響規(guī)律。

2? 傳動系統(tǒng)非線性振動特性的分析

對微分方程組進行求解，求解所用積分時間范圍為300Tm。求解時，需要對二階振動微分方程逐步進行降階處理，方程可表示為：x2=f（t，x（1），x（2））。

2.1 轉(zhuǎn)速對于系統(tǒng)非線性振動特性的影響

齒輪傳動正逐步向高速和重載的方向發(fā)展，因此有必要對轉(zhuǎn)速影響系統(tǒng)振動特性開展系統(tǒng)的研究，設(shè)定傳動系統(tǒng)的無量綱頻率在？贅=0.001～1.5在范圍內(nèi)變化。當？贅<0.2時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出單周期的非諧響應(yīng)特性。此時，系統(tǒng)位移反映的時間歷程圖即單周期曲線，并且頻譜圖分布在m？贅的離散點上。隨著無量綱頻率的增加，系統(tǒng)將會由倍周期分叉進入混沌運動。隨頻率的逐漸加大，系統(tǒng)響應(yīng)狀態(tài)呈無規(guī)律的反復(fù)變化，且運動的狀態(tài)也更為復(fù)雜而多變，混沌區(qū)域出現(xiàn)了眾多的周期性窗口，同時窗口寬窄呈現(xiàn)交替漸變趨勢。隨著頻率的再次升高，齒輪副動載荷系數(shù)也將隨之加大，系統(tǒng)將在無沖擊狀態(tài)下顯現(xiàn)單邊及雙邊沖擊。當無量綱頻率增至1附近時，動載荷系數(shù)出現(xiàn)最大值，沖擊情況最為嚴重。

2.2 黏滯摩擦因數(shù)對于傳動系統(tǒng)性能的影響

利用仿真分析可以得知在不同黏滯摩擦因數(shù)的響應(yīng)曲線，如圖2所示，而系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖3所示。

通過圖2、圖3，能夠得到傳動系統(tǒng)中黏滯摩擦因數(shù)對于傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能所造成的影響。隨著黏滯摩擦因素的不斷增加，而傳動系統(tǒng)的相位差也在逐漸的擴大，出現(xiàn)這一問題的主要原因在于：隨著黏滯摩擦因數(shù)的上升，傳動系統(tǒng)中的摩擦力矩也會隨之上升，這表示隨著摩擦動態(tài)方程中阻尼項參數(shù)的不斷上升，將會出現(xiàn)這些反應(yīng)[3]。除此之外，還會導(dǎo)致多級齒輪傳動系統(tǒng)中，機械效率逐漸出現(xiàn)下降情況。因此，在設(shè)計傳動系統(tǒng)的過程中，必須要考慮傳動系統(tǒng)的一定速遞效率、一定快速性，在這一前提條件下，可以有效的降低系統(tǒng)的粘滯摩擦因數(shù)。

2.3 齒間側(cè)隙對于多級齒輪傳動系統(tǒng)的性能影響

如果構(gòu)建仿真模型采用齒間側(cè)隙的話，其響應(yīng)曲線如圖4所示。而在采用不同齒間側(cè)隙后，如圖4所示為系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。

基于圖4的曲線圖，傳動系統(tǒng)的傳動間隙對于系統(tǒng)動態(tài)性能的影響主要體現(xiàn)在：當傳動系統(tǒng)存在間隙時，響應(yīng)的穩(wěn)定性和快速性都會下降，同時因為存在間隙，所以雖然傳動系統(tǒng)可以達到最佳的穩(wěn)定狀態(tài)，但是傳動系統(tǒng)也同樣會存在一定振幅的振動，并對于整個工作的穩(wěn)定性造成嚴重的影響[4]。所以，在對于多級齒輪的傳動系統(tǒng)進行設(shè)計和制造等過程中，需要以系統(tǒng)運動潤滑為前提，同時滿足這一前提條件下，盡可能的消除傳動系統(tǒng)中所存在的裝配間隙與其誤差，以此來保障傳動系統(tǒng)的設(shè)計功能。

