郭世杰，梅雪松，姜歌東+

(1.內蒙古工業(yè)大學 機械工程學院，內蒙古 呼和浩特 010051；2.西安交通大學 機械工程學院，陜西 西安 710049)

0 引言

幾何精度是評價機床性能的重要參數[1-2]，幾何誤差是機床幾何精度的直接體現(xiàn)，也是決定機床加工精度的重要誤差源[3-5]，通過實施誤差補償技術可以有效保證和提升機床的幾何精度[6]。誤差補償技術包括誤差建模、誤差測量及辨識、誤差補償，其中誤差測量及辨識是誤差預測的關鍵，是開展誤差補償的前提[7]。因此，幾何誤差辨識值的準確性決定了預測結果的優(yōu)劣，實施高效、準確地辨識對提升機床精度具有重要作用。

國內外眾多研究院所針對幾何誤差測量及辨識方法進行了廣泛研究，并提出諸多有效方案[8-11]。根據幾何誤差辨識方法的差異性，幾何誤差測量分為以測量儀器為核心的直接測量辨識法和以測量策略為核心的間接測量辨識方法[12-13]。在直接測量法中，最為常用的是激光干涉儀和跟蹤儀。韓飛飛等[14]基于雷尼紹XL-80型激光干涉儀直接測量并辨識了直線軸定位誤差、直線度誤差和角度誤差，并分析了直線軸定位誤差與相應軸向誤差向量間的關聯(lián)性；Cheng等[15]利用API-6D激光干涉儀經多次測量量化了四軸臥式鏜床的空間幾何誤差分布特征；Ibaraki等[16]利用激光跟蹤儀測量了機床工作空間內測點3個方向的誤差向量，通過最小二乘法確定了幾何誤差的數值。目前，API-6D型激光干涉儀和Renishaw XM-60型激光干涉儀可實現(xiàn)一次安裝測量并辨識6項幾何誤差，但前者需配備電子水平儀直接測量滾轉角，后者成本較高且光路校準繁瑣，測量結果易受周圍環(huán)境影響[1]，因此API-6D和Renishaw XM-60型6自由度幾何誤差測量系統(tǒng)未被ISO 230系列標準[17]推薦。激光干涉、跟蹤儀和球桿儀(Double Ball Bar，DBB)是間接測量方法常用的測量儀器，間接測量法利用規(guī)劃的空間測量軌跡和所建立的綜合誤差模型進行幾何誤差解耦辨識。Li等[18]在九線法和十二線法[19]的基礎上提出十三線法，并對三軸機床的21項幾何誤差進行了辨識；He等[20]提出雙路激光測量方法，利用激光干涉儀測量空間軌跡的幾何關系辨識了直線軸滾轉誤差以外的其他幾何誤差項；田文杰等[21]利用DBB測量了空間共球面三圓弧軌跡，并利用嶺回歸方法辨識了直線軸的全部幾何誤差，通過與最小二乘法的擬合結果對比驗證了所提測量方案的可行性；Lee等[22]利用DBB對五軸機床旋轉軸連接誤差和運動誤差進行了同步辨識；Guo等[23]利用DBB在4個位置測量圓軌跡，辨識了五軸機床旋轉軸的全部連接誤差。ISO 230-1[17]標準推薦采用基于激光干涉儀測量的空間體對角線測量方法和激光干涉儀測量的分步體對角線測量方法，然而體對角線檢測方法假設角度誤差較小，而且測量結果僅能作為機床精度的評價手段，不能測量誤差項的精準值；分步對角線法因為測量路徑多，所以在測量過程中會耦合動態(tài)誤差。DBB和跟蹤儀的綜合精度為1 μm～101μm，達不到亞微米，針對這一不足，Knapp等[24]設計了精度為納米級的平面光柵測量系統(tǒng)，即GGE(gross grid encoder)，該系統(tǒng)同時具備激光干涉儀和DBB的功能，可以測量機床工作空間內任一平面上的復雜軌跡；Du等[25]利用Haidenhaim平面光柵在三軸機床上測量圓軌跡、直線軌跡和折線軌跡，提出8種角度誤差辨識方案，并辨識出三軸機床的21項幾何誤差值。對高精密機床而言，ISO有使用GGE測量圓軌跡來評價機床精度的規(guī)定，但對利用其設計何種方式的測量軌跡來辨識幾何誤差數值的研究尚停留在探索階段，現(xiàn)有的利用GGE檢測機床幾何精度的方法較少[1,26]，已有測量方法由于測量路徑為復合軌跡，測量過程存在間斷性，容易受安裝誤差的影響。因此，如何利用測量讀數精度可達納米級的GGE高效準確地測量和辨識數控機床幾何誤差是當前機床研究領域的熱點。

