高飛

摘要：高度的抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科主要的特點(diǎn)。如何讓學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)深刻理解其中內(nèi)涵，從而實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)已成為教師研究的一個(gè)重要內(nèi)容。形象教學(xué)與類(lèi)比系統(tǒng)歸納同步，把抽象知識(shí)形象化處理可以收到較好的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 抽象知識(shí) 形象化

背景一：數(shù)學(xué)是抽象的。它的形成已有幾千年，當(dāng)人們?cè)谝恍┝闵⒌臄?shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用中，逐漸加深了對(duì)自然規(guī)律的認(rèn)識(shí)和把握時(shí)，有意識(shí)的抽象思維就隨之形成了。數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)在于：第一，數(shù)學(xué)的抽象體現(xiàn)于將客觀對(duì)象的其它特征拋棄，只保留它的數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行研究;第二，數(shù)學(xué)的抽象是一級(jí)一級(jí)逐步提高的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料為其具體背景，它們所達(dá)到的抽象程度大大超過(guò)了其它學(xué)科中的一般抽象;第三，高度的抽象必然有高度的概括，數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中。如果自然科學(xué)家為了證明自己的論點(diǎn)常常求助于實(shí)驗(yàn)，那么數(shù)學(xué)家證明定理只需用推理和計(jì)算。這就是說(shuō)，不僅數(shù)學(xué)的概念是抽象的，而且數(shù)學(xué)的方法也是抽象的，并且大量地使用了抽象的符號(hào)。因此高度的抽象性是數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)之一。

背景二：當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了應(yīng)付高考，教師在教學(xué)過(guò)程中過(guò)分強(qiáng)調(diào)程式化和模式化;例題教學(xué)中給學(xué)生歸納了各種類(lèi)型，并要求學(xué)生按部就班地解題，不許越雷池一步行;要求學(xué)生解答重復(fù)性練習(xí)題，減少學(xué)生自己思考和探索的機(jī)會(huì)，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)模仿，套用模式解題。重視邏輯思維訓(xùn)練而忽視形象思維訓(xùn)練的做法導(dǎo)致了學(xué)生分析問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力差。創(chuàng)造性思維水平低，學(xué)生不會(huì)自已去尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理。因此，就當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際而言，大力加強(qiáng)形象思維的訓(xùn)練有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。

形象化的知識(shí)總能給人帶來(lái)吸引力，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們需要這樣的知識(shí)形態(tài)。錢(qián)學(xué)森認(rèn)為，人類(lèi)思維可以分為三種：抽象（邏輯）思維，形象（直感）維和靈感（頓悟）思維，并建議把形象思維作為思維科學(xué)研究的突破口。

背景三：新課程理論認(rèn)為：每一位學(xué)生都是金子，他們的潛力是巨大的?？呻S著高中生源不斷萎縮，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)一年不如一年，而我校又是鄉(xiāng)下的普通高中，學(xué)生是全縣最差的普通高中學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差，接受能力弱，加上高中數(shù)學(xué)知識(shí)是高度抽象的。如果用常規(guī)方法去教學(xué)，學(xué)生上課必定是聽(tīng)不懂，長(zhǎng)此下去學(xué)生必定會(huì)厭學(xué)，學(xué)習(xí)將會(huì)越來(lái)越差。這不可避免地給我校高中數(shù)學(xué)的教學(xué)帶來(lái)一定的困難。教師必須面對(duì)這些現(xiàn)實(shí)狀況，在實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行全面的了解，并在施教過(guò)程中，不斷因人而異地研究和分析這些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面產(chǎn)生障礙的癥結(jié)所在，在教學(xué)中要采取行之有效的策略。這就需要教師時(shí)時(shí)刻刻的站在學(xué)生的角度上去形象地去理解知識(shí)，要把抽象的知識(shí)形象化，只有這樣才能激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。這對(duì)于推進(jìn)學(xué)校的素質(zhì)教育，提高學(xué)科教育質(zhì)量，具有十分重要的現(xiàn)實(shí)和歷史意義，也是教學(xué)實(shí)踐給教育理論提出的一個(gè)嚴(yán)峻課題。

據(jù)以上分析，對(duì)抽象知識(shí)進(jìn)行形象化的處理可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行：

