面向機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)運動學(xué)建模與驗?zāi)?/h1>
2020-09-05 12:03:10王玫羽田大鵬郭立紅
光學(xué)精密工程 2020年8期
王玫羽,田大鵬*，郭立紅
(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機械與物理研究所，吉林 長春 130033；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；3.中國科學(xué)院 航空光學(xué)成像與測量重點實驗室，吉林 長春 130033)
1 引 言
機載光電平臺是一種光機電一體化設(shè)備，由機械伺服框架內(nèi)承載光學(xué)成像系統(tǒng)，適用于偵察、搜救、定位等多種軍民應(yīng)用。隨著使用需求的發(fā)展，機載光電平臺內(nèi)需要集成更多高性能的光電傳感器。減小光電平臺自身的體積、質(zhì)量，增加光電平臺內(nèi)部可安裝載荷的空間以提高載荷比對提升機載光電平臺的功能和性能都有重要的意義[1]。
傳統(tǒng)的機載光電平臺以二軸二框架、三軸三框架、二軸四框架這三種結(jié)構(gòu)為主[2]。二軸二框架平臺是一種最為成熟的平臺結(jié)構(gòu)，它對于小負載、高動態(tài)的應(yīng)用十分有效；缺點是大角度失穩(wěn)無法實現(xiàn)垂直對地跟蹤，過頂時導(dǎo)致圖像產(chǎn)生像旋。三軸三框架和二軸四框架光電平臺解決了二軸二框架的結(jié)構(gòu)問題，但平臺自身體積、質(zhì)量較大，負載裝配空間有限[3]。傳統(tǒng)的框架結(jié)構(gòu)將軸系組件安裝在一個球體內(nèi)部，占據(jù)了球體內(nèi)可用于安裝光電載荷的空間，限制了光電平臺載荷比的提高。
采用串聯(lián)球面機構(gòu)可解決這一問題。球面機構(gòu)是一種介于平面機構(gòu)和空間機構(gòu)之間的特殊機構(gòu)，轉(zhuǎn)動副的軸線交于空間內(nèi)一點，并且轉(zhuǎn)動副均在同心球面上運動[4]。通過將軸系組件布置在球面上，可以在球形空間內(nèi)排布更多的光電載荷。目前，對于空間球面機構(gòu)的研究主要集中于多支鏈的并聯(lián)球面機構(gòu)。但并聯(lián)機構(gòu)自身的耦合特性限制了球面并聯(lián)機構(gòu)的控制精度[5-6]。空間開鏈串聯(lián)球面機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、不易發(fā)生干涉、便于控制?，F(xiàn)階段針對空間開鏈球面機構(gòu)的研究結(jié)果較少，主要集中于微創(chuàng)手術(shù)器械方面的應(yīng)用[7-8]。實際上，得益于三軸軸線非垂直相交的特殊關(guān)節(jié)位置關(guān)系，利用該機構(gòu)構(gòu)建的非封閉負載空間也能夠提升光電平臺的載荷比。三自由度串聯(lián)球面機構(gòu)機載光電平臺較傳統(tǒng)框架結(jié)構(gòu)更容易實現(xiàn)對小角度、高精度光電平臺的精確控制。
該機構(gòu)的應(yīng)用前提是其運動學(xué)模型的建立。文獻[9]提出了只有轉(zhuǎn)動副，且轉(zhuǎn)動副軸線交于空間內(nèi)一點的3-3R三自由度球面并聯(lián)機構(gòu)，并逐漸發(fā)展出該機構(gòu)的多種變型。文獻[10]中提出了基于3-3R機構(gòu)的轉(zhuǎn)動副軸線共面的球面機構(gòu)。文獻[11]提出了一種基于三自由度并聯(lián)機構(gòu)的太陽追蹤裝置，并對機構(gòu)進行了運動學(xué)分析與仿真驗證。文獻[12]介紹了一種遠中心運動的球面機構(gòu)，能夠避免機構(gòu)工作過程中與環(huán)境中物體的碰撞，文中分析了該機構(gòu)的運動學(xué)和工作空間。隨著球面并聯(lián)機構(gòu)研究的深入，混聯(lián)球面機構(gòu)的應(yīng)用也得到了發(fā)展，文獻[13-14]介紹了一種靈活度高，結(jié)構(gòu)緊湊的混聯(lián)球面機構(gòu)，通過對靜力學(xué)和彈性力分析，驗證了機構(gòu)的可靠性，并對機構(gòu)的工作空間進行了討論。文獻[15]闡述了球面混合機構(gòu)手術(shù)機械的運動學(xué)、動力學(xué)以及控制策略。在串聯(lián)球面機構(gòu)方面，文獻[7-8]設(shè)計了手術(shù)機器人串聯(lián)開鏈球面機構(gòu)，并對球面機構(gòu)進行了運動學(xué)、靈敏度與工作空間分析，由于其機構(gòu)設(shè)計具有特殊性，并非面向機載光電平臺，無法直接應(yīng)用。Lewis等針對光電平臺負載框內(nèi)部空間有限、不能很好地適應(yīng)各種光電載荷安裝的弊端，提出了一種質(zhì)量輕、體積小、載荷比大的光電平臺內(nèi)框架結(jié)構(gòu)。采用三個三軸萬向節(jié)連接負載和基座并采用與串聯(lián)球面機構(gòu)相似的軸系布置[16]。文獻[17]對采用三軸萬向節(jié)的光電平臺正運動學(xué)進行了研究，但缺少逆運動學(xué)且未對模型進行驗證。文獻[18]設(shè)計了一種基于球面機構(gòu)的光電平臺內(nèi)框架，降低了框架的體積質(zhì)量，提高了帶負載能力，但缺少運動學(xué)模型。