為了完善現(xiàn)有研究方法，本文在已有研究基礎上提出一種基于平面光柵的面—線測量和辨識新方法。通過3次安裝，在3個相互垂直的平面內分別通過測量一次直線軌跡來規(guī)劃路徑，減少由于安裝在特定位置而產生的安裝誤差累積效應，并統(tǒng)一各測量平面的測量基準點與誤差原點之間的位置關系。根據多體系統(tǒng)理論建立綜合幾何誤差模型，依次辨識垂直度誤差、俯仰誤差、偏擺誤差、定位誤差、直線度誤差和滾轉誤差在內的21項幾何誤差值。最后采用基于激光干涉儀的九線法進行幾何誤差測量和辨識，對比驗證本文方法的有效性。

1 數控機床幾何誤差建模

1.1 幾何誤差的定義

根據剛體假設，空間中的物體有6個自由度。實際狀態(tài)下剛體在相應的自由度上存在與理想狀態(tài)偏離的代數值(偏差值)，對數控機床而言，該偏差值源于零部件在制造和裝配過程存在的缺陷和不精確問題，最終形成幾何誤差。以Y直線軸為例，其6項幾何誤差如圖1所示。

Y直線軸包括3項線性誤差(δx(y)，δy(y)，δz(y))和3項角度誤差(εx(y)，εy(y)，εz(y))。圖1的誤差元素δi(j)，εk(j)中，δ表示定位誤差和直線度誤差，ε表示滾轉誤差、俯仰誤差和偏擺誤差，i表示誤差所在的方向，k表示角度誤差所繞的方向，j表示運動的直線軸。另外，3個直線軸之間的3項角度誤差即垂直度誤差Slm，S表示垂直度誤差，l，m表示兩個直線軸。三軸機床的21項幾何誤差如表1所示。

表1 機床幾何誤差的定義

1.2 機床結構及坐標系的建立

根據多體系統(tǒng)理論，三軸數控機床可視為由刀具鏈和工件鏈組成的多體系統(tǒng)，如圖2a所示。三軸數控機床的運動部件主要包括X，Y，Z軸導軌、工作臺、主軸、刀具等，X，Y，Z三軸聯(lián)動可完成空間范圍內的運動，其利用刀具和工件之間的相對運動進行切削加工。

將機床抽象成多個部件，每個部件看作一個剛體，圖2a中的三軸機床屬于XYFZ型，F(xiàn)表示機床床身，其左邊的字母表示工件鏈(工件相對于床身移動)，右邊的字母表示刀具鏈(刀具相對于床身移動)。在機床床身上建立機床坐標系FCS(foundation coordinate system)，以及固結于X，Y，Z軸上的局部坐標系XCS(X-axis coordinate system)，YCS(Y-axis coordinate system)，ZCS(Z-axis coordinate system)，各局部坐標系的方向與機床坐標系的方向相同(如圖2b)，工件坐標系WCS (workpiece coordinate system)、主軸坐標系SCS(spindle coordinate system)和刀具坐標系TCS(tool coordinate system)分別與工作臺、Z軸和主軸連接。

1.3 機床幾何誤差建模

三軸數控機床可視為典型的多體系統(tǒng)，由各局部坐標系之間的位置關系可知WCS與XCS、SCS與ZCS、TCS與SCS之間的位置變換關系可用單位矩陣表征[27-28]。刀具安裝于機床的主軸上，主軸端的安裝制造精度較高，工件通過專用夾具安裝于工作臺端，利用約束限制其自由度，可忽略主軸、刀具及被加工件幾何誤差的影響。理想狀態(tài)下，機床各個部件在X，Y，Z軸驅動下沿正向運動x，y，z距離時，相鄰兩部件之間的位置變化關系表示為：

