白志會，黎克波,*，蘇文山，陳磊

1. 國防科技大學 空天科學學院，長沙 410073

2. 軍事科學院 國防科技創(chuàng)新研究院，北京 100071

比例導(dǎo)引律(Proportional Navigation, PN)廣泛應(yīng)用于各種制導(dǎo)武器[1-2]。根據(jù)PN的統(tǒng)一方法[3]，可以將其分為2大類：以攔截彈速度為參考的PN和以視線為參考的PN。第1類主要包括純比例導(dǎo)引律(PPN)及其變種[4-11]，其指令加速度方向垂直于攔截彈速度方向，主要應(yīng)用于大氣層內(nèi)攔截制導(dǎo)。第2類PN主要包括真比例導(dǎo)引律(TPN)[12-14]、現(xiàn)實真比例導(dǎo)引律(RTPN)[15-17]、一般真比例導(dǎo)引律(GTPN)[18-20]、理想比例導(dǎo)引律(IPN)[21-23]和一般理想比例導(dǎo)引律(GIPN)[24-26]。對于此類PN，其指令加速度垂直于與視線相關(guān)的某個方向，通常用于大氣層外攔截[14, 22, 27-31]和交會[32-33]的制導(dǎo)控制。

本文僅討論攔截問題。根據(jù)PN的統(tǒng)一方法[3]，TPN是最基本的以視線參考的PN，其指令加速度方向垂直于彈目視線，大小與初始接近速度和彈目視線轉(zhuǎn)率之積成正比。RTPN是TPN的具體實現(xiàn)形式，使用實時的彈目接近速度來代替TPN制導(dǎo)指令中的初始接近速度。GTPN、IPN和GIPN是TPN和RTPN的擴展形式。雖然有學者證明了這3種PN的捕獲能力大于TPN和RTPN[18-26]，然而它們都有沿視線方向的指令加速度投影，難以實際使用。因而，TPN和RTPN目前仍然是大氣層外攔截所實際使用的制導(dǎo)律[27-31]。

在一般大氣層外攔截場景中，由于實時彈目接近速度與初始彈目接近速度相比，其變化十分微小，因此RTPN的性能與TPN較為接近。與TPN相比，RTPN在數(shù)學上更容易處理和分析，因而有很多學者對RTPN展開了深入的研究。例如，文獻[15]得到了二維RTPN對非機動目標和一種加速度大小與彈目接近速度成正比的特殊機動目標的解析解。文獻[34]分析了三維RTPN在攔截非機動目標和由IPN制導(dǎo)的機動目標時的性能。文獻[35]基于Adomian分解法，推導(dǎo)了二維RTPN的閉合解，并利用數(shù)值方法計算了二維RTPN對常加速機動目標的捕獲區(qū)域。基于修正極坐標系(MPC)和修正極坐標變量(MPV)，文獻[25]提出了一種相平面方法用于計算三維RTPN對非機動目標和有限機動加速度目標的捕獲區(qū)域。然而，該機動目標使用的是最大加速度進行機動或者IPN型的機動加速度。

彈道導(dǎo)彈彈頭或者航天器總是在嘗試發(fā)展主動機動突防技術(shù)[36-38]，這對使用比例導(dǎo)引律進行制導(dǎo)控制的大氣層外動能攔截器提出了嚴峻挑戰(zhàn)。RTPN對非機動目標的捕獲區(qū)域已經(jīng)得到了深入的研究。然而，已有的大多數(shù)文獻對RTPN攔截機動目標的捕獲區(qū)域研究存在一個主要的問題，即所對抗的目標機動加速度形式過于特殊[15, 16, 25, 26, 34-35]。此外，某些關(guān)于PN的捕獲區(qū)域[25-26]需要通過數(shù)值方法進行計算，可能由于計算能力限制而不能在彈上實時解算。

文獻[17]基于類李雅普諾夫方法[39-42](Lyapunov-like Approach)，深入分析了RTPN攔截任意機動目標的捕獲區(qū)域。文中假設(shè)機動目標的加速度方向垂直于彈目視線、加速度大小任意而有界。采用此種假設(shè)的原因是，對大氣層外攔截而言，目標沿視線方向的機動不足以較大程度地改變攔截幾何而難以增大攔截器的脫靶量。本文分析了攔截器在使用RTPN攔截該任意機動目標時所生成的指令加速度的上界，進而利用不等式分析的方法，推導(dǎo)了RTPN的捕獲區(qū)域。然而，文中所提出的RTPN捕獲區(qū)域未考慮動能攔截器的過載飽和限制，因而實用性有限。