機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)要實現(xiàn)實際工程應(yīng)用必須首先獲得精確、易于解算的運動學(xué)模型。然而，現(xiàn)有的研究中仍然缺少能夠滿足機載光電平臺實際應(yīng)用的完整、準(zhǔn)確的運動學(xué)模型，限制了機構(gòu)的實際應(yīng)用。本文基于機器人領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立了一種串聯(lián)球面機構(gòu)正、逆運動學(xué)模型；通過多體動力學(xué)軟件聯(lián)合仿真以及實際實驗對模型進行了驗證，為后續(xù)開展實際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
2 串聯(lián)球面機構(gòu)的建模
本文首先建立了一種面向機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)的坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上基于機器人機構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的D-H參數(shù)法進行了正、逆運動學(xué)建模。
2.1 串聯(lián)球面機構(gòu)的坐標(biāo)系建立
如圖1所示，串聯(lián)球面機構(gòu)光電平臺采用斜交關(guān)節(jié)機構(gòu)，通過三個轉(zhuǎn)動副連接光電平臺基座與負載。不同于正交機構(gòu)轉(zhuǎn)動副兩兩垂直的結(jié)構(gòu)特性，該機構(gòu)采用轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)相互斜交的緊湊結(jié)構(gòu)，三個轉(zhuǎn)動副軸線延長線于空間內(nèi)交于一點O，轉(zhuǎn)動副A，B，C在以O(shè)為球心的球面上運動，即可實現(xiàn)光電平臺負載橫滾、俯仰和方位的運動。
圖1 串聯(lián)球面機構(gòu)坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Coordinate system diagram of series spherical mechanism
本文基于機器人領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立串聯(lián)球面機構(gòu)坐標(biāo)系[19]。選取串聯(lián)球面機構(gòu)轉(zhuǎn)動副的軸線方向為坐標(biāo)系的z軸方向，機構(gòu)連桿與轉(zhuǎn)動副軸線所在平面的公垂線方向為x軸所在方向，y軸方向由右手定則確定。據(jù)此建立串聯(lián)球面機構(gòu)坐標(biāo)系，如圖1所示。圖中，O-XYZ為全局坐標(biāo)系；O0-XYZ為光電平臺的基座局部坐標(biāo)系，與全局坐標(biāo)系重合；O1,2,3-XYZ為轉(zhuǎn)動副A，B，C的局部坐標(biāo)系；θi為zi-1軸與zi軸所成夾角，即轉(zhuǎn)動副軸線夾角；βi+1為yi軸與yi+1軸所成夾角，本文中βi+1=0；αi+1為xi軸與xi+1軸所成夾角，即驅(qū)動副的轉(zhuǎn)動角度。
由于串聯(lián)球面機構(gòu)采用三軸相交結(jié)構(gòu)，在使用D-H參數(shù)法建立運動學(xué)模型時，可以省去位置信息參數(shù)，將典型的4×4位姿D-H矩陣簡化為3×3的姿態(tài)矩陣。根據(jù)D-H參數(shù)法可建立D-H參數(shù)，如表1所示。
表1 D-H參數(shù)表
2.2 串聯(lián)球面機構(gòu)的運動學(xué)建模
串聯(lián)球面機構(gòu)的運動學(xué)正解是在已知三個驅(qū)動副輸入角度(α0,α1,α2)的前提下，利用坐標(biāo)系變換關(guān)系，求解光電平臺負載姿態(tài)角度(R,P,Y)的過程。其中，R為負載滾轉(zhuǎn)角；P為負載俯仰角；Y為負載方位角。
參照表1，機構(gòu)參數(shù)(αi-1,θi)表示光電平臺負載在運動學(xué)坐標(biāo)系i中的位姿，依據(jù)D-H參數(shù)法，定義廣義旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(1)
其中：
t11=cosαi-1cosβi-1，
t12=-sinαi-1cosβi-1，
t13=sinβi-1，
t21=cosθisinαi-1+cosαi-1sinβi-1sinθi，
t22=cosθicosαi-1-sinαi-1sinβi-1sinθi，
t23=-cosβi-1sinθi，
t31=sinαi-1sinθi-cosαi-1sinβi-1cosθi，
t32=sinθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1cosθi，
t33=cosβi-1cosθi.
