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        四階Cahn-Hilliard 方程的間斷有限元方法

        2020-09-05 07:00:22鄒樂強劉麗杰韋雷雷
        工程數(shù)學學報 2020年4期
        關(guān)鍵詞:有限元方法

        鄒樂強, 劉麗杰, 韋雷雷

        (1- 河南工業(yè)和信息化職業(yè)學院,焦作 454000; 2- 河南工業(yè)大學理學院,鄭州 450001)

        1 引言

        在本文中,我們考慮如下的四階Cahn-Hilliard 方程

        考慮周期邊值條件,其中κ ≥0, ? ∈R,f(u)是光滑函數(shù).注意到這里周期邊界條件的假設(shè)僅僅是為了問題討論的簡單,并不是本質(zhì)的,間斷有限元方法能夠直接推廣到非周期邊值問題.

        四階的Cahn-Hilliard 方程首先是由Cahn 和Hilliard[1]于1958 年在研究二元合金的分離現(xiàn)象時提出的,隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的不斷發(fā)展,該方程的應用也越來越廣泛,如多相流中的界面動力學.一些學者對四階Cahn-Hilliard 方程的數(shù)值方法有著濃厚的興趣,如有限元方法[2–12],間斷有限元方法[13–16],多重網(wǎng)格法[17–19]以及有限差分法[20–22].本文的主要工作是對四階Cahn-Hilliard 方程構(gòu)造一種間斷有限元格式,并進行了理論分析和數(shù)值測試.我們所設(shè)計的間斷有限元方法與文獻[13–16]中所使用的是不同的.在文獻[13]中作者所使用的數(shù)值方法,是在時間上運用間斷有限元方法進行離散,而本文所考慮的是在空間上進行間斷有限元方法離散.文獻[14]中所研究的是局部間斷有限元方法,與我們所構(gòu)造的方法是不同的.在文獻[15]中作者用標準的C0有限元形函數(shù).在文獻[16]中所使用的是一種內(nèi)罰間斷有限元方法.

        間斷有限元方法的基函數(shù)是完全間斷的分片多項式,將分片多項式空間作為近似解和試驗函數(shù)空間,目前該方法已在許多領(lǐng)域中得到應用,如氣象學、天氣預報、渦輪機、湍流、淺水波模型、海洋學、氣動力學、粒子流、石油勘探、磁動力學、電磁學等.最初間斷有限元主要用來解決雙曲問題,后被推廣到其他問題中,得到了很好的結(jié)果.間斷有限元方法具有一致高精度的特點,而且通過選取單元插值多項式的次數(shù),就可以提高數(shù)值精度,在實現(xiàn)p 自適應方面,具有很大的優(yōu)勢[23].同時由于解的間斷性假設(shè),對網(wǎng)格正則性的要求并不是很高,所以該方法不需要考慮傳統(tǒng)有限元方法中連續(xù)性的限制條件,就能夠?qū)W(wǎng)格進行處理,很容易實現(xiàn)h 自適應.間斷有限元方法具有非常好的局部緊致性而且易于實現(xiàn)并行計算.

        2 符號和理論結(jié)果

        這部分將介紹一些文中要用到的符號和一些理論結(jié)果.

        為方便起見考慮一維情形,?=[a,b],對網(wǎng)格進行剖分

        區(qū)間的中點為

        區(qū)間長度為

        定義如下的有限元空間

        其中Pk(Ij)表示Ij上次數(shù)不超過k 的多項式集合.

        對任意的vh∈Vkh,存在與vh和h 無關(guān)的λi(i=1,2,3),使得

        其中τh表示單元端點的集合,對以上性質(zhì)的詳細證明可參考文獻[24].

        如果k ≥4,我們可以選取空間Vkh上的投影Ph,使得對任意的u, Phu 滿足

        對任意的vh∈Vk?4h,且

        令η =u ?Phu 表示投影誤差.由逼近論[25–27],可以得到

        其中C 與h 無關(guān),∥η∥τh表示在τh上的L2范數(shù)

        3 間斷有限元方法

        對任意的vh∈Vkh, j =1,2,··· ,N.

        這里帶“∧”的項是數(shù)值流通量,可以選取

        這里ξ1, ξ2是很小的正數(shù),階分別為O(h?1), O(h?3).與傳統(tǒng)的局部間斷有限元方法相比,我們可以看到在流通量中出現(xiàn)了ξ1[f(uh)]和ξ2[uh]等懲罰項.為了格式的穩(wěn)定性,這些懲罰項是必須的.

        3.1 穩(wěn)定性

        ∥uh(t)∥≤∥uh(0)∥.

        證明 在格式(6)中,我們?nèi)h=uh,關(guān)于j 相加,可得

        其中

        由(8),可以得到

        運用性質(zhì)(2),可知存在常數(shù)C,使得

        由Young 不等式,可以得到

        其中ε1, ε2>0.

        上式(10)可化為

        對上式兩端從0 到t 關(guān)于時間做積分,可得

        ∥uh(t)∥≤∥uh(0)∥.

        3.2 誤差估計

        我們考慮線性情況f(u)=u 時格式(6)的誤差估計.

        定理2光滑函數(shù)u 是問題(1)的精確解,uh是格式(6)的數(shù)值解,數(shù)值流通量為(7),在周期邊界條件下,當k ≥3,我們有下面的誤差估計結(jié)果

        ∥uh(t)?u(t)∥≤Chk?1.

        常數(shù)C 依賴于k, t, ∥u∥,與h 無關(guān).

        證明 令e=u ?uh表示數(shù)值解與精確解之間的誤差,我們可以得到如下的單元誤差估計∫

        為簡單起見,定義符號

        令wh=Phu ?uh, we=Phu ?u.取vh=wh,可得

        當k ≥4,上面式子的左邊為

        由投影性質(zhì)(3)–(5)和穩(wěn)定性結(jié)果,可得

        當k ≥4 時,定理2 得證.

        當k =3 時的證明和k ≥4 的方法類似.所不同的是我們采用另外一種投影Qh:對函數(shù)u,

        對任意的vh∈V0h,而且

        由逼近論[24],可得

        同樣定義wh=Qhu ?uh, we=Qhu ?u,可得

        根據(jù)穩(wěn)定性結(jié)果,我們可以得到

        可知

        當k =3 時,定理2 得證.

        4 數(shù)值算例

        表1: 間斷有限元格式(6)的精度測試結(jié)果,T =0.5

        5 總結(jié)

        在本文中我們研究了四階Cahn-Hilliard 的間斷有限元方法,證明了方法的穩(wěn)定性和收斂性.該方法不同于傳統(tǒng)的局部間斷有限元方法,不需要引進額外的輔助變量或?qū)⒎匠虒憺橐浑A的方程組,能夠減少計算量和存儲量.下一步,我們計劃將該方法推廣到其他含有高階導數(shù)的問題,并考慮與交替方向法結(jié)合來數(shù)值求解高維問題.

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