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        廣義混合隱擬平衡問題的迭代算法

        2014-09-07 06:51:08楊鑫波
        關(guān)鍵詞:單值廣義常數(shù)

        楊鑫波

        (重慶第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程系,重慶 400067)

        1 引言及預(yù)備知識(shí)

        均衡問題已經(jīng)成為一個(gè)有趣的應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。最近,moudafi[1],丁[2]和夏[3]利用輔助原理技術(shù)提出解決平衡問題的迭代方法。在本文中,我們利用輔助原理的方法,提出了一類三步預(yù)測(cè)校正迭代方法求解廣義集值混合隱擬平衡問題。我們證明了所提出的方法的收斂性,且條件只需要連續(xù)性和部分松弛強(qiáng)聯(lián)合g-偽單調(diào)性。

        假設(shè)H是一希爾伯特空間,其內(nèi)積和范數(shù)分別為‖·‖和〈·,·〉,C(H)為H的全部非空緊子集,T∶H→C(H)為多值映射,設(shè)K為空間H中的非空閉凸子集。g∶H→H為兩個(gè)單值映射,F(xiàn)(·,·,·)∶H×H×H→(-∞,+∞),φ(·,·):H×H→(-∞,+∞),g∶H→H為三個(gè)單值映射,考慮以下廣義多值混合隱似平衡問題:x∈H,g(x)∈K,v∈T(x),使得

        F(v,g(y),g(x))+φ(g(y),g(x))+φ(g(x),g(x))≥0 ?g(y)∈K

        (1.1)

        (1)如果g=I,問題(1.1)等價(jià)于求x∈H,v∈T(x),使得

        F(v,x,y)+φ(y,x)+φ(x,x)≥0 ?y∈H

        (1.2)

        稱此問題為廣義混合隱擬平衡問題。

        (2)如果φ(·,·)=0,問題(1.2)等價(jià)于求x∈H,v∈T(x)使得

        F(v,x,y)≥0 ?y∈H

        (1.3)

        稱此問題為多值平衡問題。

        (3)如果F(v,x,y)=〈v,y-x〉,問題(1.3)等價(jià)于求x∈H,v∈T(x)使得

        〈v,y-x〉≥0 ?y∈H

        (1.4)

        稱此問題為廣義變分不等式。由此易知,問題(1.2)-(1.4)為問題(1.1)的特殊情況。另外,我們還需要以下概念和已知結(jié)果。

        定義1.1[3]:設(shè)T∶H→C(H)為多值映射,g∶H→H為單值映射,函數(shù)F(·,·,·):H×H×H→(-∞,+∞),稱為:

        (1)g-單調(diào);如果?x1,x2∈H,w1∈T(x1),w2∈T(x2),有

        F(w1,g(x2),g(x1))+F(w2,g(x1),g(x2))≤0

        (2)g-偽單調(diào);如果?x1,x2∈H,w1∈T(x1),w2∈T(x2),有

        F(w2,g(x1),g(x2))≥0?F(w1,g(x2),g(x1))≤0

        (3)部分松弛強(qiáng)g-單調(diào);如果存在常數(shù)δ>0,?x1,x2,z∈H,w1∈T(x1),w2∈T(x2),有

        F(w1,g(x2),g(x1))+F(w2,g(z),g(x2))≤δ‖g(z)-g(x1)‖2

        (4)部分松弛強(qiáng)g-偽單調(diào);如果存在常數(shù)γ>0,?x1,x2,z∈H,w1∈T(x1),w2∈T(x2),有

        F(w2,g(z),g(x2))≥0?F(w1,g(x2),g(x1))≤

        γ‖g(z)-g(x1)‖2

        引理1.1?u,v∈H,有

        2〈u,v〉=‖u+v‖2-‖u‖2-‖v‖2

        (1.5)

        定義1.2[3]設(shè)T:H→C(H)為多值映射,

        φ(·,·):H×H→(-∞,+∞),g:H→H

        為兩個(gè)單值映射,函數(shù)F(·,·,·):H×H×H→(-∞,+∞)稱為:

        (1)聯(lián)合g-偽單調(diào);如果?x1,x2∈H,w1∈T(x1),w2∈T(x2),有

        F(w2,g(x1),g(x2))+φ(g(x1),g(x2))-

        φ(g(x2),g(x2))≥0

        ?F(w1,g(x2),g(x1))+φ(g(x2),g(x2))-

        φ(g(x1),g(x2))≤0

        (2)部分松弛強(qiáng)聯(lián)合g-偽單調(diào);如果存在常數(shù)γ>0,

        ?x1,x2,z∈H,w1∈T(x1),w2∈T(x2),有

        F(w2,g(z),g(x2))+φ(g(z),g(x2))-

        φ(g(x2),g(x2))≥0

        ?F(w1,g(x2),g(x1))+φ(g(x2),g(x2))-

        φ(g(z),g(x2))≤γ‖g(z)-g(x1)‖2

        注1.1 如果φ=0,函數(shù)F的聯(lián)合g-偽單調(diào)退化為g-偽單調(diào);部分松弛強(qiáng)聯(lián)合g-偽單調(diào)退化為部分松弛強(qiáng)g-偽單調(diào)。

