孿生素?cái)?shù)猜想是數(shù)論領(lǐng)域中最著名的猜想之一，孿生素?cái)?shù)是指那些相差為2的素?cái)?shù)對，比如3和5、5和7、11和13、17和19、599和601……除了第一對孿生素?cái)?shù)（即3和5）之外，每個孿生素?cái)?shù)對中的第一個素?cái)?shù)總是比6的倍數(shù)小1所以第+孿生素?cái)?shù)總是比6的倍數(shù)大1.孿生素?cái)?shù)猜想指的是，在自然數(shù)集中，這樣的孿生素?cái)?shù)對有無窮多個。

在探討孿生素?cái)?shù)猜想之前，我們先來看一看素?cái)?shù)的一些規(guī)律，首先，除2以外的所有素?cái)?shù)都是奇數(shù)，偶數(shù)總是比6的倍數(shù)大0、2或4.而奇數(shù)總是比6的倍數(shù)大1、3或5.在奇數(shù)的這三種可能中，有一種會引發(fā)一個問題，那就是如果一個數(shù)比6的倍數(shù)大3.那么它的因數(shù)就是3.這樣一來就意味著這個數(shù)不是素?cái)?shù)（除了3本身之外），這也就是為何有三分之一的奇數(shù)都不是素?cái)?shù)。

1849年，法國數(shù)學(xué)家波林那克（Alphonse de Polig-nac）提出了孿生素?cái)?shù)猜想，在接下來的160年時間里，數(shù)學(xué)家們在這一方面幾乎沒有取得任何進(jìn)展，但在過去的十年時間里，數(shù)學(xué)家們的研究取得了突飛猛進(jìn)的進(jìn)展，比如，既然證明有無窮多個差值為2的素?cái)?shù)如此困難，那么是否可以證明差值為7000萬的素?cái)?shù)有無窮多個？2013年，數(shù)學(xué)家張益唐證明了這一點(diǎn)。

在過去的6年時間里，包括陶哲軒在內(nèi)的數(shù)學(xué)家們一直致力于縮減這個素?cái)?shù)差值，目前的最好結(jié)果是246.雖然我們并不知道是否有從246縮減到2的那一天，但數(shù)學(xué)家們的研究在越來越接近孿生素?cái)?shù)猜想的最終解。

2019年9月7日，美國哥倫比亞大學(xué)的數(shù)學(xué)家威爾·薩文（Will Sawin）和威斯康星大學(xué)麥迪遜分校的馬克·舒斯特曼（Mark Shusterma）發(fā)布了一個證明，為孿生素?cái)?shù)猜想的研究開辟了一條新的路徑。

新的證明是在一個被稱為有限數(shù)系統(tǒng)的設(shè)定中探討孿生素?cái)?shù)猜想，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為：若要徹底解決這個問題，就必須提出全新的方法，而有限數(shù)系統(tǒng)就是一個很好的選擇，在有限數(shù)系統(tǒng)中，可用的數(shù)字可能只有少數(shù)幾個，這種數(shù)字系統(tǒng)被稱為“有限域”，盡管這是一個很小的域，但它們確保有無限整數(shù)所擁有的許多數(shù)學(xué)性質(zhì)，數(shù)學(xué)家們一直試圖在有限域上解決算術(shù)問題，然后再將結(jié)果轉(zhuǎn)換成整數(shù)。

要構(gòu)建一個有限域，首先要從自然數(shù)中提取出一個有限的數(shù)字子集，比如取最小的5個自然數(shù)，或者取某幾個素?cái)?shù)，除此之外，還要改變我們對數(shù)字的呈現(xiàn)方式，在通常的想象中，數(shù)字是沿著一條數(shù)軸展開的，而這里需要我們將數(shù)字想象成時鐘表面的數(shù)字系統(tǒng)（如下圖）。

比如在一個只有5個元素的有限數(shù)系統(tǒng)中，4+3=2.在這種系統(tǒng)中，其它運(yùn)算也遵循相似的規(guī)律，不過在有限域中，我們所熟知的素?cái)?shù)概念并沒有意義，這里的每個數(shù)都能被其它數(shù)整除，例如，7本來是不能被3整除的，但在一個只有5個元素的有限域中，它卻可以，這是因?yàn)樵谶@個有限域中，7和12是一樣的，它們在鐘面322的位置上，所以7除以3與12除以3一樣都等于4。