故由負載坐標(biāo)系O3-XYZ至全局坐標(biāo)系O-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(2)
(3)
運動學(xué)逆解是指已知末端負載在全局坐標(biāo)系O-XYZ中的位姿(R,P,Y)，通過逆運動學(xué)求解負載在運動學(xué)坐標(biāo)系i中的位姿參數(shù)(αi-1,θi)，使負載實現(xiàn)該位姿。光電平臺負載位姿通常采用慣性測量元件獲取。依據(jù)D-H參數(shù)法和慣性測量元件特性，定義廣義旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(4)
其中：
q11=cosαi-1cosβi-1，
q12=-cosθisinαi-1+cosαi-1sinβi-1sinθi，
q13=sinαi-1sinθi+cosαi-1sinβi-1cosθi，
q21=sinαi-1cosβi-1，
q22=cosθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1sinθi，
q23=-sinθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1cosθi，
q31=-sinβi-1，
q32=cosβi-1sinθi，
q33=cosβi-1cosθi.
tij=qij,(i=1,2,3;j=1,2,3).
(5)
求解方程(5)，可得關(guān)節(jié)角α0,α1,α2，即逆運動學(xué)模型：
(6)
其中：
a3=sinα1sinθ2，
b3=cosα1sinθ2cosθ3+sinθ3cosθ2，
c3=q31cosθ2-q21sinθ2，
a1=q11，
b1=q21cosθ2+q31sinθ2，
c1=cosα1cosα2-sinα1cosθ3sinα2，
3 基于ADAMS的仿真驗證
利用多體動力學(xué)分析軟件與MATLAB聯(lián)合仿真，比對軟件求解和模型解析出的結(jié)果之間的差異對模型進行驗證。
使用ADAMS/View虛擬樣機開發(fā)系統(tǒng)軟件互式圖形環(huán)境和零件庫、約束庫、力庫，創(chuàng)建串聯(lián)球面機構(gòu)完全參數(shù)化的機械系統(tǒng)幾何模型，將模型導(dǎo)入MATLAB軟件中進行聯(lián)合仿真，見圖2。
給定串聯(lián)球面機構(gòu)光電平臺的驅(qū)動副一組幅值為6°，周期為0.4 s的正弦輸入信號，得到負載的姿態(tài)變化曲線如圖3所示。
圖3 負載姿態(tài)角度的變化曲線Fig.3 Attitude angle change curves of load camera
ADAMS幾何模型負載姿態(tài)位置與運動學(xué)建模的誤差如圖4所示。經(jīng)驗證，串聯(lián)球面機構(gòu)正運動學(xué)模型正確。
圖4 姿態(tài)角輸出誤差Fig.4 Output error of attitude angles
在MATLAB中搭建串聯(lián)球面機構(gòu)光電平臺逆運動學(xué)系統(tǒng)仿真框圖，如圖5所示。
圖5 逆運動學(xué)仿真系統(tǒng)Fig.5 Inverse kinematics simulation system
給定光電平臺內(nèi)框架系統(tǒng)負載的姿態(tài)角度(R,P,Y)，能夠得到系統(tǒng)轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)動角度(α0,α1,α2)。借助上文已經(jīng)驗證的正運動學(xué)模型，對逆運動學(xué)模型進行驗證，得到的誤差曲線如圖6所示。由仿真結(jié)果可知，串聯(lián)球面機構(gòu)逆運動學(xué)模型正確。
圖6 逆動力學(xué)輸出誤差Fig.6 Inverse kinematics output errors
由于ADAMS與MATALB兩款軟件的數(shù)值精度不同，仿真結(jié)果存在一些誤差，如圖4和圖6所示，但誤差極小，可以忽略。通過多體動力學(xué)軟件與MATLAB按照正逆運動學(xué)模型的計算結(jié)果進行比對可知，模型準(zhǔn)確描述了機構(gòu)的運動特征，解算準(zhǔn)確。
4 實 驗
本文對面向機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)進行了運動學(xué)模型驗證，實驗裝置實物圖如圖7所示。
