（南京航空航天大學機電學院，南京210016）

深腔孔加工技術(shù)在當今航空航天、國防軍工等領(lǐng)域起著重要的作用，然而傳統(tǒng)的深腔孔加工技術(shù)在加工的過程中由于切削力、切削熱過大，從而導致出現(xiàn)加工精度降低、表面質(zhì)量較差的問題。超聲橢圓振動輔助加工技術(shù)可以很好解決深腔孔加工過程中存在的問題[1-3]。超聲橢圓振動輔助加工過程中，在刀具上附加一個高頻振動，使刀具以橢圓軌跡的形式周期性地切削和離開工件，從而降低了切削力、切削熱，提高了加工表面質(zhì)量。超聲橢圓振動的產(chǎn)生可以通過縱向-扭轉(zhuǎn)復合模式[4-6]、縱向-彎曲復合模式[7-8]和彎曲-彎曲復合模式[9]。

在現(xiàn)有的UEVC 裝置中，Zhou 等[10]采用圓形整片和半圓形壓電陶瓷組合的方式來實現(xiàn)刀尖處的橢圓振動。該裝置首先設(shè)計出單軸的裝置，再向裝置中插入彎曲壓電陶瓷片，最后通過有限元方法進行調(diào)整，使得縱向振動和彎曲振動的共振頻率和各自的節(jié)點盡可能接近。這些裝置雖然可以通過有限元結(jié)合經(jīng)驗方法進行優(yōu)化，但是過程非常耗時。

Moriwaki 等[11]將壓電陶瓷片分別放置在換能器的上下端和前后端，通過對兩組壓電陶瓷分別施加正弦交流電來實現(xiàn)刀尖的橢圓振動，在金屬棒中間可以加入縱向振動的壓電陶瓷片，使整個裝置產(chǎn)生縱彎振動，該裝置原理很簡單，但是要使得裝置達到頻率簡并很困難，且貼片式裝置比夾心式裝置更難裝配。

Shamoto 等[12-13]設(shè)計了一種基于彎曲-彎曲復合模式的超聲振動橢圓切削裝置，具有兩個彎曲共振模式振動，這種裝置大多數(shù)通過有限元結(jié)合經(jīng)驗方法設(shè)計，沒有考慮刀具對諧振頻率的影響。

對于雙激勵UEVC 裝置，其設(shè)計難點在同頻共振的變幅桿上安裝刀具、法蘭盤、壓電片等部件后，如何獲得最優(yōu)的變幅桿結(jié)構(gòu)和各部件放置的位置，減小這些因素對頻率的影響且縱向振動和彎曲振動的諧振頻率簡并，保持雙激勵UEVC 裝置的同頻共振，這就需要解決雙激勵裝置的結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化問題。

1 縱彎復合型橢圓振動輔助鉆削裝置的設(shè)計

1.1 縱彎橢圓振動產(chǎn)生的基本原理

如圖1所示，A0B0為簡化的變幅桿，在B0處插入法蘭盤，對裝置進行固定，在C0和D0處分別插入彎振壓電陶瓷片C1C2和縱振壓電陶瓷片D1D2，B0C0和C0D0為中間墊塊，D0E0為后蓋板，對裝置施加預緊力。

