徐建中, 汪維剛, 莫嘉琪

(1- 亳州學(xué)院電子與信息工程系，亳州 236800; 2- 合肥幼兒師范高等專(zhuān)科學(xué)?；A(chǔ)部，合肥 230011;3- 安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蕪湖 241003)

1 引言

近來(lái)在全球氣候變暖的情形下，加上人為等因素引起的大氣反常的事件，導(dǎo)致了大氣氣候的極端事件出現(xiàn)的幾率增加，譬如沙塵暴和霧霾等情形不斷地出現(xiàn).大氣中塵埃的擴(kuò)散現(xiàn)象對(duì)人們的生產(chǎn)和生活帶來(lái)了巨大的災(zāi)害.這種氣候?qū)諝馕廴臼艿綄W(xué)術(shù)界的很大的關(guān)注.為改善大氣的質(zhì)量和控制空氣中塵埃的污染，人們需要清楚大氣中塵埃顆粒物的分布狀況.但是空氣中塵埃顆粒物的產(chǎn)生有許多因素，這樣就影響了控制環(huán)境污染措施的制定.因此，我們需要對(duì)大氣塵埃顆粒物的了解并要在對(duì)氣象和塵埃污染數(shù)據(jù)監(jiān)測(cè)和預(yù)報(bào)的基礎(chǔ)上開(kāi)展更精細(xì)的計(jì)算，然后由計(jì)算的結(jié)果采取合適的措施.這樣有助于減少相應(yīng)的環(huán)境污染和災(zāi)害，促使大氣環(huán)境改善.

近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)大氣塵埃的研究十分重視[1,2]，Zhao 等對(duì)等離子體分離流的燃燒和控制作了研究[3]，Zhang 等對(duì)非恒溫的等離子體作的分析[4]，Wang 等研討了一類(lèi)等離子體在屏障排放狀態(tài)下的影響[5]，馮依虎等求出了大氣量子等離子體孤立子波的漸近解[6]，很多科學(xué)工作者還研究了塵埃振動(dòng)調(diào)制方面的穩(wěn)定性[7]，Duan 等研究了一類(lèi)塵埃等離子體的非線性波[8,9]，何廣軍等討論了塵埃顆粒大小及塵埃荷電量等離子體波的作用[10]等問(wèn)題.

大氣塵埃等離子分布的規(guī)律先是通過(guò)一維KdV 方程描述的，許多學(xué)者作了很多的研究.是將橫向非線性波通過(guò)KP(Kadomtsev-Pctviashvili)方程來(lái)描述的.為了對(duì)大氣塵埃等離子體擴(kuò)散有更深入的了解，一些科學(xué)工作者還對(duì)二維Einstein 凝聚系統(tǒng)做了討論[11,12].

關(guān)于非線性方程的問(wèn)題，目前已經(jīng)有較多改進(jìn)的近似求解方法.作者等也用許多漸近的方法討論了一類(lèi)非線性孤波、等離子體、塵埃和有關(guān)大氣物理問(wèn)題[13-29].本文是用一個(gè)泛函分析的廣義變分迭代方法求得了一類(lèi)廣義塵埃等離子體非線性孤立子波方程的漸近解析解.

二維低頻塵埃等離子體的無(wú)量綱流體動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)可表示為

上式

nd=Ail0exp(?s?), nih=Aih0exp(?β1s?),

ne=Ae0exp(?β1s?), nil=Ail0exp(?s?),

而ux, uy為塵埃體在x 與y 的速度分量，md, nd為塵埃顆粒的質(zhì)量和密度，Qd= eZd是塵埃顆粒上的荷電量，

而TeTil和Tih是電子、低溫離子和高溫離子的溫度.

2 典型塵埃等離子體方程孤立子波解

設(shè)電子和離子的流速小于熱運(yùn)動(dòng)速度，作一些變量變換，可得廣義KP 方程

作如下行波變換

這里ki(i=1,2,3)為常數(shù).由式(2)得方程(1)以自變量s 的常微分方程

由于方程(3)是具有代數(shù)型項(xiàng)的非線性常微分方程，因此，現(xiàn)采用雙曲函數(shù)待定系數(shù)的方法來(lái)求孤立子波解[1].設(shè)微分方程(3)具有如下的形式的待定解

這里A1, A2, B0為待定常數(shù)，而w 滿足微分方程

易知，方程(5)有解

由(4)和(5)式有

將式(4),(7)–(10)代入常微分方程(3)，可得

合并上式中的同類(lèi)次冪的項(xiàng)，且設(shè)各次冪項(xiàng)的系數(shù)為零，得到

由上面諸式得到

這里k1, k2滿足

將式(11)和式(6)代入式(4)，可得廣義KP 方程(1)如下孤立子波解

今取無(wú)量剛參數(shù)a = b = c = k2= 1, k1= 1/4，則式(14)表示的孤立子波的曲線圖形，如圖1 所示.

再選取無(wú)量剛參數(shù)a = b = c = k1= k2= 1，則式(14)的孤立子波曲線的圖形，如圖2 所示.