(1)

在此狀態(tài)下，工件切削接觸點與刀尖切削點完全重合，工件鏈上各局部坐標經齊次變換傳遞至機床坐標系的位置與刀具鏈經坐標變換傳遞至機床坐標系的位置相同，即：

(2)

(3)

(4)

機床在實際運行過程中需要考慮各項幾何誤差對運動部件位姿的作用，即各位置誤差和角度誤差對位置變換矩陣產生的影響。當工作臺沿Y軸導軌運動距離y時，用齊次坐標變換表達6項幾何誤差，忽略高階誤差項，可得由YCS到FCS的變換矩陣為

(5)

同理，當工作臺沿X，Z軸導軌分別運動x，z時，X軸的6項幾何誤差和垂直度誤差Sxy影響X軸的位姿，Z軸的6項幾何誤差和垂直度誤差Sxz，Syz影響Z軸的位姿，利用空間齊次坐標變換表達上述幾何誤差項，忽略高階誤差項，基于小角度假設可定義角度誤差的正弦函數等于其本身，余弦函數等于1，從而得到由XCS到YCS的變換矩陣(式(6))和由ZCS到FCS的變換矩陣(式(7))：

(7)

在實際狀態(tài)下，工件鏈末端的被加工件切削點與刀具鏈末端的刀具接觸點并不重合，即存在相對位置偏差，此時有:

(8)

(9)

(10)

由理想狀態(tài)和實際狀態(tài)下工件切削點和刀尖點的位姿關系，將上述幾何誤差的齊次矩陣帶入式(10)可知

(11)

化簡后得到如圖2所示的XYFZ型三軸立式數控機床的空間幾何誤差模型為:

(12)

利用式(12)可進行幾何誤差辨識和幾何誤差預測，與常規(guī)幾何誤差模型相比[28-29]，式(12)所表達的誤差模型包括了XYFZ類型三軸數控機床的全部幾何誤差(21項)。將刀尖點和工件的被切削點按刀具鏈、工件鏈分別變換至機床床身參考坐標系，能夠統(tǒng)一幾何誤差的表達基準，使誤差測量和誤差辨識更靈活。

2 基于平面光柵的測量及辨識方案

面—線法利用平面光柵測量設定軌跡的坐標值，分別在三軸數控機床的運動平面XOY(平面Ⅰ)，XOZ(平面Ⅱ)，YOZ(平面Ⅲ)上根據預定軌跡進行測量，然后根據順序采用相應的辨識方法分別辨識耦合的幾何誤差值，僅需在3個平面分別連續(xù)測量5條線段即可快速辨識得到三軸數控機床的全部空間幾何誤差項。

2.1 測量方案及路徑規(guī)劃

設置YOZ，XOZ水平測量方向的邊界靠近測量坐標系的Z軸，XOY面的起始測量點設在區(qū)域的原點。當利用L10和L12辨識X軸的定位誤差時，先進行角度誤差辨識，再使用其與L10的數據進行分析，求得X軸上定位誤差的值，此時因為AⅠ點的Y坐標不為0，所以Y軸的偏擺誤差不為0，使Y坐標中耦合了Y軸偏擺誤差，誤差雖小但難以解耦。同理，在辨識Y軸定位誤差時，也受到X軸角度誤差的影響。因此，在辨識時將每個測量平面的基準點AⅠ通過幾何關系統(tǒng)一至相同基準下。面—線法的測量軌跡如圖3所示。

定義平面XOY，XOZ，YOZ分別為測量平面Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ。針對測量平面Ⅰ，GGE測頭的相對移動路徑為AⅠ→BⅠ→DⅠ→CⅠ→BⅠ→DⅠ→AⅠ，所形成的測量路徑如圖3所示，其中虛線表示同一路徑的第二次測量曲線，因此所記錄數據不作為誤差辨識的原始數據。同理，在測量平面Ⅱ和測量平面Ⅲ上劃定相似的測量路徑AⅡ→BⅡ→DⅡ→CⅡ→BⅡ→DⅡ→AⅡ和AⅢ→BⅢ→DⅢ→CⅢ→BⅢ→DⅢ→AⅢ。