若縱振壓電陶瓷片之間連接A相電壓，彎振壓電陶瓷片之間連接B相電壓，兩相電壓之間存在相位差，假設(shè)此處電壓相位差為90°。

如圖2所示，當軸向和徑向壓電陶瓷組同時施加振幅相同、相位差90°的交變正弦電壓時，一個周期的振型變化如圖3所示。當t=t1，VA=Vm、VB=0時，軸向壓電陶瓷片受激勵擴張到最大值，徑向壓電陶瓷片未受激勵位移為0，振型如圖3（a）所示；當t=T1時，軸向壓電陶瓷片位移和徑向壓電陶瓷位移相等，此時變幅桿收縮并向下彎曲；當t=t2、VA=0、VB=-Vm時，軸向壓電陶瓷片未受激勵位移為0，徑向壓電陶瓷片向下彎曲到位移最大值,振型如圖3（b）所示；當t=T2時，軸向壓電陶瓷片位移和徑向壓電陶瓷位移相等，此時變幅桿擴張并向上彎曲；當t=t3時，VA=-Vm、VB=0，此時軸向壓電陶瓷片受激勵收縮到位移最大值，徑向壓電陶瓷片未受激勵位移為0,振型如圖3（c）所示；當t=t4時，VA=0、VB=Vm，此時軸向壓電陶瓷片未受激勵位移為0，徑向壓電陶瓷片向上彎曲到位移最大值,振型如圖3（d）所示。其他時間段，軸向和徑向壓電陶瓷片同時激勵。

圖1 縱彎振動輔助鉆削裝置示意圖Fig.1 Schematic diagram of longitude-bend vibration assisted drilling device

圖2 交變電壓正弦圖Fig.2 Alternating voltage sinogram

圖3 縱彎復合型橢圓振動輔助鉆削裝置周期振型變化示意圖Fig.3 Schematic diagram of periodic mode shape change of longitude-bend elliptical vibration assisted drilling device

1.2 縱彎橢圓振動輔助鉆削裝置總體結(jié)構(gòu)設(shè)計

縱彎橢圓振動輔助鉆削裝置主要由變幅桿和夾心式壓電換能器組成。變幅桿的作用是將換能器輸出振幅進行放大，這里采用兩段式等截面結(jié)構(gòu)，變幅桿材料采用鋁合金。夾心式壓電換能器的結(jié)構(gòu)如圖4所示?？v彎復合型超聲橢圓振動換能器主要由前蓋板、軸向壓電陶瓷片、中蓋板、彎振壓電陶瓷片、后蓋板，電極片和螺栓組成。前中后蓋板一般由金屬材料制成，前蓋板主要是保證能量能從刀具端高效地輻射出去，一般選用阻抗比較小的，比如Al，中蓋板起到中間墊片的作用；后蓋板主要是保證能量能夠最小限度地從換能器后表面輻射，一般選用阻抗比較大的，比如45#鋼。3個金屬蓋板和壓電陶瓷片通過螺栓連接?？v振陶瓷由兩整片圓環(huán)組成，在軸向方向上振動；彎振陶瓷由4 片1/2 圓環(huán)組成，即在一個截面上同時布置兩組壓電陶瓷片，在一個徑向方向上振動，縱振和彎振陶瓷的振動方向如圖4 箭頭所示。壓電陶瓷選用P8 材料，每片壓電陶瓷的厚度為4mm，電極片材料為銅。

在連接方式上，如圖5所示，縱振和彎振壓電陶瓷環(huán)片通過螺栓預緊在換能器上，從而完成換能器壓電片的螺栓預緊結(jié)構(gòu)的設(shè)計。刀具通過ER夾頭和螺母與變幅桿連接，換能器和變幅桿采用一體式，通過法蘭盤與機床連接，從而完成縱彎復合型橢圓振動輔助鉆削裝置夾持刀具，以及與機床的連接結(jié)構(gòu)的設(shè)計。

1.3 縱彎復合橢圓振動換能器的設(shè)計

對于等截面結(jié)構(gòu)的超聲換能器，換能器兩端波形圖都應處于波腹位置，故縱向振動頻率方程為：

式中，f為振動頻率，Hz；l1為換能器的長度，mm；m為振動階次；C為縱波在桿中的傳播速度，mm/s。

根據(jù)Timoshenko 桿理論[14]，由于換能器采用一段式，換能器一端處于自由狀態(tài)，另一端彎振波形圖要處于波腹位置，故由換能器的邊界條件可得彎曲振動頻率方程為：

圖4 三維橢圓超聲換能器的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Structural schematic diagram of three-dimensional elliptical ultrasonic transducer