圖7 串聯(lián)球面機構(gòu)運動學(xué)驗證裝置Fig.7 Series spherical kinematics verification device
實驗裝置利用帶有軸承的驅(qū)動電機作為轉(zhuǎn)動副。在每個轉(zhuǎn)動副上安裝了角度編碼器測量轉(zhuǎn)動副的相對轉(zhuǎn)動角度；在負載框架底部安裝了慣性測量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)用于測量光電平臺負載框的位姿。通過采集編碼器和IMU的數(shù)據(jù)，經(jīng)過前文建立的運動學(xué)模型的解算和對比，對機構(gòu)運動學(xué)模型進行實驗驗證。
4.1 正運動學(xué)模型驗證
給定串聯(lián)球面機構(gòu)電機幅值為6°的正弦指令控制3個轉(zhuǎn)動副旋轉(zhuǎn)；同時，比較IMU采集得到負載姿態(tài)實測數(shù)據(jù)與利用編碼器角度和正運動學(xué)模型計算數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖8～圖10所示，誤差曲線如圖11所示。
圖8 負載的滾轉(zhuǎn)角度Fig.8 Roll angle of load
圖9 負載的俯仰角度Fig.9 Pitch angle of load
圖10 負載的方位角度Fig.10 Yaw angle of load
圖11 負載角度誤差Fig.11 Load angle errors
經(jīng)對比，正運動學(xué)模型的計算結(jié)果與實驗裝置實際測量值之間的誤差在5%以內(nèi)，誤差幅值小于0.25°。這是由于所采用的測量原件自身精度有限(編碼器動態(tài)精度為0.1°、微機電IMU動態(tài)姿態(tài)測量精度為0.2°)，實驗裝置加工和裝配精度有限等造成的。
4.2 逆運動學(xué)模型驗證
采集負載滾轉(zhuǎn)、俯仰和方位角度信息，利用逆運動學(xué)模型計算轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)動角度，與編碼器實際測量值進行對比，對比結(jié)果如圖12～14所示，誤差曲線如圖15所示。
圖12 轉(zhuǎn)動副A的角度Fig.12 Angle of revolute joint A
圖13 轉(zhuǎn)動副B的角度Fig.13 Angle of revolute joint B
圖14 轉(zhuǎn)動副C的角度Fig.14 Angle of revolute joint C
圖15 轉(zhuǎn)動副的角度誤差Fig.15 Angle errors in revolute joints
經(jīng)對比，逆運動學(xué)模型與實際模型誤差也在5%以內(nèi)。在實際機載光電平臺設(shè)計中，要采用更高精度的編碼器，并進行機械設(shè)計和工藝約束。
綜合ADAMS仿真與在搭建的實驗裝置上采集的實測數(shù)據(jù)可知，本文基于D-H參數(shù)法建立的正、逆運動學(xué)模型是正確的，能夠滿足基于串聯(lián)球面機構(gòu)的機載光電平臺視軸指向控制等實際應(yīng)用需求。
5 結(jié) 論
為彌補面向機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)在運動學(xué)方面研究不足，借助機器人學(xué)領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立了簡單、準(zhǔn)確且易于解算的正、逆運動學(xué)模型，并通過ADAMS與MATLAB的聯(lián)合仿真和實際實驗驗證了模型的正確性。
本文采用空間單鏈球面機構(gòu)連接光電平臺的基座和負載，有效節(jié)省光電平臺內(nèi)部的空間，有助于提升光電平臺的載荷比。同時，串聯(lián)連接方式較并聯(lián)方式更易控制。該串聯(lián)球面機構(gòu)運動學(xué)模型為今后對串聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)和控制學(xué)的研究以及進一步的工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