2.2 幾何誤差辨識方法

測量過程中，以AⅠ點為基準點分析每個測量平面，辨識得到各項誤差后，通過平面幾何關系先將測量平面Ⅱ和測量平面Ⅲ的誤差統(tǒng)一為以AⅡ點為基準，最后根據AⅡ點與O點的誤差關系統(tǒng)一全部誤差的基準?；诿妗€法的測量辨識流程如圖4所示。

幾何誤差辨識步驟如下：

(1)垂直度誤差測量及辨識

以測量平面Ⅰ為例，與平面Ⅰ有關的垂直度誤差Sxy的幾何關系如圖5所示。

在圖5中，以路徑L10和路徑L14為基準線，Sxy是以X軸為基準要素、以Y軸為被測要素的垂直度誤差，實際測得的路徑趨勢線是與設定直線軌跡存在偏轉角度的傾斜直線，根據多個測點的測值，采用最小二乘法擬合求出路徑L10和L14的趨勢線L0y=a0x+b0，L4x=a4x+b4，其中：

(13)

式中(xi,yi)為各測點的實際坐標值。

利用兩條測量路徑的趨勢線斜率即可求出傾角αx,αy∈[0,π]，進而求出兩軸間的垂直度誤差為：

αx=tan-1a0,αy=tan-1a4；

(14)

(2)俯仰誤差、偏擺誤差的辨識

利用Sxy的辨識值，將路徑L10和路徑L12的趨勢線旋轉至平行X軸，消除耦合的垂直度誤差影響，得到路徑上修正的測點坐標為(xxl0,yxl0)，(xyl0,yyl0)；將路徑L13和路徑L14的趨勢線旋轉至平行Y軸，消除耦合的垂直度誤差影響，得到路徑上修正的測點坐標(xxl1,yxl1)，(xyl1,yyl1)。測量路徑L10，L12，L13，L14上的測點理論值分別為(x1x,y10)，(x1x,y11)，(x11,y1y),(x10,y1y)，根據測點理論坐標值和修正坐標值確定路徑L10上X軸測量范圍內各測點的坐標偏差

Δx0=xxl0-x1x，

(15)

X軸測量范圍內在Y方向的坐標偏差

Δy0=yxl0-y10。

(16)

在路徑L14上采用相同方法得到Y軸測量范圍內各測點的坐標偏差

Δy4=yxl0-y1y，

(17)

Y軸測量范圍內在X方向的坐標偏差

Δx4=xyl0-x10。

(18)

路徑L12上各測點的X坐標偏差值

Δx2=xxl1-xxl。

(19)

路徑L13上各測點的Y坐標偏差值

Δy3=yyl1-yyl。

(20)

利用測量路徑L12和路徑L10上各測點處X的坐標偏差值，根據偏差值與幾何誤差之間的關系，可知X軸在XOY平面內的偏擺角度誤差

(21)

根據測量路徑L13和路徑L14上各測點的X坐標偏差值，測量Y軸在XOY平面內的偏擺角度誤差為

(22)

(3)定位誤差、直線度誤差辨識

消除角度誤差對測量路徑L10的影響以后，辨識得到X軸的定位誤差δx(X)和Y向直線度誤差δy(X)分別為：

δx(x)=Δx0+εzx·x10；

δy(x)=Δy0-εzx·y1x。

(23)

同理得到Y軸的定位誤差δy(Y)和X向直線度誤差δx(Y)分別為:

δx(y)=Δx4+εzy·y1y；

δy(y)=Δy4-εzy·x10。

(24)

類似地，對測量平面Ⅱ和測量平面Ⅲ進行軌跡測量，可辨識平面Ⅱ的垂直度誤差Syz、俯仰角度誤差與偏擺角度誤差εx(z)，εx(y)，以及直線度和定位誤差誤差δy(y)，δz(y)，δz(z)，δy(z)。同理，可完成對平面Ⅲ內的角度誤差εy(x)，εy(z)，以及直線度和定位誤差δx(x)，δz(x)，δz(z)，δx(z)的辨識。

(4)滾轉誤差辨識

完成3個測量平面除滾轉誤差外的誤差辨識后，結合已經建立的三軸機床空間幾何誤差模型式(12)，在3個測量平面上對各軸測量范圍內存在重合段的公共區(qū)域進行滾轉角度誤差辨識。測量平面Ⅰ內誤差模型中Δz=0時，可確定ΔxⅠ和ΔyⅠ與相關幾何誤差的函數關系為：

