汪曉勤

我國(guó)古代人很早就知道了等差和等比數(shù)列。半坡出土的陶器上，就有排成等差數(shù)列的點(diǎn)陣花紋。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)的銅環(huán)權(quán)，其重量大致都按等差或等比數(shù)列配置，如長(zhǎng)沙近郊出土的10枚戰(zhàn)國(guó)時(shí)期楚國(guó)“鈞益”銅環(huán)權(quán)，其重量分別為1銖、2銖、3銖、6銖、12銖、1兩、2兩、4兩、8兩、1斤。《莊子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半”的辯題和《周易·系辭傳》中的生卦法也都是有關(guān)等比數(shù)列的例子。

中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中有著豐富的數(shù)列知識(shí)。本文對(duì)其中涉及等差和等比數(shù)列的部分問題進(jìn)行探究。

一、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式

三、等比數(shù)列與比例

我國(guó)古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中也很多的等比數(shù)列問題?！秾O子算經(jīng)》中載有如下著名問題：“今有出門望見九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色。問各幾何？這里，堤、木、枝、巢、禽、雛、毛、色的數(shù)目構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為9、公比為9的等比數(shù)列，與古代兩河流域的人鳥問題、古埃及的貓鼠問題類似。

四、等差和等比數(shù)列的其他例子

《九章算術(shù)》中的數(shù)列問題對(duì)后世影響深遠(yuǎn)，后世的很多數(shù)列問題往往是對(duì)它們的改編。如《張丘建算經(jīng)》將均輸章的第18問改為“今有十等人，大官甲等十人官賜金，依等次差降之。上三人先入，得金四斤持出;下四人后入，得金三斤持出;中央三人未到者，亦依等次更給。問：各得金幾何及未到三人復(fù)應(yīng)得金幾何？”朱世杰將同一問題改為：“今有竹七節(jié)，下二節(jié)容米三升，上三節(jié)容米二升。問中二節(jié)及逐節(jié)各容幾何？”程大位則用詩歌形式來表達(dá)類似問題：“家有九節(jié)竹一莖，因?yàn)槭⒚撞痪?。下頭三節(jié)三升九，上梢四節(jié)貯三升。唯有中間兩節(jié)竹，要將米數(shù)次第盛。若是先生能算法，教君只算到天明?！?/p>

此外，漢譯佛經(jīng)中也有一些與等比數(shù)列相關(guān)的知識(shí)。如隋代閣那崛多法師（523-600）所譯的《佛本行集經(jīng)》卷12中，記載了悉達(dá)多太子講授“微塵數(shù)”的算法：“凡七微塵，成一窗塵;合七窗塵，成一兔塵;合七兔塵，成一羊塵;合七羊塵，成一牛塵;合七牛塵，成于一蟣;合于七蟣，成于一虱;合于七虱，成一芥子;合七芥子，成一大麥;合七大麥，成一指節(jié);累七指節(jié)，成于半尺?！边@里，微塵、窗塵、兔塵、羊塵、牛塵、蟣、虱、芥子、大麥、指節(jié)、半尺的長(zhǎng)度構(gòu)成了公比為7的等比數(shù)列。唐代玄奘（602-664）所譯的《俱舍論》佛經(jīng)中，記載了類似的長(zhǎng)度單位，為極微、微、金塵、水塵、兔毛塵、羊毛塵、牛毛塵、隙游塵、蟣、虱和指節(jié)，其公比仍為7.

基于對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中數(shù)列問題的考查，我們大致可以得出以下結(jié)論：中國(guó)古代數(shù)列問題與比例方法密不可分，涉及到由數(shù)列和求各項(xiàng)的問題，配分比例是最主要的工具;《九章算術(shù)》基本上確立了等差和等比數(shù)列問題的模式，對(duì)后世影響深遠(yuǎn);古代數(shù)學(xué)家對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和公式運(yùn)用嫻熟，《九章算術(shù)》之后又有所發(fā)展;由于缺乏表達(dá)指數(shù)的有效方法，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式付之闕如，有關(guān)的問題只能通過衰分術(shù)來求解，因而中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在等比數(shù)列方面的取得成就遠(yuǎn)遜于在等差數(shù)列方面的取得成就;古代數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中的數(shù)列問題精彩紛呈，為我們今天的課堂教學(xué)提供了豐富的素材。