況發(fā)倫，楊慕容，金德泉

(廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004)

0 引言

哺乳動(dòng)物的大腦神經(jīng)皮質(zhì)是高度發(fā)達(dá)的神經(jīng)系統(tǒng)，神經(jīng)系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上可以抽象成一類擁有激勵(lì)模式的信息處理中心的神經(jīng)場。20世紀(jì)70年代，科學(xué)家提出了很多不同的神經(jīng)場模型描述大腦皮層神經(jīng)元之間的興奮活動(dòng)[1-5]。在這些模型中，Amari的動(dòng)力神經(jīng)場模型描述的是具有相同功能和性質(zhì)的皮質(zhì)神經(jīng)元在興奮時(shí)相互作用所表現(xiàn)出的在統(tǒng)計(jì)學(xué)的行為，可以用于分析兩個(gè)神經(jīng)場之間地形連接的形成機(jī)制，并且能夠很好的解決一些神經(jīng)生理學(xué)問題和解釋一些重要的神經(jīng)物理學(xué)現(xiàn)象[6]。在實(shí)際運(yùn)用中，Amari的動(dòng)力神經(jīng)場方程穩(wěn)態(tài)解的性質(zhì)往往決定有很大的作用，如在聚類中[7-8]，局部解可以看成是連接數(shù)據(jù)模型的邊界，邊界的位置影響數(shù)據(jù)集分類的好壞，所以局部解的性質(zhì)決定了數(shù)據(jù)聚類結(jié)果的優(yōu)劣。研究穩(wěn)態(tài)解的性質(zhì)不僅豐富了神經(jīng)場模型的理論，同時(shí)增加了神經(jīng)場模型應(yīng)用的廣度，如粒計(jì)算[9]、信息幾何[10]等。

神經(jīng)場模型的穩(wěn)態(tài)解的相關(guān)性質(zhì)也被眾多學(xué)者討論過[11-13]，筆者討論的是在一維離散型核函數(shù)條件下，神經(jīng)場模型穩(wěn)態(tài)解的存在性和一些性質(zhì)，得到了三種類型穩(wěn)態(tài)解(φ解，局部解，∞解)存在的條件，并給出了在特定條件下，局部解半徑的求法，分析了此條件下局部解的穩(wěn)定性質(zhì)。

1 神經(jīng)場方程

考慮一維的Amari的動(dòng)力神經(jīng)場方程：

(1)

τ>0表示時(shí)間常數(shù)，Ω表示感知區(qū)域，h≥0表示神經(jīng)場的靜息水平，s(x,t)表示輸入信號分布函數(shù)。u(x,t)表示時(shí)間為t位于x的神經(jīng)元的平均膜電位，u(x,t)可以視為x與t的可微函數(shù)，{x∈Ω:u(x,t)>0}表示興奮區(qū)域。假設(shè)神經(jīng)元在x與t時(shí)的平均活動(dòng)，即脈沖發(fā)射率，由u(x,t)的函數(shù)給定θ(u(x,t))，θ(u)是單調(diào)遞增的非線性閾值函數(shù)，滿足:

(2)

θ(u)描述的是神經(jīng)場興奮區(qū)域Ω內(nèi)的一點(diǎn)與其鄰域的反饋，在很多情況下，離散型閾值函數(shù)取階躍函數(shù):

(3)

(4)

由于本文討論的重點(diǎn)是離散型核函數(shù)的神經(jīng)場方程的穩(wěn)態(tài)解，所以假定輸入函數(shù)是時(shí)不變的，即s(x,t)=s(x)≥0。

令Ω=R，則有:

(5)

由于神經(jīng)元的激活機(jī)制的特性，w(x)是各向同性函數(shù)，其形狀是“墨西哥帽”形，函數(shù)基本形式為:

(6)

(7)

令:

(8)

則神經(jīng)場方程(5)的所有穩(wěn)態(tài)解u*(x)均滿足F(u*(x))=0。

定義若u*(x)是神經(jīng)場方程的穩(wěn)態(tài)解[12]，即:

(9)

則有:

(10)

①若?x∈R，u*(x)≤0，則u*(x)為φ解;

②若?x∈R，u*(x)>0，則u*(x)為∞解;

③D∈R且D為一對稱區(qū)域，當(dāng)x∈D時(shí)，u*(x)>0；當(dāng)x?D時(shí)，u*(x)≤0，則u*(x)為局部解;

說明方程只存在φ解，說明興奮區(qū)域不存在；只存在∞解，說明區(qū)域全局興奮；若方程存在局部解，則說明神經(jīng)場存在局部興奮區(qū)域。

另設(shè)wmin(x)=min{w(x),0}，wmax(x)=max{w(x),0}，

則有:

(11)

(12)

(13)

設(shè)輸入函數(shù)s(x)有界，則存在S0>0，s0>0，使得:

s0≤s(x)≤S0。

(14)