圖1: 式(14)的孤立子波曲線 (a=b=c=k2 =1, k1 =1/4)

圖2: 式(14)的孤立子波曲線(a=b=c=k1 =k2 =1)

由行波變換(2)，便得到廣義KP 方程(1)的孤立子行波解

其中k1, k2由式(12),(13)決定.

3 廣義塵埃等離子體方程孤立子波解

現(xiàn)討論二維塵埃等離子體低頻振動(dòng)廣義非線性擾動(dòng)KP 方程

這里a, b, c 是常數(shù)；f(u)是低頻塵埃聲波擾動(dòng)項(xiàng)，此擾動(dòng)項(xiàng)為粒子之間的碰撞、電子附著等原因引起的，不妨設(shè)它為充分光滑的有界函數(shù).

在變換(2)下，廣義非線性擾動(dòng)KP 方程(16)轉(zhuǎn)化為常微分方程

現(xiàn)用廣義變分迭代的方法[30]求塵埃等離子體低頻振動(dòng)廣義擾動(dòng)KP 方程(17)式近似孤立子波解析解.

構(gòu)造一個(gè)泛函

計(jì)算泛函(18)的變分

根據(jù)變分的極值理論，取δF =0，得到

上述初值問(wèn)題(19)–(21)的解ρ(r)為

這里

因此，由式(18),(22)，構(gòu)造如下迭代式

這里ki(i=1,2,3), di=1,2 由式(12),(13)和(23)決定，而u0是初始近似函數(shù).由變分迭代式(24)，當(dāng)選取初始近似以后，就可得依次得到un(s)(n=1,2,···).

再由變換式(2)，可得廣義擾動(dòng)KP 方程(16)的第n 近似孤立子波行波解un(k1x+k2y ?t)(n=0,1,2,···)：

因此，我們得到了函數(shù)序列un(t,x,y)(n=0,1,2,···)，由變分理論有如下引理[30].

引理1un(t,x,y)在(t,x,y) ∈[0,T]×[0,M]2上為一致收斂的序列，其中T, M 為任意的正常數(shù).

由上述引理，函數(shù)序列{un(t,x,y)}在(t,x,y)∈[0,T]×[0,M]上存在一個(gè)極限函數(shù)

因此有如下定理.

定理1二維塵埃等離子體低頻振動(dòng)廣義非線性擾動(dòng)KP 方程(16)，當(dāng)f(u)為低頻塵埃聲波的擾動(dòng)項(xiàng)是關(guān)于其變量為充分光滑的有界函數(shù)時(shí)，由(26)決定的極限函數(shù)u(t,x,y)是塵埃等離子體低頻振動(dòng)非線性廣義擾動(dòng)KP 方程(16)的精確解.

4 例子

現(xiàn)來(lái)考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的無(wú)量剛塵埃等離子體低頻振動(dòng)非線性廣義擾動(dòng)KP 方程例子.設(shè)a=b=c=1，而擾動(dòng)項(xiàng)為f(u)=exp[?u2].

由式(16)，塵埃等離子體非線性廣義擾動(dòng)KP 程為

作行波變換s=k1x+k2y ?t，由式(17)，廣義擾動(dòng)KP 方程(26)為

這里ki(i=1,2,3)由式(12),(13)決定.

用前述變分迭代關(guān)系式(24).選取初始近似u0(s)為方程(1)的孤立子波解.即由(14)式得

由式(28)和(24)，可得非線性廣義擾動(dòng)KP 方程(27)解u(s)的一次近似

再由(28),(24)式，可求出擾動(dòng)非線性廣義擾動(dòng)KP 方程(26)解u(s)的二次近似

這里ki, di由式(12),(13),(23)決定，u1由式(29)表示.

繼續(xù)利用迭代式(24)，可得到塵埃等離子體低頻振動(dòng)非線性廣義擾動(dòng)KP 方程(26)解u(s)的更高的n(n=3,4,···)次近似un(s).

再繼續(xù)由行波變換(2)，可得到廣義擾動(dòng)KP 方程(16)的第n 近似的孤立子波行波解un(t,x,y)=un(k1x+k2y ?t)(n=0,1,2,···).

就是塵埃等離子體低頻振動(dòng)非線性廣義KP 方程(27)的精確解.

5 結(jié)語(yǔ)

變分迭代理論和方法是通過(guò)求泛函的極值來(lái)得到對(duì)應(yīng)的Lagrange 乘子.選擇適當(dāng)?shù)某跏冀埔院?，能得到較高精度的近似解.由本文求得的是廣義擾動(dòng)KP 方程塵埃等離子體的低頻振動(dòng)孤立子波的近似解析解.它還可進(jìn)行解析運(yùn)算求出相關(guān)物理性態(tài)，如通過(guò)得到的孤立子波波峰值，并采取適當(dāng)?shù)拇胧┍苊狻肮舱瘛爆F(xiàn)象而出現(xiàn)電荷超高密度的聚集而導(dǎo)致放電擊穿現(xiàn)象等等.關(guān)于這方面的進(jìn)一步的情形，本文不再繼續(xù)研究.