本文對文獻[17]的研究作了進一步拓展，主要作了2方面的改進：

1) 在RTPN攔截任意機動目標指令加速度上限分析結(jié)果的基礎(chǔ)上，考慮攔截器的飽和過載限制，分析了比例導(dǎo)引系數(shù)的可選擇范圍，以使RTPN的制導(dǎo)指令加速度在攔截過程中總是小于攔截器的飽和機動過載。

2) 采用更為現(xiàn)實的目標捕獲定義[14]，即彈目相對距離小于容許脫靶量且彈目接近速度的絕對值大于容許碰撞速度的值，基于文獻[17]中的不等式分析方法，分別推導(dǎo)了在不考慮和考慮攔截器飽和過載限制時，RTPN對任意機動目標的捕獲區(qū)域。

本文提出的RTPN對任意機動目標的捕獲區(qū)域可根據(jù)初始時刻彈目相對運動狀態(tài)進行計算，也可根據(jù)實時測量數(shù)據(jù)進行計算。當彈目相對狀態(tài)落入捕獲區(qū)域內(nèi)時，即可保證具有一定機動過載限制并使用RTPN進行制導(dǎo)控制的動能攔截器實現(xiàn)對論文所假設(shè)的任意機動目標的攔截。由于考慮了攔截器飽和過載限制和采用了更現(xiàn)實的目標捕獲定義，因而本文提出的捕獲區(qū)域分析結(jié)果相對于文獻[17]的結(jié)果在理論上具有創(chuàng)新性，在工程上更具有實用性。

1 相對運動方程

大氣層外攔截時間較短，此時對動能攔截器和目標的彈目相對運動，可以不考慮地球引力和旋轉(zhuǎn)帶來的影響。

為進一步簡化問題，假設(shè)攔截器和目標均為質(zhì)點，并忽略攔截器導(dǎo)引頭測量誤差和動力學響應(yīng)延遲，以及執(zhí)行機構(gòu)控制偏差與動力學響應(yīng)延遲，可得到理想的二維攔截幾何，如圖1所示。

圖1 二維攔截幾何

分別以視線(LOS)方向和垂直于視線方向構(gòu)建極二維視線坐標系(er,eθ)，在該坐標系內(nèi)二維彈目相對運動方程可表示為[1]

(1)

由于大氣層外攔截過程中彈目相對速度極大，目標沿視線方向的機動對突防所起的作用極小，因而可以忽略。因此，可以只考慮目標垂直于視線方向的機動加速度，設(shè)

atr=0,atθ=at(t),|at(t)|≤α

(2)

式中：α為目標機動加速度的上限，也稱為目標的飽和機動過載，設(shè)為常數(shù)。在實際的攔截任務(wù)中，α的值可以根據(jù)情報和當前科技水平情況進行分析，在工程應(yīng)用中可以取得相對保守一些。

對目標的捕獲采用文獻[14]中的定義：

(3)

式中：rMiss為容許脫靶量；vrImp為容許碰撞速度。一般情況下，對于大氣層外動能攔截，要求rMiss為0.1 m左右，而vrImp為-103m/s量級?？芍啾扔谝话悴捎玫牟东@定義[3]

(4)

式(3)的定義更符合實際攔截場景的需要。RTPN的指令加速度垂直于彈目視線[1]，與視線轉(zhuǎn)率成正比，即

(5)

式中：N為RTPN的比例導(dǎo)引系數(shù)，工程上通常取3～5[43]。

2 RTPN捕獲區(qū)分析

捕獲區(qū)域可以認為是一個與目標和攔截器的相對運動狀態(tài)有關(guān)的狀態(tài)空間，當彈目相對運動狀態(tài)進入該空間，則其相對運動最終將導(dǎo)致式(3)必然成立，也就意味著將在某個最終時刻tf實現(xiàn)對目標攔截捕獲。

2.1 RTPN指令加速度上限

在分析RTPN對任意機動目標的捕獲區(qū)域之前，首先需要給出RTPN在攔截任意機動目標時的指令加速度變化范圍，相關(guān)結(jié)論見定理1。

定理 1對式(1)所示的制導(dǎo)系統(tǒng)，對使用如式(5)所示RTPN的動能攔截器，針對式(2)所示的機動目標，如果攔截過程中彈目接近速度滿足:

