張 穎，朱衛(wèi)平

上海大學，力學與工程科學學院，上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海市能源工程力學重點實驗室， 上海

1. 引言

石油作為當今社會最常用的能源之一，也是經(jīng)濟和社會穩(wěn)定發(fā)展的重要戰(zhàn)略資源。陸地及淺海石油資源的勘探已經(jīng)日漸成熟，然而對于更深水域石油資源的爭奪與勘探日趨變?yōu)楦鲊膽?zhàn)略需求。而當石油勘探轉(zhuǎn)移到海上領域，就會利用到動態(tài)定位平臺。動態(tài)定位平臺可以工作的最大水深在理論上是不受限制的，但實際上存在兩個限制：船用立管的長度限制，張緊器和升沉補償器的性能限制。目前，地球上擁有豐富的海上石油和天然氣資源，并且可能大多數(shù)都在深水之下，這驅(qū)使勘探工作進入到深海甚至超深水領域，一些研究已拓展到3000 m 的范圍[1]。深水鉆探立管是連接在海底井口和浮動鉆探平臺之間的重要設備。因此，迫切需要對海洋深水和超深水鉆井設備進行開發(fā)[2]。而在開發(fā)進程中，如果載荷計算不準確，強度設計不合理，將給深水鉆井作業(yè)帶來安全隱患。此前在墨西哥灣和巴西海的鉆井過程中，就因為進料塔的故障造成了巨大的經(jīng)濟損失和環(huán)境破壞[3] [4]。

作為深海石油勘探必不可少的設備(如圖1)，鉆井立管是從海床井口到鉆探平臺的主要連接通道，與泥漿的控制出口相連，在深水中承受多種載荷，包括風，浪，潮和尾跡的流體動力，泥漿和管道的重力和浮力，以及平臺張緊器施加的張力，立管內(nèi)外壓差和上下溫差等，這些狀況都與水深有關。在深水中，比如水深達3000 m，立管的縱橫比(L/D)將高達6000，是典型的三維柔性液固相互作用的結(jié)構(gòu)。當水流流過垂直立管時，通常有渦從立管表面頻繁脫落，從而形成渦流。渦流激勵立管在橫流(cross-flow, CF)方向振動，而來流則引起立管在流線(in-line, IL)方向的運動。渦激振動(vortex-induced vibration, VIV)是一種典型的自激振動，如果渦脫落頻率接近立管的固有頻率之一，則會發(fā)生頻率鎖定現(xiàn)象[5]，這將加速結(jié)構(gòu)的疲勞損傷，可能導致無法估量的損失。

計算流體動力學(CFD)直接數(shù)值模擬(DNS) [6] [7] [8] [9] [10]被認為是預測細長立管VIV 現(xiàn)象的理想方法。但是，由于三維DNS 對計算資源的需求太高，從而限制了對在實際雷諾數(shù)和實際縱橫比的情況下油氣深水勘探立管的模擬，導致這種貼合實際工況條件下的模擬至今仍然很少。為了滿足當前的要求，本文使用van der Pol 振子方程(范德波爾方程)來模擬VIV 在結(jié)構(gòu)上的渦激效應，這可以大大節(jié)省計算需求并能捕獲渦激效應的主要特征。利用范德波爾振子來模擬渦激振動對結(jié)構(gòu)的影響已經(jīng)被前人廣泛地討論[5] [11] [12]，如Wang 等人[13]為研究內(nèi)部輸運流體的柔性管道渦激振動引起的屈曲，發(fā)展了一種三維計算模型和伽遼金解，其中與渦動力相關的非定常水動力用兩個范德波爾振子進行模擬，立管為兩端鉸支，L/D = 200。然而，當軸立管直徑為非均勻，部分安裝浮力塊，以及更復雜的載荷和邊界條件時，例如：在受到剪切流和非均勻壓力，以及立管因海上平臺漂浮而振動，下端懸重搖擺和向下運動等情況下，伽遼金方法已難以解決。因此在本文中，我們首先基于哈密頓原理建立相應的動力學方程，然后采用有限元法(FEM)離散方程，將渦激振子也離散到各結(jié)點上，從而讓復雜的載荷和邊界條件變得易于處理，便于模擬和分析局部帶有浮力塊的立管在下入過程中含渦激耦合效應的力學行為。本文提出的模型和解法具有模擬縱橫比大于6000 的立管對所有上述載荷和邊界條件的VIV 響應的能力，為以后的海洋鉆探系統(tǒng)研究和應用提供了強大的計算平臺。

Figure 1. Schematic of the fluid-conveying riser subjected to currents and the wake 圖1. 作業(yè)立管的結(jié)構(gòu)、載荷及坐標系意圖

2. 模型與求解

2.1. 立管振動模型

本文分析模型中，定義水平面上為y 和z 軸，垂直方向上為x 軸(如圖1)，根據(jù)哈密頓原理，考慮管內(nèi)流體壓力、密度、流速和溫差的動力學方程可表示為

采用空間細長梁單元將立管離散為有限元模型。設其形函數(shù)為Nx(x)，對式(1)在一個單元上進行積分，可得

其中

在這里， fD0是平均阻力， fD是渦流引起的波動阻力， fL是管道上的升力。 這些可以表示為

其中， CDi是隨時間變化的渦流誘導阻力項，CD0是兩端固支管道的平均阻力系數(shù)， CL是升力系數(shù)。 CDi和 CL可以表示為

其中 CDi0和 CL0是兩端固支立管相關的發(fā)生渦旋脫落的非穩(wěn)態(tài)阻力和升力系數(shù)。 p ( x, t )和 q ( x ,t )分別代表在y 和z 方向上的渦激變量，其模型將在下一節(jié)詳述。

