李冶（1192-1279）是中國古代數(shù)學家，原名李治，字仁卿，號敬齋，金代真定府欒城縣（今河北省欒城縣1人。

李冶生于大興（今北京市大興區(qū)），父親李通為大興府推官，李冶自幼聰敏，喜愛讀書，曾在元氏縣f今河北省元氏縣）求學，對數(shù)學和文學都很感興趣，《元朝名臣事略》中說：“公（指李冶）幼讀書，手不釋卷，性穎悟，有成人之風，“1230年，李冶在洛陽考中詞賦科進士，任鈞州（今河南禹縣）知事，為官清廉、正直，1232年，鈞州城被蒙古軍隊攻破，李冶不愿投降，只好換上平民服裝，北渡黃河避難。

經(jīng)過一段時間的顛沛流離之后，李冶定居于崞山（今山西崞縣）之桐川，1234年初，金朝終于為蒙古所滅，金朝的滅亡給李冶的生活帶來不幸，但由于他不再為官，這在客觀上使他的科學研究有了充分的時間，他在桐川的研究工作是多方面的，包括數(shù)學、文學、歷史、天文、哲學、醫(yī)學，其中最有價值的研究是對天元術(shù)進行了全面總結(jié)，寫成數(shù)學史上的不朽名著《測圓海鏡》，他的工作條件十分艱苦，不僅居室狹小，而且常常都不能保證溫飽，要為衣食而奔波，但他卻以著書為樂，從不間斷自己的寫作，據(jù)《真定府志》記載，李冶“聚書環(huán)堵，人所不堪”，但卻“處之裕如也”，他的學生焦養(yǎng)直說他：“雖饑寒不能自存，亦不恤也”，在“流離頓挫”中“亦未嘗一日廢其業(yè)”，經(jīng)過多年的艱苦奮斗，李冶的《測圓海鏡》終于在1248年完稿，它是我國現(xiàn)存最早的一部系統(tǒng)講述天元術(shù)的著作。

1251年，李冶的經(jīng)濟情況有所好轉(zhuǎn)，他結(jié)束了在山西的避難生活，回到元氏縣封龍山定居，并收徒講學，1257年，李治在開平（今內(nèi)蒙古正藍旗）接受忽必烈召見，提出了一些進步的政治建議，1259年他在封龍山又寫成另一部數(shù)學著作《益古演段》，1265年，李治應忽必烈之聘，去燕京（今北京）擔任翰林學士知制潔同修國史官職，因感到在翰林院思想不自由，第二年辭官還鄉(xiāng)，李冶是一位多才多藝的學者，除數(shù)學外，在文史等方面也深有造詣，他晚年完成的《敬齋古今注》與《泛說》這兩部內(nèi)容豐富的著作，是他積多年筆記而成的，《泛說》一書已失傳，僅存數(shù)條關(guān)于《敬齋古今注》附錄，他還著有《文集》四十卷與《壁書叢制》十二卷，已佚，1279年，李冶病逝于元氏縣，李冶在數(shù)學上的主要成就是總結(jié)并完善了天元術(shù)，使之成為中國獨特的半符號代數(shù)，這種半符號代數(shù)的產(chǎn)生，要比歐洲早300年左右，他的《測圓海鏡》是天元術(shù)的代表作，而《益古演段》則是一本普及天元術(shù)的著作。