圖5 縱彎復合型橢圓振動輔助鉆削裝置三維模型Fig.5 Three-dimensional model of longitude-bend elliptical vibration assisted drilling device

設(shè)超聲振動系統(tǒng)的共振頻率為30kHz，根據(jù)縱振和彎振的頻率方程用Matlab 畫出換能器的諧振曲線，要實現(xiàn)縱彎超聲振動系統(tǒng)的縱振和彎振在同一個頻率下振動，可以通過縱振和彎振的諧振曲線[15]，求出它們的交點，該交點能同時滿足縱振和彎振的要求，采用交點對應的參數(shù)就能完成換能器的結(jié)構(gòu)設(shè)計。對于換能器，縱振采用2階次，彎振采用6階次。

1.4 縱彎復合型橢圓振動變幅桿的設(shè)計

對于等截面結(jié)構(gòu)超聲變幅桿，截面變化部位在彎曲振動波形圖波腹位置和縱向振動波形圖波節(jié)位置，這樣會最大地傳遞縱振和彎振的位移。因此在變幅桿中，縱向振動在每一段中都要采用1/4 波長的奇數(shù)倍來設(shè)計，縱向振動頻率方程和換能器一樣，取m=0.5，1.5，2.5…

式中，l2為變幅桿第1段的長度，l3為變幅桿第2段的長度。

在第1段變幅桿中，因為彎振在變截面處應處于波腹位置，根據(jù)變幅桿的邊界條件可得彎曲振動在第1段的頻率方程為：

在第2段變幅桿中，由于邊界條件與換能器邊界條件相同，故頻率方程為式（2）。

根據(jù)縱振和彎振的頻率方程用Matlab分別畫出變幅桿縱振和彎振的諧振曲線，采用交點對應的參數(shù)就能完成變幅桿的結(jié)構(gòu)設(shè)計。對于變幅桿第1段，縱振采用1.5階次，彎振采用5階次；對于變幅桿第2段，縱振采用0.5階次，彎振采用2階次?？v彎復合超聲振動裝置各部分尺寸如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)Table1 Structure size parameters

2 縱彎復合型橢圓振動輔助鉆削裝置運動學建模

若變幅桿對軸向位移放大γ倍，對徑向位移放大δ倍，將激勵源簡化為每片壓電陶瓷的形心位置的位移激勵，則從彎振壓電陶瓷片至下一個彎振波形圖的波腹位置的部分換能器簡化如圖6所示，A1A2、B1B2分別是初始的軸向壓電陶瓷片和徑向壓電陶瓷片位置，A'1A'2、B'1B'2分別是激勵后軸向壓電陶瓷片和徑向壓電陶瓷片位置，假設(shè)某一時刻，裝置的軸向壓電陶瓷片處于擴張狀態(tài)，徑向壓電陶瓷片處于向上彎曲狀態(tài)，則激勵過程可以分兩步完成：首先是在軸向壓電陶瓷片的作用下，從A1A2擴張到A'1A'2，此時該部分變幅桿長度從OC拉伸到OC'；其次是在徑向壓電陶瓷片的作用下，從B1B2旋轉(zhuǎn)到B'1B'2，此時該部分變幅桿從OC'向上旋轉(zhuǎn)到OC"。

假設(shè)軸向壓電陶瓷片和徑向壓電陶瓷片施加的頻率相同，則激勵的位移可以表示為：

式中，A1、A2分別為彎振和縱振的最大位移值；α、β分別為徑向和軸向兩個方向振動初始相位；DB為彎曲振動的位移；DL為縱向振動的位移。

對式（6）進行三角變換，得到其一般形式為：

下一個波腹處的中心點水平與豎直位移分別表示為x、y，壓電陶瓷片的直徑為d，該段換能器長度為L。在圖6中，過點C"作C"D⊥OC',因為DL=A'1A'2=CC'，故x=DL-DC'，y=C"D。由幾何關(guān)系可得：