(6)

式中：t0∈(0,+∞)為常數(shù)；且同時滿足比例導(dǎo)引系數(shù)

N>2

(7)

則式(8)成立:

(8)

且RTPN的制導(dǎo)指令加速度滿足:

|amθ|≤Nδ, ?t∈[0,t0]

(9)

文獻[17]首先給出了定理1及其證明過程。由該定理可知，當N>2時，對任意機動目標，無論能否攔上目標，RTPN的指令加速度都不大于N/(N-2)倍的目標最大機動過載。于是，可根據(jù)定理1和所提前預(yù)知的目標最大機動能力水平(即α的值)，來合理選擇攔截器最大機動過載。

2.2 比例導(dǎo)引系數(shù)取值范圍

在攔截過程中，當制導(dǎo)律的指令加速度大于動能攔截器的飽和過載后，攔截器只能以飽和過載進行制導(dǎo)控制，這將導(dǎo)致制導(dǎo)律的攔截性能下降，甚至造成較大的脫靶量。這在實際的大氣層外攔截任務(wù)中是需要極力避免的。

本文經(jīng)過分析認為，通過適當選擇比例導(dǎo)引系數(shù)N，在彈目初始相對運動狀態(tài)滿足一定條件下，可以使RTPN的指令加速度在攔截過程中總是小于攔截器的飽和機動加速度上限，相關(guān)結(jié)論由定理2給出。

定理2對式(1)所示的制導(dǎo)系統(tǒng)，對使用如式(5)所示RTPN的動能攔截器，針對式(2)所示的機動目標，如果式(6)成立，且彈目初始相對狀態(tài)滿足:

(10)

同時RTPN的比例導(dǎo)引系數(shù)滿足:

(11)

則式(12)成立：

|amθ(t)|≤amax, ?t∈[0,t0]

(12)

證明：由式(10)可推導(dǎo)出

(13)

于是N可以由式(14)確定

(14)

或者

(15)

因此，無論通過式(14)還是式(15)選擇N，式(7)均滿足，再由式(6)成立，可得定理1成立，即式(8)、式(9)成立。

以下分2種情況討論。第1種情況，若通過式(14)選擇N，由其右邊不等式可得

(16)

此時δ=α/(N-2)。進而由式(9)可得

(17)

再由式(14)左邊的不等式，有

(18)

因此，由式(17)與式(18)可得式(12)成立。

第2種情況，若通過式(15)選擇N，由式(15)的左邊可得

(19)

(20)

再由式(15)右邊可得

(21)

因此，由式(20)與式(21)可證得式(12)成立。

證明完畢。

2.3 攔截任意機動目標的捕獲區(qū)域

文獻[17]給出了在式(4)的目標捕獲定義下且不考慮攔截器飽和過載時，RTPN對機動加速度滿足式(2)的任意機動目標的捕獲區(qū)域。然而，式(4)的目標捕獲定義在彈目相對距離方面的要求過于嚴苛，而對彈目接近速度的要求又過于寬泛，因而實用性不強。

本文首先對文獻[17]中的定理2作了拓展，分析了在式(3)的目標捕獲定義下且不考慮攔截器飽和過載時，RTPN對機動加速度滿足式(2)的任意機動目標的捕獲區(qū)域。接著進一步分析了考慮攔截器飽和過載限制時的RTPN對任意機動目標的捕獲區(qū)域。

定理3對式(1)所示的制導(dǎo)系統(tǒng)，對使用如式(5)所示RTPN的動能攔截器，針對式(2)所示的機動目標，如果彈目初始相對狀態(tài)滿足：

(22)

且RTPN的比例導(dǎo)引系數(shù)滿足：

(23)

則必有

(24)

如此則必然存在一個終端時刻tf∈(0,+∞)，使得式(3)成立，從而實現(xiàn)對目標的攔截。

(25)

?t∈[0,t3)

(26)

由式(23)和式(26)可知，定理1的前提條件已經(jīng)滿足，可得

(27)

將式(27)代入式(1)的第1式，并考慮到atr=0 與amr=0，則有

(28)

(29)

式(29)積分得

?t∈[0,t3)

(30)

(31)

(32)

此時，2種情況需要考慮。

第1種：式(33)