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傳統(tǒng)的機載光電平臺以二軸二框架、三軸三框架、二軸四框架這三種結(jié)構(gòu)為主[2]。二軸二框架平臺是一種最為成熟的平臺結(jié)構(gòu)，它對于小負載、高動態(tài)的應(yīng)用十分有效；缺點是大角度失穩(wěn)無法實現(xiàn)垂直對地跟蹤，過頂時導(dǎo)致圖像產(chǎn)生像旋。三軸三框架和二軸四框架光電平臺解決了二軸二框架的結(jié)構(gòu)問題，但平臺自身體積、質(zhì)量較大，負載裝配空間有限[3]。傳統(tǒng)的框架結(jié)構(gòu)將軸系組件安裝在一個球體內(nèi)部，占據(jù)了球體內(nèi)可用于安裝光電載荷的空間，限制了光電平臺載荷比的提高。
采用串聯(lián)球面機構(gòu)可解決這一問題。球面機構(gòu)是一種介于平面機構(gòu)和空間機構(gòu)之間的特殊機構(gòu)，轉(zhuǎn)動副的軸線交于空間內(nèi)一點，并且轉(zhuǎn)動副均在同心球面上運動[4]。通過將軸系組件布置在球面上，可以在球形空間內(nèi)排布更多的光電載荷。目前，對于空間球面機構(gòu)的研究主要集中于多支鏈的并聯(lián)球面機構(gòu)。但并聯(lián)機構(gòu)自身的耦合特性限制了球面并聯(lián)機構(gòu)的控制精度[5-6]。空間開鏈串聯(lián)球面機構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、不易發(fā)生干涉、便于控制?，F(xiàn)階段針對空間開鏈球面機構(gòu)的研究結(jié)果較少，主要集中于微創(chuàng)手術(shù)器械方面的應(yīng)用[7-8]。實際上，得益于三軸軸線非垂直相交的特殊關(guān)節(jié)位置關(guān)系，利用該機構(gòu)構(gòu)建的非封閉負載空間也能夠提升光電平臺的載荷比。三自由度串聯(lián)球面機構(gòu)機載光電平臺較傳統(tǒng)框架結(jié)構(gòu)更容易實現(xiàn)對小角度、高精度光電平臺的精確控制。
該機構(gòu)的應(yīng)用前提是其運動學(xué)模型的建立。文獻[9]提出了只有轉(zhuǎn)動副，且轉(zhuǎn)動副軸線交于空間內(nèi)一點的3-3R三自由度球面并聯(lián)機構(gòu)，并逐漸發(fā)展出該機構(gòu)的多種變型。文獻[10]中提出了基于3-3R機構(gòu)的轉(zhuǎn)動副軸線共面的球面機構(gòu)。文獻[11]提出了一種基于三自由度并聯(lián)機構(gòu)的太陽追蹤裝置，并對機構(gòu)進行了運動學(xué)分析與仿真驗證。文獻[12]介紹了一種遠中心運動的球面機構(gòu)，能夠避免機構(gòu)工作過程中與環(huán)境中物體的碰撞，文中分析了該機構(gòu)的運動學(xué)和工作空間。隨著球面并聯(lián)機構(gòu)研究的深入，混聯(lián)球面機構(gòu)的應(yīng)用也得到了發(fā)展，文獻[13-14]介紹了一種靈活度高，結(jié)構(gòu)緊湊的混聯(lián)球面機構(gòu)，通過對靜力學(xué)和彈性力分析，驗證了機構(gòu)的可靠性，并對機構(gòu)的工作空間進行了討論。文獻[15]闡述了球面混合機構(gòu)手術(shù)機械的運動學(xué)、動力學(xué)以及控制策略。在串聯(lián)球面機構(gòu)方面，文獻[7-8]設(shè)計了手術(shù)機器人串聯(lián)開鏈球面機構(gòu)，并對球面機構(gòu)進行了運動學(xué)、靈敏度與工作空間分析，由于其機構(gòu)設(shè)計具有特殊性，并非面向機載光電平臺，無法直接應(yīng)用。Lewis等針對光電平臺負載框內(nèi)部空間有限、不能很好地適應(yīng)各種光電載荷安裝的弊端，提出了一種質(zhì)量輕、體積小、載荷比大的光電平臺內(nèi)框架結(jié)構(gòu)。采用三個三軸萬向節(jié)連接負載和基座并采用與串聯(lián)球面機構(gòu)相似的軸系布置[16]。文獻[17]對采用三軸萬向節(jié)的光電平臺正運動學(xué)進行了研究，但缺少逆運動學(xué)且未對模型進行驗證。文獻[18]設(shè)計了一種基于球面機構(gòu)的光電平臺內(nèi)框架，降低了框架的體積質(zhì)量，提高了帶負載能力，但缺少運動學(xué)模型。