圖6 縱彎復合型裝置輸出軌跡最簡示意圖Fig.6 Schematic diagram of output trajectory of longitude-bend composite device

將（8）代入到（7）中，可得該復合型裝置輸出的運動軌跡方程如下：

為了驗證輸出軌跡的正確性，給式（9）中代入具體參數(shù)值，取d=30mm，L=40mm，A1=A2=1μm，β-α=90°，γ=δ=1，得到的輸出軌跡如圖7所示。

3 縱彎復合型橢圓振動輔助鉆削裝置模型有限元分析與優(yōu)化

3.1 刀具與ER夾頭螺母對頻率的影響

根據(jù)表1中的換能器和變幅桿的尺寸以及螺栓預緊結(jié)構(gòu)和刀具與裝置、裝置與機床的連接結(jié)構(gòu)進行三維建模，獲得三維初始模型。為了探究ER夾頭螺母對頻率的影響，現(xiàn)將三維初始模型無刀具和無刀具、ER夾頭螺母兩種情況導入ANSYS Workbench中進行諧響應分析。固定約束添加在法蘭盤處，掃頻范圍為25000～35000Hz，結(jié)果如圖8所示。

表2中，軸向方向的共振頻率與設(shè)計頻率存在著5.3%的誤差，徑向方向的共振頻率與設(shè)計頻率存在著2.9%的誤差，此誤差在接受的范圍之內(nèi)，但是軸向振動與徑向振動頻率并不一致，這需要進行頻率簡并，后文再詳細說明。對比圖8和圖9，由于ER夾頭螺母的插入使得裝置整體質(zhì)量提高，因此頻率整體下降。對帶刀具和ER夾頭螺母的裝置進行諧響應分析，探究刀具對頻率的影響，固定約束與上述一致，掃頻范圍為25000～38000Hz，結(jié)果如圖10所示。

在帶刀具和ER夾頭螺母的諧響應分析中，圖10（a）在軸向上27800Hz處存在著一個極大值點，圖10（b）在徑向26700Hz處存在著一個極大值點。刀具的插入使得裝置質(zhì)量增加，進而裝置頻率降低。因此刀具對頻率的影響分為兩大類：一是只是以刀具片的形式存在或者刀具的比重占整體裝置的比重很小，可以忽略不計時，就可以直接忽略刀具的存在，絕大多數(shù)學者對超聲振動系統(tǒng)的設(shè)計是不考慮刀具的，或者直接將刀具忽略不計；二是在刀具的比重和體積不能忽略的情況下，刀具對頻率的影響會很大。此時，要使變幅桿末端安裝刀具后頻率不變，還要考慮變幅桿末端與刀具連接的ER夾頭和螺母的影響，此時有3種處理方式：一是等質(zhì)量法，適當減小變幅桿末端的長度再安裝刀具和ER夾頭螺母，加上刀具和ER夾頭螺母后，理論解析法不再適用，可以在理論的基礎(chǔ)上用有限元方法對該振動系統(tǒng)進行修整；二是將刀具簡化成一個同材質(zhì)的、直徑和長相同的圓柱桿，此圓柱桿和原變幅桿組成一個新的變幅桿，根據(jù)邊界條件和頻率方程設(shè)計新的變幅桿，用有限元方法對ER夾頭螺母的插入進行變幅桿修整；三是混合法，可以將ER夾頭螺母等質(zhì)量法代替一定長度的變幅桿，刀具簡化為圓柱桿與原變幅桿組成一個新的變幅桿。本文采用第3種方式減小刀具與ER夾頭螺母對頻率的影響，修整后的諧響應分析如圖11所示。修整后軸向在34650Hz處存在著一個極大值，徑向在35550Hz處存在著一個極大值。

圖7 相位差為90°時輸出軌跡Fig.7 Output trajectory of 90° phase difference

表2 諧振頻率對比表Table2 Resonant frequency comparison table

圖8 無刀具、ER夾頭螺母裝置的諧響應圖Fig.8 Harmonic response diagram of device without tool and ER collet nut