(33)

成立。此時δ=α/(N-2)，因此由式(32)可推導(dǎo)出

(34)

式(34)與式(23)矛盾，則式(24)成立。且式(33)與式(34)聯(lián)合必然可以推導(dǎo)出式(22)。

第2種：式(33)不成立，即

(35)

(36)

式(36)與式(22)矛盾，則式(24)成立。且式(35) 與式(22)聯(lián)合起來必然可以推導(dǎo)出式(23)。

證明完畢。

根據(jù)定理3可以計算出不考慮攔截器飽和機動過載時RTPN對機動目標的捕獲區(qū)域，以及選擇相應(yīng)的比例導(dǎo)引系數(shù)N。當考慮動能攔截器機動過載限制時，RTPN對任意機動目標的捕獲區(qū)域需根據(jù)定理4計算。

定理4對式(1)所示的制導(dǎo)系統(tǒng)，對使用如式(5)所示RTPN的動能攔截器，針對式(2)所示的機動目標，若彈目初始相對運動狀態(tài)滿足式(10) 和式(37):

(37)

且RTPN的比例導(dǎo)引系數(shù)N由式(11)確定，則式(24)成立，且在攔截過程中有

|amθ(t)|≤amax, ?t∈[0,+∞)

(38)

證明：根據(jù)定理2的證明過程，若式(10)成立，則式(13)成立，比例導(dǎo)引系數(shù)N可由式(11)來確定。首先，由式(11)左邊和式(12)可推導(dǎo)式(22) 和式(23)，定理2成立，即式(24)成立。

其次，設(shè)t0=+∞。式(10)、式(11)和式(24) 成立表明定理2成立，即對于t0=+∞，式(12)成立，因此式(38)成立。

證明完畢。

由定理4可知，在二維平面上，當比例導(dǎo)引系數(shù)N按式(11)選擇時，RTPN對機動目標的捕獲區(qū)域為式(10)和式(37)所決定的區(qū)域。當彈目相對運動狀態(tài)在初始時刻或者攔截過程中的任意時刻進入該捕獲區(qū)域后，若采用式(11)來選擇RTPN的比例導(dǎo)引系數(shù)N，則可使攔截器實現(xiàn)對加速度滿足式(2)的任意機動目標的攔截捕獲。

為便于計算，可將攔截捕獲區(qū)域進一步改寫為如式(39)～式(41)所示。由式(10)可得

(39)

再根據(jù)式(37)可得

(40)

聯(lián)立式(37)與式(39)可得

(41)

實際上，當式(11)、式(39)和式(40)得到滿足時，式(41)將自動成立。

注意，根據(jù)分析與證明過程可知，本文給出的捕獲區(qū)域為充分非必要條件，即滿足本文給出的定理，必然可以保證對任意機動目標的捕獲，但并不意味著不滿足本文給出的定理即不能捕獲機動目標。實際上，由于攔截任意機動目標問題的非線性，在理論上幾乎無法獲得目標捕獲的充分必要條件。

3 仿真算例

本節(jié)根據(jù)實際大氣層外攔截場景，通過數(shù)值仿真算例，驗證本文提出的理論。

設(shè)動能攔截器和目標在慣性參考系內(nèi)的初始狀態(tài)如表1所示。

表1 彈目初始狀態(tài)信息

初始攔截幾何如圖2所示。其中Vmp表示理想碰撞速度；θmp為理想速度的前置角，即速度方向與視線方向之間的夾角；IHE表示攔截器初始速度與理想碰撞速度之間的偏差角度。

圖2 初始攔截幾何

設(shè)目標的飽和機動加速度為α=30 m/s2，攔截器機動加速度上限為amax=60 m/s2。同時，考慮攔截器碰撞所需的容許脫靶量及容許碰撞速度分別為rMiss=0.2 m、vrImp=-4 km/s。根據(jù)目標和攔截器的機動過載以及攔截碰撞所需條件，再由式(39)～式(41)可得初始相對距離r0=100 km 時的攔截捕獲區(qū)域，如圖3所示。

圖3 攔截捕獲區(qū)域

圖4 攔截器指令加速度曲線(目標常值機動)