一.抽象知識(shí)生活化

數(shù)學(xué)是抽象的，但數(shù)學(xué)是源于生活的，生活中充滿著數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們應(yīng)順應(yīng)學(xué)生的思維狀態(tài)，緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，在現(xiàn)實(shí)世界中尋找數(shù)學(xué)題材，讓教學(xué)貼近生活，讓學(xué)生在生活中看到數(shù)學(xué)，摸到數(shù)學(xué)，體會(huì)數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)脫離抽象的五彩光環(huán)還學(xué)生一個(gè)清晰畫(huà)面。從而使學(xué)生不再覺(jué)得數(shù)學(xué)是高不可及、遙不可攀、虛無(wú)飄渺的，使學(xué)生伴隨著豐富的生活情境走進(jìn)數(shù)學(xué)世界，使學(xué)生養(yǎng)成在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的思維習(xí)慣，這將使他們終身受益。教材中，生活的事例隨處可見(jiàn)。講解概率時(shí)，可以有乘車(chē)、排隊(duì)、抽簽、撲克、彩票多種生活實(shí)例讓學(xué)生參與其中;講解二分法時(shí)，可以仿做“幸運(yùn)52”中的猜手機(jī)、MP4、電腦等價(jià)格的游戲，讓學(xué)生在玩中就領(lǐng)略了二分法的作用;講解指數(shù)函數(shù)時(shí)，對(duì)一張紙要達(dá)到珠峰的高度只需折疊的次數(shù)一定會(huì)使學(xué)生大吃一驚的。諸如此類(lèi)之例，只要細(xì)心尋找，就可以為教學(xué)帶來(lái)意想不到的動(dòng)態(tài)效果?？梢哉f(shuō)從具體實(shí)例出發(fā)，是學(xué)生思維特點(diǎn)的需要，也符合抽象性和具體性的基本關(guān)系，有利于學(xué)生對(duì)抽象結(jié)論的理解。

二.抽象知識(shí)具體化

遇到一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，如果從特殊情況入手，通過(guò)對(duì)通俗的、簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，往往會(huì)出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的境地，使復(fù)雜的問(wèn)題得以解決。這就是特殊化處理一般性。如抽象函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)可是一個(gè)難點(diǎn)（通過(guò)它的名字你就能感覺(jué)得到它的特點(diǎn)）。我們經(jīng)?？梢赃@樣去解決：先找出一個(gè)符合函數(shù)方程的具體的代表函數(shù)，通過(guò)對(duì)代表函數(shù)性質(zhì)的分析，加深對(duì)抽象函數(shù)的各種性質(zhì)的理解。解決問(wèn)題后，還要對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的一般情況作一個(gè)思考?xì)w納，加深對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。下面就以抽象函數(shù)定義域求法為例，希望能起到拋磚引玉的作用。抽象函數(shù)是指沒(méi)有明確給出具體解析式的函數(shù)，其有關(guān)問(wèn)題對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)具有一定難度，特別是求其定義域時(shí)，許多同學(xué)解答起來(lái)總感棘手，下面結(jié)合實(shí)例具體介紹一下抽象函數(shù)定義域問(wèn)題的幾種題型及求法。

這樣就把較為抽象的解題思路具體化，使全體學(xué)生對(duì)這種思路都能有更加形象、深刻的認(rèn)識(shí)。學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的認(rèn)識(shí)，不能只停留在直觀的感性認(rèn)識(shí)這個(gè)初級(jí)階段，還應(yīng)發(fā)揮表象作用，使具體的感性認(rèn)識(shí)逐步過(guò)渡到抽象的理性認(rèn)識(shí)。

三.抽象知識(shí)系統(tǒng)化

站在系統(tǒng)的高度，注意比較知識(shí)間的聯(lián)系和區(qū)別，不但有利于抓住問(wèn)題本質(zhì)，而且可以找出規(guī)律即共性，簡(jiǎn)化記憶，便于掌握。因?yàn)槁?lián)系、規(guī)律、和諧正是數(shù)學(xué)科學(xué)的本來(lái)面目。不同的問(wèn)題可用同一個(gè)手段、方法、思路去解決;同一個(gè)問(wèn)題也可用不同的手段、方法、思路去解決。缺乏整理的知識(shí)難于被學(xué)生所理解和掌握，而站在系統(tǒng)的高度，對(duì)知識(shí)八方聯(lián)系的結(jié)果，則知識(shí)好像在手心里，了若指掌。例如筆者在處理2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算第一課時(shí)教學(xué)時(shí)，為了使學(xué)生順利理解對(duì)數(shù)的概念，先從加減、乘除互為逆運(yùn)算出發(fā)，乘方的逆運(yùn)算是開(kāi)方（在一定范圍內(nèi)），例如在3中，求底數(shù)的運(yùn)算就是開(kāi)方運(yùn)算，寫(xiě)成;求指數(shù)的運(yùn)算就是對(duì)數(shù)的運(yùn)算，寫(xiě)成，從中可以知道乘方、開(kāi)方、對(duì)數(shù)三者互為逆運(yùn)算。借助下列表格，可以進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)的本質(zhì)的概念。