圖9 無刀具裝置的諧響應圖Fig.9 Harmonic response diagram of device without tool

圖10 帶刀具、ER夾頭螺母裝置的諧響應圖Fig.10 Harmonic response diagram of device with tool and ER collet nut

3.2 縱彎超聲振動裝置頻率簡并研究

圖11 修正后裝置的諧響應圖Fig.11 Harmonic response of modified device

盡管在理論分析中，用解析法通過縱振和彎振的頻率方程畫出縱振和彎振的諧振曲線，求出兩諧振曲線的交點使得縱振和彎振在同一頻率下工作，但是超聲振動系統(tǒng)除了變幅桿、換能器外，還有刀具，固定裝置法蘭盤以及連接變幅桿和刀具的ER夾頭和螺母，這些都會使得縱振和彎振頻率不一致。由于超聲振動系統(tǒng)的諧振頻率與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)存在一定的關(guān)系，改變結(jié)構(gòu)參數(shù)可以改變諧振頻率，用有限元方法能夠很快速精確地使縱彎頻率達到簡并。將3.1 節(jié)中修整后的帶刀具和ER夾頭螺母裝置的三維模型導入Ansys中進行模態(tài)分析，分別找出與諧響應分析中縱振和彎振諧振頻率最接近的模態(tài)階次，每次以2mm的步長改變影響系統(tǒng)諧振頻率的結(jié)構(gòu)尺寸，改變尺寸后需要重新建模導入Ansys中進行模態(tài)分析，找出與目標頻率30kHz 最接近的縱振和彎振諧振頻率的尺寸參數(shù)，實現(xiàn)頻率簡并。

圖12 變幅桿第1段長度對縱彎諧振頻率的影響Fig.12 Effect of the first section length horn on longitude-bend resonant frequency

圖13 變幅桿第2段長度對縱彎諧振頻率的影響Fig.13 Effect of the second section length horn on longitude-bend resonant frequency

由圖12可知，隨著變幅桿第一段長度的增長，縱振和彎振諧振頻率均呈現(xiàn)下降趨勢，兩諧振頻率的差值幾乎不變，不能達到使縱彎諧振頻率簡并的作用。由圖13可知，隨著變幅桿第2段長度的增長，彎振諧振頻率下降的速度比縱振諧振頻率快，兩諧振頻率差值最小是在變幅桿第2段長度45mm處，相差93Hz。由圖14可知，隨著前蓋板長度的增長，縱振和彎振諧振頻率均呈現(xiàn)下降趨勢，但是縱振諧振頻率下降速度比彎振快，兩諧振頻率差值最小是在前蓋板長度35mm處，差值為992Hz。由圖15和16可知，中蓋板和后蓋板長度對縱彎諧振頻率的影響不敏感。圖17中，隨著變幅桿第1段直徑增大，縱振和彎振諧振頻率均呈現(xiàn)上升趨勢，并在直徑為11.4mm處，兩諧振頻率的差值最小，為61Hz。從有限元分析結(jié)果得出，改變變幅桿第2段長度、前蓋板長度和變幅桿第1段直徑，都有減小縱彎兩諧振頻率差值的趨勢，但是有限元方法只能在結(jié)構(gòu)尺寸小范圍內(nèi)變化進行修整，因此若通過改變前蓋板長度使縱彎頻率簡并，需要大范圍改變前蓋板尺寸；而通過改變變幅桿第1段直徑，則需要減小直徑，但直徑變小會使裝置的整體剛度不夠；在調(diào)整變幅桿第2段長度中，當長度為45mm時，縱振諧振頻率為33867Hz，彎振諧振頻率為33960Hz，如圖18所示，兩種模態(tài)中，靠近刀尖點處，既有軸向的位移分量又有徑向的位移分量，且縱彎諧振頻率相差93Hz，可以認為實現(xiàn)了頻率簡并。