如此一來，有限域的孿生素?cái)?shù)猜想就與素多項(xiàng)式相關(guān)了，那么，什么是素多項(xiàng)式？假設(shè)一個有限域包含的數(shù)字是1、2、3.在這個有限域中，多項(xiàng)式是以這些數(shù)字作為系數(shù)的，而一個“素多項(xiàng)式”則是指無法被分解的多項(xiàng)式，例如x+x+2就是素多項(xiàng)式，因?yàn)樗荒鼙灰蚴椒纸?而x-1就不是素多項(xiàng)式，它可以被分解成（x+1）和（x-11的乘積。

那什么又是孿生素多項(xiàng)式呢？這是指一對差值為固定間隔的素多項(xiàng)式，例如x+x+2是素多項(xiàng)式，x+2x+2也是素多項(xiàng)式，兩者相差一個多項(xiàng)式x，有限域版本的孿生素?cái)?shù)猜想說的是，差值為x的孿生素多項(xiàng)式有無窮多對，而且它們可以相差任意距離。

有限域和素多項(xiàng)式看似人為設(shè)定，但數(shù)學(xué)家可以將整數(shù)問題轉(zhuǎn)化成多項(xiàng)式問題，它們或許比整數(shù)更容易處理。

20世紀(jì)40年代，法國著名的數(shù)學(xué)家安德雷·韋伊（Andre Weil）發(fā)明了一種能精確地將小的數(shù)字系統(tǒng)中的算術(shù)轉(zhuǎn)換為整數(shù)算術(shù)的方法，這一發(fā)現(xiàn)將有限域的概念納入了公眾視野，在有限域的設(shè)置中，一些幾何學(xué)中的知識可被用來回答與數(shù)字有關(guān)的問題，這是有限域特有的性質(zhì)，很多問題都是憑借這種幾何方式進(jìn)行重新表述而得到了解答。

利用這種思維，我們可以將每個多項(xiàng)式想象成空間中的一個點(diǎn)，將多項(xiàng)式的系數(shù)視為定義了多項(xiàng)式位置的坐標(biāo)，再以上述含有1、2、3的有限域?yàn)槔?，多?xiàng)式x+3就是二維空間中的點(diǎn)（1.3），

我們只需通過增加表達(dá)式的最高次冪，就可以構(gòu)造出更復(fù)雜的多項(xiàng)式，因此，即使是最簡單的有限域也有無限個多項(xiàng)式，比如多項(xiàng)式x-3x-1就可以用三維空間中的點(diǎn)（1.-3.-1）來表示;多項(xiàng)式3x+2x+2x-2x+X-2x+3可用八維空間中的一個點(diǎn)來表示，這種幾何空間代表了一個給定的有限域內(nèi)的所有多項(xiàng)式。

利用這種幾何方法，威爾·薩文和馬克·舒斯特曼證明了兩個關(guān)于素多項(xiàng)式在有限域中的結(jié)果：

1.孿生素?cái)?shù)猜想在有限域中是正確的：相差任意間隔的孿生素多項(xiàng)式有無窮多對。

2.這項(xiàng)研究為在給定冪指數(shù)的多項(xiàng)式中尋找孿生素多項(xiàng)式的個數(shù)提供了精確的計(jì)數(shù)方法，這就好比是知道在足夠大的數(shù)值區(qū)間內(nèi)含有多少孿生素?cái)?shù)一樣。

第二個結(jié)果是數(shù)學(xué)家們一直夢寐以求的，他們的證明表明，在近80年的時間里，數(shù)學(xué)家們一直在積極地追隨韋伊對有限域的應(yīng)用，現(xiàn)在，其他一些研究孿生素?cái)?shù)猜想的數(shù)學(xué)家們也將在威爾·薩文和馬克·舒斯特曼的研究基礎(chǔ)上繼續(xù)前行。