由圖4可知，導(dǎo)引系數(shù)N=2.8時，由RTPN制導(dǎo)的指令加速度在制導(dǎo)后期超過了攔截器的飽和過載，但攔截器采用最大過載進行機動。考慮攔截器過載限制，后期攔截器無法提供有效的指令加速度，導(dǎo)致在攔截末段視線轉(zhuǎn)率的增加，并最終造成的脫靶量很大，這一點由圖5和圖6可以看出。N=4.2情況下，RTPN指令加速度全程都在飽和過載范圍之內(nèi)，表明式(12)成立，即定理2有效。當導(dǎo)引系數(shù)N=6.0時，RTPN指令加速度在制導(dǎo)初期就大于攔截器飽和過載，前期攔截器利用自身的飽和過載能力充分降低視線轉(zhuǎn)率，并在末段利用RTPN指令加速度有效碰撞目標。另外在圖7中，除N=2.8情況外，制導(dǎo)過程中隨著彈目相對距離的減小，彈目接近速度vr變化極小，vr的絕對值始終遠大于容許碰撞速度的絕對值，滿足式(24)，即定理3成立。以上所取比例導(dǎo)引系數(shù)N均滿足文獻[17]定理2，但文獻[17]并未考慮攔截器機動能力大小。因此，當比例導(dǎo)引系數(shù)N取2.8時，攔截器在制導(dǎo)后期由于機動性不足而無法攔截到目標。

圖5 視線轉(zhuǎn)率變化曲線(目標常值機動)

圖6 |vrω|變化曲線(目標常值機動)

圖7 彈目接近速度變化曲線(目標常值機動)

攔截器脫靶量如表2所示。

表2 不同導(dǎo)引系數(shù)對應(yīng)的脫靶量(目標常值機動)

進一步考慮時變的目標機動加速度，假設(shè)atr=0 且atθ=[25+5sin(2πt+π/2)] m/s2，目標機動飽和過載保持α=30 m/s2，動能攔截器飽和過載也保持amax=60 m/s2。初始彈目運動狀態(tài)不變，同樣分別取N=2.8，4.2，6.0進行仿真。仿真結(jié)果如圖8～圖11所示。

圖8 攔截器指令加速度曲線(目標正弦機動)

圖9 視線轉(zhuǎn)率變化曲線(目標正弦機動)

圖10 |vrω|變化曲線(目標正弦機動)

圖11 彈目接近速度變化曲線(目標正弦機動)

當目標做正弦機動時，RTPN的指令加速度如圖8所示。與上一情況類似，當N取2.8和6.0時，RTPN指令加速度分別在制導(dǎo)初期和后期超過了攔截器飽和過載，而當N在4～4.792 3范圍內(nèi)取值時，指令加速度則始終不超過攔截器飽和過載，這也同樣驗證了本文提出的定理2。由于攔截器飽和過載限制，當N<4.0時，在攔截末段攔截器所能提供的加速度無法滿足RTPN的指令加速度，導(dǎo)致視線轉(zhuǎn)率突然增加。當N>4.792 3時，攔截器在剛開始就以飽和過載進行機動，雖然最終能保證攔截到目標，但N值取得過大在制導(dǎo)初期可能會對制導(dǎo)系統(tǒng)產(chǎn)生一定的負荷。

攔截器脫靶量如表3所示。

表3 不同導(dǎo)引系數(shù)對應(yīng)的脫靶量(目標正弦機動)

4 結(jié) 論

1) 針對大氣層外攔截場景，假設(shè)目標機動加速度大小任意且有界、方向垂直于彈目視線，深入分析了現(xiàn)實真比例導(dǎo)引律(RTPN)攔截該類目標的捕獲區(qū)域，證明了當彈目初始相對運動狀態(tài)進入本文所提出的攔截捕獲區(qū)后，通過選擇合適的比例導(dǎo)引系數(shù)N，在攔截器飽和機動過載大于目標最大逃逸機動加速度一定范圍的前提下，使用RTPN對動能攔截器進行制導(dǎo)控制，可以使彈目相對距離小于給定的容許脫靶量，同時使彈目接近速度也小于一定的容許碰撞速度，如此即可保證對該類機動目標的攔截捕獲。

2) 提出的捕獲區(qū)域和比例導(dǎo)引系數(shù)選擇方法可以保證RTPN的指令加速度在攔截過程中不超過動能攔截器的飽和過載限制，具有良好的工程應(yīng)用能力。

3) 本文分析充分考慮了彈目相對運動的非線性，未采用任何線性化假設(shè)和近似，所提出的理論具有全局有效性。