(25)

對于測量平面Ⅱ，誤差模型中Δy=0時，可確定ΔxⅡ和ΔzⅡ與相關幾何誤差的函數關系為：

(26)

對于測量平面Ⅲ，誤差模型中Δx=0，可確定ΔyⅢ和ΔzⅢ與相關幾何誤差的函數關系為：

(27)

利用式(25)～式(27)建立包括3項滾轉幾何誤差的正定方程組，利用已經辨識出的定位誤差、直線度誤差、垂直度誤差、俯仰偏擺角度誤差和初始坐標值，可直接確定3個直線軸的滾轉誤差εx(x)，εy(y)，εz(z)。

3 實驗驗證

本文采用Haidenhaim KGM182光柵測量系統(tǒng)在配備華中8型的三軸數控機床上進行基于面—線法的幾何誤差測量實驗。Haidenhaim KGM182光柵測量系統(tǒng)的參數指標如表2所示。

表2 GGE測量系統(tǒng)參數指標

該機床的X/Y/Z行程為850/560/650 mm，定位精度分別為0.016/0.012/0.012 mm，重復定位精度分別為0.008/0.006/0.005 mm；根據現(xiàn)行國際標準ISO 10791-2[30]和GB/T 20957.2-2007[31]的規(guī)定以及KGM182光柵測量系統(tǒng)的安裝精度要求，GGE的安裝過程中需采用千分表使平行度和垂直度分別小于0.01和0.015；通過調整掃描頭與墊片間距，使讀數頭和光柵圓盤之間的間隙為0.5 mm。為保證3個平面內的平面光柵相互垂直，即3個平面內的平面光柵組成一個測量空間，3個測量平面內GGE的具體安裝過程如下：

(1)當在XOY平面內測量時，使光柵的基準面平行于工作臺的X軸方向，即利用千分表校準光柵和機床工作臺的平行度，保證平行度誤差小于0.01 mm，平面光柵與工作臺間的垂直度由制造精度保證。

(2)當在YOZ平面內測量時，使光柵的基準面平行于工作臺的Y軸方向，即利用千分表校準光柵和機床工作臺的平行度，使其平行度誤差小于0.01 mm。然后，利用專用工裝的制造精度控制GGE沿Z軸方向的精度，并通過微調使垂直度小于0.015 mm。

(3)當在XOZ平面內測量時，需使用專用工裝配合GGE的安裝，使光柵的基準面平行于工作臺的X軸方向，即利用千分表校準光柵和機床工作臺的平行度，使其平行度誤差小于0.01 mm。然后，利用專用工裝的制造精度控制GGE沿Z軸方向的精度，并通過微調使垂直度小于0.015 mm。

為降低系統(tǒng)誤差引起的測量不確定度對精度的影響，根據國際標準ISO 230-2[32]的規(guī)定連續(xù)進行5次測量，幾何誤差的辨識值為5次測量結果的均值。提高面—線法辨識精度的關鍵是對垂直度誤差的準確辨識，為驗證垂直度誤差辨識結果的準確性，采用KGM182型平面正交圓光柵測量系統(tǒng)作為垂直度誤差測量設備。以X軸為基準要素，Y軸為被測要素，測量范圍內X軸和Y軸間的垂直度為被測要素與基準線之間的夾角，利用垂直于基準線之間的距離和測量范圍有效值的比值可以補償垂直度誤差。測量半徑R=50 mm，進給速度F=200 mm/min，測量整圓并記錄誤差值；利用數控系統(tǒng)的垂直度補償功能，設補償軸為X軸，基準軸為Y軸，將測量分析得到的垂直度誤差值轉換為角度值傳入數控系統(tǒng)，并以測量原點為參考點進行X軸與Y軸間的垂直度誤差補償。補償完成后，以相同的進給速度和測量半徑在補償前的測量位置再次對標準圓進行測試，獲得XOY平面內以X軸為基準要素、Y軸為被測要素的垂直度。同理可確定Y軸和Z軸、X軸和Z軸間的垂直度誤差。誤差補償前后，3個平面內測量辨識的誤差測量曲線如圖6～圖8所示。