所謂天元術(shù)，就是一種用數(shù)學符號列方程的方法，“立天元一為某某”與今“設(shè)x為某某”是一致的，在中國，列方程的思想可追溯到漢代的《九章算術(shù)》，書中用文字敘述的方法建立了二次方程，但沒有明確的未知數(shù)概念，到唐代，王孝通已經(jīng)能列出三次方程，但仍是用文字敘述的，而且尚未掌握列方程的一般方法，經(jīng)過北宋賈憲、劉益等人的工作，求高次方程正根的問題基本解決了，隨著數(shù)學問題日益復雜，人們迫切需要一種普遍的建立方程的方法，天元術(shù)便在北宋應運而生了，洞淵、石信道等人都是天元術(shù)的先驅(qū)，但直到李冶之前，天元術(shù)還是比較粗淺的，記號混亂、復雜，演算煩瑣，例如，李冶在東平（今山東省東平縣）得到的一本講天元術(shù)的算書中，還不懂得用統(tǒng)一符號表示未知數(shù)的不同次冪，它“以十九字識其上下層，日仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼，”這就是說，以“人”字表示常數(shù)，人以上九字表示未知數(shù)的各正數(shù)次冪（最高為九次），人以下九字表示未知數(shù)的各負數(shù)次冪（最低也是九次），其運算之繁可見一斑，從稍早于《測圓海鏡》的《鈴經(jīng)》等書來看，天元術(shù)的作用還十分有限，李冶則在前人的基礎(chǔ)上，將天元術(shù)改進成一種更簡便而實用的方法，當時，北方出了不少算書，除《鈴經(jīng)》外，還有《照膽》《如積釋鎖》《復軌》等，這無疑為李冶的數(shù)學研究提供了條件，特別值得一提的是，他在桐川得到了洞淵的一部算書，內(nèi)有九客之說，專講勾股容圓問題，此書對他啟發(fā)甚大，為了能全面、深入地研究天元術(shù)，李冶把勾股容圓（即切圓）問題作為一個系統(tǒng)來研究，他討論了在各種條件下用天元術(shù)求圓徑的問題，寫成《測圓海鏡》十二卷，這是他一生中的最大成就。

《測圓海鏡》不僅保留了洞淵九容公式，即9種求直角三角形內(nèi)切圓直徑的方法，而且給出了一批新的求圓徑公式，卷一的“識別雜記”闡明了圓城圖式中各勾股形邊長之間的關(guān)系以及它們與圓徑的關(guān)系，共六百余條，每條可看作一個定理（或公式），這部分內(nèi)容是對中國古代關(guān)于勾股容圓問題的總結(jié)，后面各卷的習題，都可以在“識別雜記”的基礎(chǔ)上以天元術(shù)為工具推導出來，李冶總結(jié)出一套簡明實用的天元術(shù)程序，并給出化分式方程為整式方程的方法，他發(fā)明了負號和一套先進的小數(shù)記法，采用了從0到9的完整數(shù)碼，除0以外的數(shù)碼古已有之，是籌式的反映，但籌式中遇0空位，沒有符號0.從現(xiàn)存古算書來看，李冶的《測圓海鏡》和秦九韶的《數(shù)書九章》是較早使用0的兩本書，它們成書的時間相差不過一年，《測圓海鏡》重在列方程，對方程的解法涉及不多，但書中用天元術(shù)導出許多高次方程（最高為六次），給出的根全部準確無誤，可見李冶是掌握了高次方程數(shù)值解法的。

《測圓海鏡》的成書標志著天元術(shù)成熟，它無疑是當時世界上第一流的數(shù)學著作，但由于內(nèi)容較深，粗知數(shù)學的人看不懂，而且當時數(shù)學不受重視，所以天元術(shù)的傳播速度較慢，李冶清楚地看到這一點，他堅信天元術(shù)是解決數(shù)學問題的一個有力工具，同時深刻認識到普及天元術(shù)的必要性，他在結(jié)束避難生活、回元氏縣定居以后，許多人跟他學數(shù)學，促使他寫一本深人淺出、便于教學的書，《益古演段》便是在這種情況下寫成的，《測圓海鏡》的研究對象是離生活較遠而自成系統(tǒng)的圓城圖式，《益古演段》則把天元術(shù)用于解決實際問題，研究對象是日常所見的方、圓面積，李冶大概認識到，天元術(shù)是從幾何中產(chǎn)生的，因此，為了使人們理解天元術(shù)，就需回顧它與幾何的關(guān)系，給代數(shù)以幾何解釋，而對二次方程進行幾何解釋是最方便的，于是他便選擇了以二次方程為主要內(nèi)容的《益古集》（11世紀蔣周撰），正如《四庫全書·益古演段提要》所說：“此法（指天元術(shù)）雖為諸法之根，然神明變化，不可端倪，學者驟欲通之，茫無門徑之可入，惟因方圓冪積以明之，其理尤屆易見，”李冶是很樂于從事這種普及工作的，他在序言中說：“使粗知十百者，便得入室啖其文，顧不快哉！”

《益古演段》的價值不僅在于普及天元術(shù)，理論上也有創(chuàng)新，首先，李冶善于用傳統(tǒng)的出入相補原理及各種等量關(guān)系來減少題目中的未知數(shù)個數(shù)，化多元問題為一元問題，其次，李冶在解方程時采用了設(shè)輔助未知數(shù)的新方法，以簡化運算。