四.抽象知識(shí)變式化

五.抽象知識(shí)圖形化

數(shù)形結(jié)合是高中四大數(shù)學(xué)思想之一。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái);通過(guò)對(duì)圖形的處理，發(fā)揮直觀對(duì)抽象的作用，實(shí)現(xiàn)抽象概念和具體形象的聯(lián)系，可以把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問(wèn)題來(lái)研究，或者把圖形的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題來(lái)研究，使數(shù)學(xué)問(wèn)題得到解決。數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想和方法賦詩(shī)：“數(shù)與形本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休;切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”教學(xué)中，可以用文氏圖使得集合間的關(guān)系符號(hào)和集合運(yùn)算符號(hào)具體化;可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量讓復(fù)數(shù)具體化;可以用函數(shù)圖像讓函數(shù)生動(dòng)具體。重視數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，善于用形的具體來(lái)化解數(shù)的抽象，是高中學(xué)生的必修功課。

六.抽象知識(shí)信息化

現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對(duì)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容、數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)等方面產(chǎn)生深刻的影響?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提到：“應(yīng)重視信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的有機(jī)整合，整合的原則是有利于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。……在教學(xué)中，應(yīng)重視利用信息技術(shù)來(lái)呈現(xiàn)以往課堂教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程內(nèi)容?！倍R(shí)的抽象性正是課堂教學(xué)中難以呈現(xiàn)的內(nèi)容之一。在函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性概念的學(xué)習(xí)中，最讓學(xué)生感到困惑的是：如何突破常量到變量的轉(zhuǎn)化，從而達(dá)到由直觀到抽象。幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)演示在解決此類(lèi)問(wèn)題中具有絕對(duì)的優(yōu)勢(shì)，它可以通過(guò)演示數(shù)量的變化特征，給學(xué)生以啟發(fā)，從形的特征中找出它們?cè)跀?shù)值上的規(guī)律，形成函數(shù)奇偶性的定義。直觀是學(xué)生領(lǐng)會(huì)抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的起點(diǎn)，是使學(xué)生由不知到已知的開(kāi)端;教師在教學(xué)中應(yīng)盡可能對(duì)有關(guān)課題作形象化的處理，例如，使用圖片、幻燈、錄像以及計(jì)算機(jī)軟件，是數(shù)學(xué)教學(xué)中用作發(fā)展學(xué)生抽象思維的重要手段和原則。

總之，由于學(xué)生認(rèn)識(shí)水平的限制，他們對(duì)于教材中較多地反映了數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)而掩蓋了數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程中的數(shù)學(xué)理論是難以獨(dú)立地完成認(rèn)識(shí)過(guò)程的。他們對(duì)于數(shù)學(xué)理論背后所蘊(yùn)含的豐富的具體內(nèi)容，或者頭腦中比較缺乏，或者有一定的感性但不能很好地將之與所學(xué)的理論相聯(lián)系，而對(duì)于被理論所掩蓋的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過(guò)程則更是難以把握。所以在教學(xué)中，教師應(yīng)為學(xué)生提供適量的，具有典型意義的具體的形象的材料，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)理論知識(shí)的導(dǎo)引下，對(duì)這些材料進(jìn)行充分的感知，并在此的基礎(chǔ)上再進(jìn)行抽象概括，使新知識(shí)與已有的數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)建立起內(nèi)在聯(lián)系，成為一個(gè)有機(jī)的知識(shí)整體，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)理論的理性認(rèn)識(shí)。設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程時(shí)，一定要讓學(xué)生有機(jī)會(huì)經(jīng)歷各個(gè)抽象階段：從現(xiàn)實(shí)的形象材料中抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，通過(guò)從大量的或復(fù)雜的數(shù)學(xué)材料中抽取最重要的，本質(zhì)的屬性或特征，從表現(xiàn)形式不同的數(shù)學(xué)材料中分析它們共同點(diǎn)的思維活動(dòng);通過(guò)分析數(shù)學(xué)對(duì)象的特征及其之間的聯(lián)系或關(guān)系，掌握數(shù)學(xué)的定義、定理、公式、法則等等。

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