機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)要實現(xiàn)實際工程應(yīng)用必須首先獲得精確、易于解算的運動學(xué)模型。然而，現(xiàn)有的研究中仍然缺少能夠滿足機載光電平臺實際應(yīng)用的完整、準(zhǔn)確的運動學(xué)模型，限制了機構(gòu)的實際應(yīng)用。本文基于機器人領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立了一種串聯(lián)球面機構(gòu)正、逆運動學(xué)模型；通過多體動力學(xué)軟件聯(lián)合仿真以及實際實驗對模型進行了驗證，為后續(xù)開展實際應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
2 串聯(lián)球面機構(gòu)的建模
本文首先建立了一種面向機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)的坐標(biāo)系，在此基礎(chǔ)上基于機器人機構(gòu)學(xué)領(lǐng)域的D-H參數(shù)法進行了正、逆運動學(xué)建模。
2.1 串聯(lián)球面機構(gòu)的坐標(biāo)系建立
如圖1所示，串聯(lián)球面機構(gòu)光電平臺采用斜交關(guān)節(jié)機構(gòu)，通過三個轉(zhuǎn)動副連接光電平臺基座與負載。不同于正交機構(gòu)轉(zhuǎn)動副兩兩垂直的結(jié)構(gòu)特性，該機構(gòu)采用轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)相互斜交的緊湊結(jié)構(gòu)，三個轉(zhuǎn)動副軸線延長線于空間內(nèi)交于一點O，轉(zhuǎn)動副A，B，C在以O(shè)為球心的球面上運動，即可實現(xiàn)光電平臺負載橫滾、俯仰和方位的運動。
圖1 串聯(lián)球面機構(gòu)坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Coordinate system diagram of series spherical mechanism
本文基于機器人領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立串聯(lián)球面機構(gòu)坐標(biāo)系[19]。選取串聯(lián)球面機構(gòu)轉(zhuǎn)動副的軸線方向為坐標(biāo)系的z軸方向，機構(gòu)連桿與轉(zhuǎn)動副軸線所在平面的公垂線方向為x軸所在方向，y軸方向由右手定則確定。據(jù)此建立串聯(lián)球面機構(gòu)坐標(biāo)系，如圖1所示。圖中，O-XYZ為全局坐標(biāo)系；O0-XYZ為光電平臺的基座局部坐標(biāo)系，與全局坐標(biāo)系重合；O1,2,3-XYZ為轉(zhuǎn)動副A，B，C的局部坐標(biāo)系；θi為zi-1軸與zi軸所成夾角，即轉(zhuǎn)動副軸線夾角；βi+1為yi軸與yi+1軸所成夾角，本文中βi+1=0；αi+1為xi軸與xi+1軸所成夾角，即驅(qū)動副的轉(zhuǎn)動角度。
由于串聯(lián)球面機構(gòu)采用三軸相交結(jié)構(gòu)，在使用D-H參數(shù)法建立運動學(xué)模型時，可以省去位置信息參數(shù)，將典型的4×4位姿D-H矩陣簡化為3×3的姿態(tài)矩陣。根據(jù)D-H參數(shù)法可建立D-H參數(shù)，如表1所示。
表1 D-H參數(shù)表
2.2 串聯(lián)球面機構(gòu)的運動學(xué)建模
串聯(lián)球面機構(gòu)的運動學(xué)正解是在已知三個驅(qū)動副輸入角度(α0,α1,α2)的前提下，利用坐標(biāo)系變換關(guān)系，求解光電平臺負載姿態(tài)角度(R,P,Y)的過程。其中，R為負載滾轉(zhuǎn)角；P為負載俯仰角；Y為負載方位角。
參照表1，機構(gòu)參數(shù)(αi-1,θi)表示光電平臺負載在運動學(xué)坐標(biāo)系i中的位姿，依據(jù)D-H參數(shù)法，定義廣義旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(1)
其中：
t11=cosαi-1cosβi-1，
t12=-sinαi-1cosβi-1，
t13=sinβi-1，
t21=cosθisinαi-1+cosαi-1sinβi-1sinθi，
t22=cosθicosαi-1-sinαi-1sinβi-1sinθi，
t23=-cosβi-1sinθi，
t31=sinαi-1sinθi-cosαi-1sinβi-1cosθi，
t32=sinθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1cosθi，
t33=cosβi-1cosθi.