        定義1.3 稱多值映射T:H→C(H)為M-連續(xù)的,如果有{un}?H,且un→u,在C(H)上的Hausdorff度量為M,有T(un)→T(u)。

        定義1.4 函數(shù)φ(·,·):H×H→(-∞,+∞)稱為是斜對(duì)稱的:?x,y∈H,有

        φ(x,x)+φ(y,y)-φ(x,y)-φ(y,x)≥0

        2 主要結(jié)果

        本節(jié)利用輔助原理技術(shù)構(gòu)造迭代算法來求解問題(1.1)。

        設(shè)x∈H,g(x)∈K,v∈T(x),考慮以下輔助變分不等式問題(AVIP):求解w∈H,使得

        ρF(v,g(y),g(z))+ρφ(g(y),g(z))-

        ρφ(g(z),g(z))+〈g(z)-g(x),g(y)-g(z)〉≥0

        (2.1)

        ?g(y)∈K,常數(shù)ρ>0。

        當(dāng)z=x,則w為問題(1.1)的解,這樣便是我們用預(yù)測(cè)-校正算法解決問題(1.1)。

        算法2.1 對(duì)于一個(gè)給定的x0∈H,v0∈T(x0),利用迭代序列計(jì)算逼近解(xn,vn),

        μF(vn,g(y),g(xn))+μφ(g(y),g(yn))-

        μφ(g(yn),g(yn))+〈g(yn)-g(xn),g(y)-

        g(yn)〉≥0

        (2.2)

        βF(ξn,g(y),g(yn))+βφ(g(y),g(zn))-

        βφ(g(zn),g(zn))+〈g(zn)-g(yn),g(y)-g(zn)〉≥0

        (2.3)

        ρF(ηn,g(y),g(zn))+ρφ(g(y),g(xn+1))-

        ρφ(g(xn+1),g(xn+1))+〈g(xn+1)-g(zn),g(y)-

        g(xn+1)〉≥0

        (2.4)

        ‖vn+1-vn‖≤(1+(n+1)-1)M(T(xn+1,xn)),g(y)∈K,vn∈T(xn);

        (2.5)

        ‖ξn+1-ξn‖≤(1+(n+1)-1)M(T(yn+1,yn)),g(y)∈K,ξn∈T(yn);

        (2.6)

        ‖ηn+1-ηn‖≤(1+(n+1)-1)M(T(zn+1,zn)),g(y)∈K,ηn∈T(zn);

        (2.7)

        常數(shù)ρ>0,μ>0,β>0,M為C(H)上的hausdorff度量。

        為了對(duì)算法2.1進(jìn)行收斂分析,我們還需要以下結(jié)論。

        引理2.1 若(x,v)為問題(1.1)的解,xn,vn為由算法2.1得到的逼近解,設(shè)F(·,·,·)是關(guān)于常數(shù)γ>0的部分松弛強(qiáng)聯(lián)合g-偽單調(diào)的,φ(·,·)是斜對(duì)稱的,則有

        ‖g(xn+1)-g(x)‖2≤‖g(zn)-g(x)‖2-

        (1-2ργ)‖g(xn+1)-g(zn)‖2

        (2.8)

        ‖g(zn)-g(x)‖2≤‖g(yn)-g(x)‖2-

        (1-2βγ)‖g(zn)-g(yn)‖2

        (2.9)

        ‖g(yn)-g(x)‖2≤‖g(xn)-g(x)‖2-

        (1-2μγ)‖g(yn)-g(xn)‖2

        (2.10)

        證明設(shè)x∈H,v∈T(x)問題(1.1)的解

        ρF(v,g(y),g(x))+ρφ(g(y),g(x))+

        ρφ(g(x),g(x))≥0 ?g(y)∈K

        (2.11)

        βF(v,g(y),g(x))+βφ(g(y),g(x))+

        βφ(g(x),g(x))≥0 ?g(y)∈K

        (2.12)

        μF(v,g(y),g(x))+μφ(g(y),g(x))+

        μφ(g(x),g(x))≥0 ?g(y)∈K

        (2.13)

        ρF(v,g(xn+1),g(x))+ρφ(g(xn+1),g(x))+

        ρφ(g(x),g(x))≥0

        (2.14)

        由于F(·,·,·)是關(guān)于常數(shù)γ>0的部分松弛強(qiáng)聯(lián)合g-偽單調(diào)的,

        ρF(ηn,g(x),g(zn))+ρφ(g(x),g(x))-

        ρφ(g(xn+1),g(x))≤ργ‖g(xn+1)-g(zn)‖2,

        (2.15)