圖14 前蓋板長度對縱彎諧振頻率的影響Fig.14 Effect of front cover length on longitude-bend resonant frequency

圖15 中蓋板長度對縱彎諧振頻率的影響Fig.15 Effect of cover length on longitude-bend resonant frequency

3.3 縱彎復合型振動裝置輸出軌跡驗證

將修整后的縱彎復合型振動裝置導入Ansys Workbench中進行Transient Structural 分析，驗證輸出軌跡的正確性與放大倍數(shù)。采用自動劃分網(wǎng)格法劃分網(wǎng)格，振動裝置網(wǎng)格劃分如圖19所示。

瞬態(tài)分析中，采用Model Superposition 方法，該方法與模態(tài)分析保持了一致性并且還包括了預緊力的效果。在壓電陶瓷上施加的振幅為1μm，諧振頻率采用縱振和彎振頻率折中的方式，這里取33900Hz。分別對縱振壓電陶瓷片、彎振壓電陶瓷片和縱彎壓電陶瓷片施加位移，刀尖輸出軌跡結(jié)果如圖20所示。

圖16 后蓋板長度對縱彎諧振頻率的影響Fig.16 Effect of rear cover length on longitude-bend resonant frequency

圖17 變幅桿第1段直徑對縱彎諧振頻率的影響Fig.17 Effect of the first section diameter of horn on longitude-bend resonant frequency

當分別對縱振（軸向）壓電陶瓷片、彎振（徑向）壓電陶瓷片施加位移激勵時，刀尖輸出軌跡是一條直線，此時縱振壓電陶瓷輸出的是Y方向，放大倍數(shù)6.3；彎振壓電陶瓷輸出的是Z方向，放大倍數(shù)2.2；當同時施加縱振和彎振壓電陶瓷片（綜合位移激勵）時，由于兩方向的位移耦合，Y方向放大倍數(shù)明顯降低，Z方向放大倍數(shù)略微升高，刀尖輸出的是Y和Z兩個方向的橢圓，從而實現(xiàn)了縱彎同頻共振（表3）。

圖18 不同振動形態(tài)下位移矢量圖Fig.18 Displacement vector under different vibration modes

圖19 縱彎裝置網(wǎng)格劃分圖Fig.19 Grid diagram of longitude-bend device

圖20 刀尖輸出三維軌跡圖Fig.20 3D trajectory of tip output

表3 不同位移激勵下的刀尖位移放大表Table3 Point displacement table under different displacement excitation

4 結(jié)論

相對于傳統(tǒng)的深腔孔加工技術(shù)，超聲橢圓輔助加工技術(shù)可以有效避免傳統(tǒng)技術(shù)帶來的缺陷，使加工表面質(zhì)量提高，而目前的縱彎橢圓振動輔助鉆削裝置限制了其應用的發(fā)展，針對此問題，本文設(shè)計了一種縱彎橢圓振動輔助鉆削裝置。

（1）該縱彎復合型裝置通過理論分析分別施加整片縱振壓電陶瓷片和1/2 彎振壓電陶瓷片位移激勵，可以實現(xiàn)橢圓輸出軌跡。

（2）根據(jù)縱振和彎振頻率方程，并結(jié)合諧振曲線進行換能器和等截面變幅桿的設(shè)計，完成裝置和刀具以及裝置和機床的連接，建立初始三維模型。

（3）分析刀具和ER夾頭螺母對頻率的影響，并通過等質(zhì)量法和重新構(gòu)造新的變幅桿進行降低刀具和ER夾頭螺母對頻率的影響。

（4）通過控制變量法和有限元分析對縱彎復合型裝置進行頻率簡并，最后確定了各部分尺寸并對輸出軌跡進行驗證，優(yōu)化后裝置減小了實際頻率與設(shè)計頻率的誤差，并實現(xiàn)了頻率簡并。