3? 多級傳動系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計

3.1 優(yōu)化設(shè)計變量

多級齒輪減速器具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜的特性，充分考慮減速器的安裝環(huán)境及條件，設(shè)減速器外型尺寸不出現(xiàn)較大變化，隨后逐一選取傳動系統(tǒng)和對應(yīng)殼體中的關(guān)鍵性幾何參數(shù)作為設(shè)計的變量。傳動系統(tǒng)的設(shè)計變量為齒輪的模數(shù)（m）、齒數(shù)（Z）和齒寬（b），對應(yīng)殼體的變量分別為各子塊的壁厚（β），累計設(shè)置15個變量，其變量矩陣表達式：

3.2 目標函數(shù)

綜合考慮減速器的抗振性及輕量化設(shè)計等兩個方面的具體要求， 同時密切注意到傳動系統(tǒng)與殼體間的振動響應(yīng)幅值處存在較大差別的實際，采用線性加權(quán)組合法，構(gòu)建出目標函數(shù)：

3.3 約束條件

一般而言，多級齒輪的總傳動均比較大，考慮到齒數(shù)優(yōu)化后可能會引起減速器總傳動比發(fā)生變化，所以需要對總傳動比提前進行約束。此外，因多級齒輪傳動系統(tǒng)中存在最小齒數(shù)與總傳動比之間合理分配的實際情況，且各齒輪齒數(shù)應(yīng)取整數(shù)，故對應(yīng)的取值范圍如下：

眾所周知，齒輪的大齒寬對應(yīng)高強度。但齒寬過大會導(dǎo)致齒輪載荷分布不均勻，因此有必要設(shè)置寬徑比約束條件。實際生產(chǎn)中，為便于加工和測量，通常將齒寬的結(jié)尾數(shù)值取0和5。綜上所述，齒輪寬徑比約束取值范圍如下：

3.4 優(yōu)化模型求解

多級齒輪傳動系統(tǒng)動態(tài)性能優(yōu)化模型其實質(zhì)為一個多目標混合離散規(guī)劃，離散設(shè)計變量為齒輪的m，整型設(shè)計變量分別為z、b和β。本文利用Matlab軟件和分枝定界法思想編程求解，其算法的基本過程簡述如下：

首先，確定相互嚙合的各級齒輪m的組合，其可行域設(shè)定為6。

其次，獲得滿足齒數(shù)、裝配、傳動比、鄰接和中心距等約束條件的齒數(shù)組合可行閾值。

第三，在確定的齒輪m和齒數(shù)等約束條件下，逐步求解滿足輪齒強度、寬徑比約束條件的齒寬可行域6;隨后，獲取目標函數(shù)的局部最優(yōu)解并存儲相關(guān)信息。

最后，變換m及z再次進行計算，便可獲得局部最優(yōu)解集合，局部最優(yōu)解集合中使目標函數(shù)最小的設(shè)計變量即為全局最優(yōu)解[5]。通過上述混合離散優(yōu)化求解，便可得到多級齒輪傳動系統(tǒng)的設(shè)計變量最優(yōu)值。忽略齒側(cè)間隙和摩擦力矩等非線性因素會在一定程度上影響到優(yōu)化計算的準確性，為檢驗優(yōu)化效果，將優(yōu)化后設(shè)計變量值，代入考慮非線性因素的減速器耦合系統(tǒng)集中參數(shù)模型中，計算構(gòu)件的振動加速度和質(zhì)量，將優(yōu)化后各構(gòu)件的振動加速度均方根值和質(zhì)量除以優(yōu)化前的相應(yīng)值，可得到優(yōu)化后振動加速度均方根值和質(zhì)量的相對值[6]。

3.5 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化后的具體結(jié)果如表1所示。優(yōu)化后多級齒輪傳動系統(tǒng)中的振動速度降低，傳動系統(tǒng)構(gòu)件振動加速度均方根值平均降低36.8m/s2，較優(yōu)化前減小了33.5%，實現(xiàn)了減振的目的;傳動系統(tǒng)質(zhì)量降為2532kg，較優(yōu)化前減小了12.96%。

4? 結(jié)語

綜上所述，通過分析齒間側(cè)隙對多級齒輪傳動系統(tǒng)的動態(tài)性能造成的影響，以此為基礎(chǔ)構(gòu)建傳動系統(tǒng)的模型，通過仿真，分析傳動系統(tǒng)中的齒間側(cè)隙、黏滯摩擦因數(shù)等主要參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響。最后，通過對某一型號的多級齒輪傳動系統(tǒng)進行優(yōu)化，得到了優(yōu)化參數(shù)，并且傳動系統(tǒng)重量減輕，性能也得到了提高。

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