故由負載坐標(biāo)系O3-XYZ至全局坐標(biāo)系O-XYZ的旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(2)
(3)
運動學(xué)逆解是指已知末端負載在全局坐標(biāo)系O-XYZ中的位姿(R,P,Y)，通過逆運動學(xué)求解負載在運動學(xué)坐標(biāo)系i中的位姿參數(shù)(αi-1,θi)，使負載實現(xiàn)該位姿。光電平臺負載位姿通常采用慣性測量元件獲取。依據(jù)D-H參數(shù)法和慣性測量元件特性，定義廣義旋轉(zhuǎn)矩陣為：
(4)
其中：
q11=cosαi-1cosβi-1，
q12=-cosθisinαi-1+cosαi-1sinβi-1sinθi，
q13=sinαi-1sinθi+cosαi-1sinβi-1cosθi，
q21=sinαi-1cosβi-1，
q22=cosθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1sinθi，
q23=-sinθicosαi-1+sinαi-1sinβi-1cosθi，
q31=-sinβi-1，
q32=cosβi-1sinθi，
q33=cosβi-1cosθi.
tij=qij,(i=1,2,3;j=1,2,3).
(5)
求解方程(5)，可得關(guān)節(jié)角α0,α1,α2，即逆運動學(xué)模型：
(6)
其中：
a3=sinα1sinθ2，
b3=cosα1sinθ2cosθ3+sinθ3cosθ2，
c3=q31cosθ2-q21sinθ2，
a1=q11，
b1=q21cosθ2+q31sinθ2，
c1=cosα1cosα2-sinα1cosθ3sinα2，
3 基于ADAMS的仿真驗證
利用多體動力學(xué)分析軟件與MATLAB聯(lián)合仿真，比對軟件求解和模型解析出的結(jié)果之間的差異對模型進行驗證。
使用ADAMS/View虛擬樣機開發(fā)系統(tǒng)軟件互式圖形環(huán)境和零件庫、約束庫、力庫，創(chuàng)建串聯(lián)球面機構(gòu)完全參數(shù)化的機械系統(tǒng)幾何模型，將模型導(dǎo)入MATLAB軟件中進行聯(lián)合仿真，見圖2。
給定串聯(lián)球面機構(gòu)光電平臺的驅(qū)動副一組幅值為6°，周期為0.4 s的正弦輸入信號，得到負載的姿態(tài)變化曲線如圖3所示。
圖3 負載姿態(tài)角度的變化曲線Fig.3 Attitude angle change curves of load camera
ADAMS幾何模型負載姿態(tài)位置與運動學(xué)建模的誤差如圖4所示。經(jīng)驗證，串聯(lián)球面機構(gòu)正運動學(xué)模型正確。
圖4 姿態(tài)角輸出誤差Fig.4 Output error of attitude angles
在MATLAB中搭建串聯(lián)球面機構(gòu)光電平臺逆運動學(xué)系統(tǒng)仿真框圖，如圖5所示。
圖5 逆運動學(xué)仿真系統(tǒng)Fig.5 Inverse kinematics simulation system
給定光電平臺內(nèi)框架系統(tǒng)負載的姿態(tài)角度(R,P,Y)，能夠得到系統(tǒng)轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)動角度(α0,α1,α2)。借助上文已經(jīng)驗證的正運動學(xué)模型，對逆運動學(xué)模型進行驗證，得到的誤差曲線如圖6所示。由仿真結(jié)果可知，串聯(lián)球面機構(gòu)逆運動學(xué)模型正確。
圖6 逆動力學(xué)輸出誤差Fig.6 Inverse kinematics output errors
由于ADAMS與MATALB兩款軟件的數(shù)值精度不同，仿真結(jié)果存在一些誤差，如圖4和圖6所示，但誤差極小，可以忽略。通過多體動力學(xué)軟件與MATLAB按照正逆運動學(xué)模型的計算結(jié)果進行比對可知，模型準(zhǔn)確描述了機構(gòu)的運動特征，解算準(zhǔn)確。
4 實 驗