        ηn∈T(zn),將y=x代入(2.4)有

        ρF(ηn,g(x),g(zn))+ρφ(g(x),g(xn+1))-

        ρφ(g(xn+1),g(xn+1))+〈g(xn+1)-g(zn),g(x)-

        g(xn+1)〉≥0

        (2.16)

        由(2.15)和(2.16)可得

        〈g(xn+1)-g(zn),g(x)-g(xn+1)〉

        ≥-ργ‖g(xn+1)-g(zn)‖2+ρφ(g(x),g(x))+

        ρφ(g(xn+1),g(xn+1))-ρφ(g(xn+1),g(x))-ρφ(g(x),

        g(xn+1))

        (2.17)

        由于φ(·,·)是斜對(duì)稱的以及(2.17),可得

        〈g(xn+1)-g(zn),g(x)-g(xn+1)〉

        ≥-ργ‖g(xn+1)-g(zn)‖2

        (2.18)

        令u=g(x)-g(xn+1),v=g(xn+1)-g(zn)代入(1.5)式可得

        〈g(xn+1)-g(zn),g(x)-g(xn+1)〉=

        ‖g(xn+1)-g(zn)‖2}

        (2.19)

        結(jié)合(2.18)和(2.19),可得

        ‖g(xn+1)-g(x)‖2≤‖g(zn)-g(x)‖2-(1-2ργ)‖g(xn+1)-g(zn)‖2

        (2.20)

        將y=zn代入(2.12)有

        βF(v,g(zn),g(x))+βφ(g(zn),g(x))+

        βφ(g(x),g(x))≥0

        (2.21)

        由于F(·,·,·)是關(guān)于常數(shù)γ>0的部分松弛強(qiáng)聯(lián)合g-偽單調(diào)的,有

        βF(ξn,g(x),g(yn))+βφ(g(x),g(x))-

        βφ(g(zn),g(x))≤βγ‖g(zn)-g(yn)‖2

        (2.22)

        ξn∈T(yn),將y=x代入(2.3)有

        βF(ξn,g(x),g(yn))+ρφ(g(x),g(zn))-

        ρφ(g(zn),g(zn))+〈g(zn)-g(yn),g(x)-g(zn)〉≥0

        (2.23)

        由(2.22)和(2.23)可得

        〈g(zn)-g(yn),g(x)-g(zn)〉

        ≥-βγ‖g(zn)-g(yn)‖2+βφ(g(x),g(x))+

        βφ(g(zn),g(zn))-ρφ(g(x),g(zn))-ρφ(g(zn),g(x))

        (2.24)

        由于φ(·,·)是斜對(duì)稱的以及(2.24),可得

        〈g(zn)-g(yn),g(x)-g(zn)〉≥-βγ‖g(zn)-g(yn)‖2

        (2.25)

        令u=g(x)-g(zn),v=g(zn)-g(yn)代入(1.5)及(2.25)式可得

        ‖g(zn)-g(x)‖2≤‖g(yn)-g(x)‖2-

        (1-2βγ)‖g(zn)-g(yn)‖2

        (2.26)

        同理,令y=x代入(2.1)及y=yn代入(2.14),利用F(·,·,·)是關(guān)于常數(shù)γ>0的部分松弛強(qiáng)聯(lián)合g-偽單調(diào)性及φ(·,·)是斜對(duì)稱性可得

        〈g(zn)-g(yn),g(x)-g(zn)〉≥-μγ‖g(yn)-g(xn)‖2

        (2.27)

        令u=g(yn)-g(xn),v=g(x)-g(yn)代入(1.5)及(2.27)式可得

        ‖g(yn)-g(x)‖2≤‖g(xn)-g(x)‖2-(1-2μγ)‖g(yn)-g(xn)‖2

        (2.28)

        證明設(shè)x∈H,v∈T(x)問題(1.1)的解,由(2.8)-(2.10)引出的序列{‖xn-x‖},{‖yn-x‖}和{‖zn-x‖}是非遞增的,因此{(lán)xn},{yn}和{zn}是有界的,有

        因此有

        (2.29)

        參考文獻(xiàn):

        [1]A. Moudafi. Second-order differential proximal methods for equilibrium problems[J]. J. Inequal.Pure Appl. Math. 4 (2003). Article 18.

        [2]X.P. Ding. Iterative algorithm of solutions for generalized mixed implicit equilibrium-like problems[J]. Appl. Math. Comput. 162 (2005) :799-809.

        [3]F.Q.Xia,X.P. Ding. Predictor-corrector algorithms for solving generalized mixed implicit quasi-equilibrium problems[J]. Appl. Math. Comput. (2007): 173-179.

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