李大永

一位魔術(shù)師請(qǐng)觀眾從一副撲克牌中任意抽取出20張牌（不讓魔術(shù)師看到被抽到的牌的正面）。魔術(shù)師將這20張牌均分成四份，然后逐一拿起每一份牌，并把牌的正面展現(xiàn)給觀眾看，之后請(qǐng)觀眾說(shuō)出其中紅花色牌（紅桃和方片）的張數(shù)。然后魔術(shù)師將四份牌放在一起，請(qǐng)觀眾洗牌，并將牌在桌面上擺成一個(gè)圈。最后，魔術(shù)師俯下身將耳朵貼近這圈牌，做出認(rèn)真傾聽的動(dòng)作，接著抬起身告訴觀眾：“我聽到紅色牌和黑色牌正在談?wù)撍鼈兿噜彽呐剖峭倪€是異色的，所以我知道這一圈牌中相鄰紅色牌的對(duì)數(shù)與相鄰黑色牌的對(duì)數(shù)哪個(gè)更多，而且還知道多多少。”

當(dāng)魔術(shù)師說(shuō)出結(jié)果后，觀眾翻開牌檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)魔術(shù)師果然說(shuō)對(duì)了！難道魔術(shù)師真有特異功能嗎？顯然是不可能的！神秘現(xiàn)象背后必有不為人知的道理！

我們不妨先大膽地猜一猜，魔術(shù)師所知曉的信息是從哪里來(lái)的？

仔細(xì)分析魔術(shù)師的操作過(guò)程，去掉那些迷惑人的動(dòng)作信息，其中關(guān)鍵的信息實(shí)際上只有兩個(gè)：①總牌數(shù)20張;②觀眾反饋的紅花色牌數(shù)。所以魔術(shù)師所知曉的信息只能來(lái)源于上述兩個(gè)數(shù)據(jù)。

實(shí)際上，大家可以親手試驗(yàn)一下，不需要撲克牌'我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)尋找問(wèn)題的答案，只需用字母R、B來(lái)分別表示紅牌和黑牌，20張牌太多了，可以少一些，方便試驗(yàn)。下面，我們不妨用6張字母牌試試，如圖1所示，字母牌是4紅2黑，相鄰紅牌對(duì)數(shù)為2，相鄰黑牌對(duì)數(shù)為O;我們將其中一個(gè)紅牌改為黑牌，這樣就是3紅3黑，如圖2、圖3、圖4.

在圖2中，相鄰紅牌對(duì)數(shù)為1，相鄰黑牌對(duì)數(shù)為1;在圖3中，相鄰紅牌對(duì)數(shù)為2，相鄰黑牌對(duì)數(shù)為2;在圖4中，相鄰紅牌對(duì)數(shù)0，相鄰黑牌對(duì)數(shù)0.通過(guò)觀察圖2、3、4，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，相鄰黑牌和相鄰紅牌的對(duì)數(shù)總是一樣的，另外，圖2、3、4中的紅色牌和黑色牌的張數(shù)也是相同的。結(jié)合圖1的結(jié)果，我們不難發(fā)現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：相鄰紅牌對(duì)數(shù)與相鄰黑牌對(duì)數(shù)的差與紅牌數(shù)與黑牌數(shù)的差是相等的。

現(xiàn)在的問(wèn)題是：這個(gè)規(guī)律對(duì)于20張牌是成立的嗎？如果是，那么為什么？如果是對(duì)于任意張數(shù)的牌，是否還存在這個(gè)規(guī)律呢？

如果采取試驗(yàn)的方式，顯然情況太多了。我們把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：

設(shè)紅色牌和黑色牌分別有p張和q張，擺放成一圈后，相鄰兩張牌同為紅色的組數(shù)為m，相鄰兩張牌同為黑色的組數(shù)記為n。那么問(wèn)題就是要判斷p-g=m-n是否總成立？但這還不算是純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，因?yàn)檠芯繉?duì)象——“牌”是非數(shù)學(xué)對(duì)象。因此，我們可以設(shè)紅色牌的取值為1，黑色牌的取值為-1，這樣，問(wèn)題就可以表述為：已知一個(gè)圓形數(shù)陣中的數(shù)字只有1和-1，其中有p個(gè)數(shù)字是1，有g(shù)個(gè)數(shù)字是-1.若記圓形數(shù)陣中相鄰兩數(shù)同為1的組數(shù)為m，相鄰兩數(shù)字同為-1的組數(shù)為n，則判斷p-g=m-n是否總成立？