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        小小五角星 蘊(yùn)含大學(xué)問

        2020-09-06 13:18:31王維松
        初中生世界·七年級(jí) 2020年8期
        關(guān)鍵詞:飛鏢外角五角星

        王維松

        在“平面圖形的認(rèn)識(shí)(二)”這一章中,教材上有這樣一個(gè)問題:

        如圖1,在五角星形ABCDE中,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于多少度?請(qǐng)加以證明。

        相信你不假思索就說出了結(jié)果,而且能用一些方法進(jìn)行證明。

        下面歸納了三種求五角星五個(gè)角度數(shù)之和的常用方法,順便帶領(lǐng)同學(xué)們復(fù)習(xí)之前學(xué)過的內(nèi)容。

        (方法一)證明:如圖2,

        ∵∠BOF是△AOD的外角,∴∠BOF=∠A+∠D。

        ∵∠BFO是△CEF的外角,∴∠BFO=∠C+∠E。

        ∵在△BFO中,∠B+∠BFO+∠BOF=180°,

        ∴∠B+(∠C+∠E)+(∠A+∠D)=180°,

        即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

        這種方法直接運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理的推論,即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和,把三角形的內(nèi)角轉(zhuǎn)化為外角,又通過三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果。

        (方法二)教材上還探究過圖3中的∠A、∠B、∠C、∠BDC之間的關(guān)系,即∠A+∠B+∠C=∠BDC。

        這個(gè)圖形的形狀像飛鏢,又叫“飛鏢”模型圖,也叫“A”型模型圖。運(yùn)用它也可以快速求出五角星五個(gè)角度之和。

        證明:如圖4,由“飛鏢”模型圖,得∠1=∠E+∠B+∠C。

        ∵∠1與∠2是對(duì)頂角,

        ∴∠1=∠2。

        ∵在△AOD中,∠2+∠A+∠D=180°,

        ∴∠1+∠A+∠D=180°,

        ∴(∠E+∠B+∠C)+∠A+∠D=180°,

        即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

        (方法三)教材上證明了這樣一個(gè)結(jié)論:

        如圖5,AD、BC相交于點(diǎn)O,則∠A+∠B=∠C+∠D。

        因?yàn)檫@個(gè)圖形像數(shù)字“8”,所以又叫“8”字模型圖。直接運(yùn)用這個(gè)結(jié)論,可以快速找到突破口。

        證明:如圖6,連接BC,由“8”字模型圖,得∠A+∠D=∠1+∠2。

        ∵在△BCE中,∠E+∠EBC+∠ECB=180°,

        即∠E+(∠1+∠3)+(∠2+∠4)=180°,即∠E+(∠1+∠2)+∠3+∠4=180°,∴∠E+(∠A+∠D)+∠3+∠4=180°,

        即∠A+∠EBD+∠ACE+∠D+∠E=180°。

        對(duì)于很多關(guān)于角的數(shù)學(xué)問題,我們可以運(yùn)用“飛鏢”模型圖或“8”字模型圖,快速找到解題方法。解決問題的關(guān)鍵還是從復(fù)雜的幾何圖形中分離出基本圖形。

        在幾何問題中,通過已知條件往往很難找到已知量與所求的量之間的關(guān)系。在這種情況下,我們可以作輔助線,揭示圖形中隱藏的條件;可以將兩個(gè)或兩個(gè)以上不相關(guān)的量通過變換和轉(zhuǎn)化,使它們相對(duì)集中,聚攏到有關(guān)圖形上來,使題設(shè)條件與結(jié)論建立邏輯關(guān)系,從而推導(dǎo)出結(jié)論;可以把復(fù)雜圖形分解成簡(jiǎn)單圖形,達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的;還可以通過構(gòu)造新的圖形的方法;等等。對(duì)于求五角星五個(gè)角度數(shù)之和,還有其他方法,有興趣的同學(xué)可以自己嘗試一下。

        (作者單位:江蘇省宿遷市鐘吾國際學(xué)校)

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