本文對面向機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)進行了運動學(xué)模型驗證，實驗裝置實物圖如圖7所示。
圖7 串聯(lián)球面機構(gòu)運動學(xué)驗證裝置Fig.7 Series spherical kinematics verification device
實驗裝置利用帶有軸承的驅(qū)動電機作為轉(zhuǎn)動副。在每個轉(zhuǎn)動副上安裝了角度編碼器測量轉(zhuǎn)動副的相對轉(zhuǎn)動角度；在負載框架底部安裝了慣性測量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)用于測量光電平臺負載框的位姿。通過采集編碼器和IMU的數(shù)據(jù)，經(jīng)過前文建立的運動學(xué)模型的解算和對比，對機構(gòu)運動學(xué)模型進行實驗驗證。
4.1 正運動學(xué)模型驗證
給定串聯(lián)球面機構(gòu)電機幅值為6°的正弦指令控制3個轉(zhuǎn)動副旋轉(zhuǎn)；同時，比較IMU采集得到負載姿態(tài)實測數(shù)據(jù)與利用編碼器角度和正運動學(xué)模型計算數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖8～圖10所示，誤差曲線如圖11所示。
圖8 負載的滾轉(zhuǎn)角度Fig.8 Roll angle of load
圖9 負載的俯仰角度Fig.9 Pitch angle of load
圖10 負載的方位角度Fig.10 Yaw angle of load
圖11 負載角度誤差Fig.11 Load angle errors
經(jīng)對比，正運動學(xué)模型的計算結(jié)果與實驗裝置實際測量值之間的誤差在5%以內(nèi)，誤差幅值小于0.25°。這是由于所采用的測量原件自身精度有限(編碼器動態(tài)精度為0.1°、微機電IMU動態(tài)姿態(tài)測量精度為0.2°)，實驗裝置加工和裝配精度有限等造成的。
4.2 逆運動學(xué)模型驗證
采集負載滾轉(zhuǎn)、俯仰和方位角度信息，利用逆運動學(xué)模型計算轉(zhuǎn)動副的轉(zhuǎn)動角度，與編碼器實際測量值進行對比，對比結(jié)果如圖12～14所示，誤差曲線如圖15所示。
圖12 轉(zhuǎn)動副A的角度Fig.12 Angle of revolute joint A
圖13 轉(zhuǎn)動副B的角度Fig.13 Angle of revolute joint B
圖14 轉(zhuǎn)動副C的角度Fig.14 Angle of revolute joint C
圖15 轉(zhuǎn)動副的角度誤差Fig.15 Angle errors in revolute joints
經(jīng)對比，逆運動學(xué)模型與實際模型誤差也在5%以內(nèi)。在實際機載光電平臺設(shè)計中，要采用更高精度的編碼器，并進行機械設(shè)計和工藝約束。
綜合ADAMS仿真與在搭建的實驗裝置上采集的實測數(shù)據(jù)可知，本文基于D-H參數(shù)法建立的正、逆運動學(xué)模型是正確的，能夠滿足基于串聯(lián)球面機構(gòu)的機載光電平臺視軸指向控制等實際應(yīng)用需求。
5 結(jié) 論
為彌補面向機載光電平臺的串聯(lián)球面機構(gòu)在運動學(xué)方面研究不足，借助機器人學(xué)領(lǐng)域的D-H參數(shù)法建立了簡單、準(zhǔn)確且易于解算的正、逆運動學(xué)模型，并通過ADAMS與MATLAB的聯(lián)合仿真和實際實驗驗證了模型的正確性。
本文采用空間單鏈球面機構(gòu)連接光電平臺的基座和負載，有效節(jié)省光電平臺內(nèi)部的空間，有助于提升光電平臺的載荷比。同時，串聯(lián)連接方式較并聯(lián)方式更易控制。該串聯(lián)球面機構(gòu)運動學(xué)模型為今后對串聯(lián)機構(gòu)動力學(xué)和控制學(xué)的研究以及進一步的工程應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。
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