2 主要結(jié)果與證明

假設(shè)交互核w(x)滿足式(12)、(13)，s(x)滿足式(14)。

命題1若S0-h+1≤0，則式(5)的穩(wěn)態(tài)解均為φ解；若存在φ解，則s0-h≤0。

證明?x∈R，閾值函數(shù)為θ(u)∈[0,1]，令F(u*(x))=0，則:

1+S0-h≤0,

(15)

所以，根據(jù)φ解的定義，當(dāng)S0-h+1≤0時(shí)，原方程所有穩(wěn)態(tài)解均為φ解。

若?x∈R，令F(u*(x))=0，則:

=s0-h。

(16)

由于φ解存在，則s0-h≤u*(x)≤0，即s0-h≤0，證畢。

命題2當(dāng)輸入函數(shù)s(x)=0時(shí)，動(dòng)力神經(jīng)場方程(5)存在唯一的φ解u*(x)=-h。

證明令u*(x)=-h，此時(shí)閾值函數(shù)θ(u*(x))=θ(-h)=0，則：

(17)

所以u*(x)=-h是神經(jīng)場方程(5)的穩(wěn)態(tài)解。

(18)

命題3若s0-h>0，則式(5)的穩(wěn)態(tài)解均為∞解；若存在∞解，則S0-h+1>0。

證明?x∈R，閾值函數(shù)θ(u)∈[0,1]，令F(u*(x))=0，則：

=s0-h>0。

(19)

所以，根據(jù)∞解的定義，當(dāng)s0-h>0時(shí)，原方程所有穩(wěn)態(tài)解均為∞解。

若?x∈R，令F(u*(x))=0，則：

=1+S0-h。

(20)

由于∞解存在，則1+S0-h>u*(x)>0，即1+S0-h>0，證畢。

推論1θ(u)∈[0,1]為所給定單位階躍函數(shù)，若神經(jīng)場方程(5)存在局部解，則S0-h+1>0且s0-h≤0。

證明?x∈R，令F(u*(x))=0，有：

1+S0-h≥u*(x)≥s0-h。

(21)

根據(jù)局部解的定義，若方程存在局部解，需保證s0-h≤0且S0-h+1>0，證畢。

現(xiàn)假設(shè)D={x∈R:00，令：

(22)

當(dāng)x=d時(shí)，令：

(23)

(24)

(25)

命題4當(dāng)輸入函數(shù)s(x)=0時(shí)，G(d)-h=0是動(dòng)力神經(jīng)場方程(5)存在局部解的充分必要條件。

證明充分性。由于神經(jīng)場方程(5)存在局部解，根據(jù)式(22)、(23)中G(d)的定義，局部解必滿足G(d)-h=0。

下證必要性。與文獻(xiàn)[14]的證明類似，由于G∞=0，G(0)=0，而G(d)連續(xù)有界，由零點(diǎn)定理可知，當(dāng)G(d)-h=0時(shí)，方程(5)必存在局部解。

命題5假設(shè)輸入函數(shù)s(x)=0，若G∞

證明當(dāng)輸入函數(shù)s(x)=0，x=d時(shí)，則：

u*(d)=G(d)-h，

(26)

根據(jù)式(23)，可得d1=h、d2=2-h。此時(shí)區(qū)域D=[h,2-h]。

采用鄰域分析法證明局部解的穩(wěn)定性：

對于u*(d1)，u*(d1-Δd)<0，?u-/?t<0，而u*(d1+Δd)>0，?u+/?t<0，故u*(d1)為不穩(wěn)定的局部解。

對于u*(d2)，u*(d2-Δd)>0，?u-/?t>0，而u*(d2+Δd)<0，?u+/?t<0，故u*(d2)為穩(wěn)定的局部解，證畢。

說明命題5給出了動(dòng)力神經(jīng)場在沒有外部輸入的短期記憶時(shí)，局部解興奮區(qū)間范圍的計(jì)算方法。

3 結(jié)論

本文研究了帶有離散型核函數(shù)的一維Amari的動(dòng)力神經(jīng)場方程穩(wěn)態(tài)解的存在性，得到了三種典型解的存在條件。θ(u)∈[0,1]為單位階躍函數(shù)，假設(shè)交互核w(x)滿足式(12)和式(13)，s(x)滿足式(14)，當(dāng)S0-h+1≤0時(shí)，神經(jīng)場方程穩(wěn)態(tài)解均為φ解；當(dāng)s0-h>0時(shí)，神經(jīng)場方程穩(wěn)態(tài)解均為∞解；假設(shè)輸入函數(shù)s(x)=0，則u*(x)=-h是神經(jīng)場方程存在的唯一φ解，進(jìn)一步，假設(shè)G(d)滿足式(23)～式(25)，G(d)-h=0是神經(jīng)場方程存在局部解的充分必要條件，并且當(dāng)0