使用平面光柵配備的測量分析軟件ACCOM對補償前后測得的標準圓軌跡進行誤差分析，補償前分析得到X，Y兩軸之間100 mm測量范圍內的垂直度誤差在補償前為-271.538 5 μm/m，補償后為-10.842 μm/m，垂直度誤差降低96.1%；Y，Z兩軸之間100 mm測量范圍內的垂直度誤差在補償前為-112.362 μm/m，補償后為-10.677 μm/m，垂直度誤差降低90.5%；X，Z兩軸之間100 mm測量范圍內的垂直度誤差在補償前為-141.465 μm/m，補償后為-3.441 μm/m，垂直度誤差降低97.6%。這表明面—線法得到的3項垂直度誤差準確，可以有效保證其他項幾何誤差的準確辨識。

3個平面的測量現(xiàn)場如圖9所示。在每個測量平面內，測量路徑為相對測量參考點中心對稱的100 mm×100 mm正方形測量區(qū)域的4條邊和1條對角線。

測量平面Ⅰ內的測量參考點坐標為(140.000,138.100,303.113)，測量平面Ⅱ內的測量參考點坐標為(100.000,138.100,225.000)，測量平面Ⅲ內的測量參考點坐標為(140.000,178.100,225.000)。為降低機床動態(tài)誤差和熱誤差對測量結果的影響，令測量時的機床進給速度F=60 mm/min。根據設計的測量路徑編寫運行G代碼，分別在機床的3個測量平面安裝平面光柵，完成設計路徑的誤差測量，并記錄測量誤差數據。平面Ⅰ、平面Ⅱ和平面Ⅲ內的辨識結果分別如圖10～圖12所示，滾轉誤差的辨識結果如圖13所示。

為驗證面—線法測量結果的準確性，利用辨識值及綜合誤差模型(即式(12))對測量范圍內的綜合誤差向量進行預測，同時利用九線法[19]在相同測量范圍內進行幾何誤差測量和辨識，基于激光干涉儀的幾何誤差測量如圖14所示。

根據九線法辨識值計算三項誤差向量值，結果如圖15所示。由圖15可知，基于面—線法的誤差向量Ex，Ey，Ez與利用九線法的測量辨識值確定的誤差向量變化趨勢基本一致，面—線法的誤差向量在九線法誤差向量的分布區(qū)域內，兩種方法的Ex，Ey，Ez之間最大偏差分別為2.4 μm，2.0 μm，1.4 μm，平均偏差為0.77 μm，0.61 μm，0.44 μm，偏差小于機床重復定位精度，說明測量結果的一致性較好，辨識結果有效。

4 結束語

本文根據目前機床檢測精度高、速度快的要求，提出一種基于平面光柵的面—線精密機床空間幾何誤差測量和辨識方法，通過單軸和兩軸聯(lián)動在3個測量平面內分別連續(xù)測量一次直線軌跡，可快速實現(xiàn)三軸機床21項幾何誤差的準確辨識。該測量方法僅需3次安裝，少于現(xiàn)有的利用激光干涉儀、球桿儀和平面光柵的幾何誤差測量方法，有效避免了安裝誤差對辨識結果的影響，高效精確的辨識方法可應用于工業(yè)現(xiàn)場三軸數控機床和五軸數控機床的精度評價。通過實驗對比顯示，基于面—線法的誤差向量變化趨勢與九線法結果一致，兩種方法誤差向量間的最大偏差為2.4 μm，平均偏差為0.77 μm，幾何誤差檢測結果的精度較高。

本研究利用平面光柵檢測任意平面內運動軸的軌跡精度，可實現(xiàn)幾何誤差的精確辨識，由于平面光柵測量范圍有限，存在無法一次檢測機床整個工作空間內幾何誤差的情況。另外，除幾何誤差以外，測量系統(tǒng)的安裝誤差與熱誤差是影響機床準靜態(tài)精度和決定平面光柵測量精度不確定度的重要因素，溯源并降低以上兩類誤差對平面光柵測量方法的影響對進一步提升辨識精度、提高機床準靜態(tài)精度具有重要意義，這也是后續(xù)研究的關鍵問題。