順便指出，在式(16)中，當立管被外徑為Db的浮力塊所包裹時， D = Db；如果立管或立管的一部分中沒有浮力塊，則D 即為立管的外徑。

此外，當立管的撓度變大時，撓度斜率將改變載荷的分布，因此，應將式(14)和(15)所表示的結(jié)點力分量可修正為

2.2. 范德波爾尾跡振子模型

式(17)中兩個尾跡變量 p ( x,t )和 q ( x ,t )為無量綱量，可由以下兩個van der Pol 方程控制[14]：

St稱為斯托哈爾(Strouhal)常數(shù)，與雷諾數(shù)Re 有關，在 Re= 2 × 102-2 × 105范圍內(nèi)(本文所屬范圍)，St可近似取0.2 [15] [16]。

2.3. 方程求解

i) 求解方程(2)齊次式的特征值，獲取立管的最低第一和第二角頻率 ?r1和 ?r2，然后通過式(8)計算[ cs]；

iii) 計算式(4)～(7)和(9)～(18)，并將其代入公式(2)中；

v) 用Runge–Kutta 方法求解方程(19)和(20)，提取 p ( xi,tk)和 q ( xi,tk)，然后將它們代入方程(13)～(18)和(2)中，完成一個循環(huán)。讓 tk+1= tk+?t (可設 ?t = 0.01s )。轉(zhuǎn)回到步驟iv)繼續(xù)循環(huán)計算，直到 tk+1= 60 s 。

下標 i = 1,2,… ,N ，N 表示有限元結(jié)構(gòu)中的節(jié)點數(shù)；k = 0,1,… ,N′，N′是從0 到60s 的時間步長總數(shù)。通常，在求解式(2)之前，必須將局部單元坐標表示的所有相關矩陣和向量轉(zhuǎn)換為全局結(jié)構(gòu)坐標，并集成到結(jié)構(gòu)矩陣和向量中。

2.4. 模型驗證和參數(shù)設定

Table 2. The maximum root-mean-square amplitudes for the model 表2. 最大振幅均方根對比

Table 3. Coefficients for the dynamic models 表3. 模型主要參數(shù)值

以上與實驗，計算和解析解方法得到的結(jié)果比較證明，本模型包括算法和編程是可信且有效的。在下一節(jié)中，我們將使用本方法來計算和討論鉆探立管在深水區(qū)下落時的動力學響應，以及帶浮力塊的鉆井立管的力學行為分析。

3. 鉆探立管在深水區(qū)下入時的動力學響應

3.1. 計算方案

另外，假設在深水條件下，由波浪引起的水質(zhì)點運動的速度遵循平面波的線性理論，例如，在xy 平面內(nèi)，在水深x 和時刻t，速度uy為[20]

其中vm和vt是水面上風流速和潮流速。在本文中，設 Hw=6.5 m ，Tw=13s ，vm= 0.2 m s ，vt= 3.5 m s ，并且假定潮流速的方向與y 軸平行，風引起的流速和波浪引起的流速方向一致且與z 軸平行。其他主要參數(shù)值見表3。

3.2. 代表性結(jié)果

為了對本模型模擬情況有一個大致了解，圖2(a)～(h)給出了帶有浮力塊的立管進入到1000 米水深時幾個典型的動力響應圖形和曲線，此時上端送入速度 u0= 0。浮重比 RBW= 0.5，對應的浮力塊總長Lb= 315 m (圖2(a)和圖2(b)綠色原點組成的長度)。圖2 的圖題中簡要說明各子圖(a)～(h)的含義。值得注意的是，增加浮力塊雖然可以減輕張緊器和平臺的負擔(如圖2(i))，但會增加海流對立管的尾跡效應(如圖2(f)～(h))，增大下端橫向位移(如圖2(a)～(d))和局部彎曲應力(如圖2(e)，圖2(j))，從而增加下入立管對水下井口的對準難度，還可能加速立管的疲勞損傷。

3.3. 立管上端送入速度和下端懸掛重量的影響

本節(jié)假設水深(管長) L = 3000 m，管下端懸掛重量分別為Pex = 1000 kN、2000 kN 和3000 kN，不加浮力塊，流速等其他條件如在3.1 所述。當立管下入到接近3000 m 時，設立管上端的送入速度分別為u0= 0，u0= 0.15 和u0= 0.3 m/s，以此為初始條件模擬60 s?？疾爝@后20 s～60 s 立管的下端最大橫向位移、上端的最大拉伸應力和全管最大彎曲應力，比較結(jié)果如圖3 和圖4 所示?？梢?，在懸吊重量相等的情況下，u0的增加會使最大y 方向的位移uy略微降低(圖3(a))，而最大uz幾乎沒有受到影響(圖3(b))。隨著u0的增加，最大彎曲應力(圖4(a))和最大拉伸應力(圖4(b))略有下降。此外，Pex 的增加使得最大uy(圖3(a))和最大拉伸應力(圖4(a))都稍微下降，并使得最大彎曲應力也顯著降低，比如，與Pex = 1000 kN 相比，Pex = 2000 kN 時下降27.6%，Pex = 3000 kN 時下降53.8%。這是因為IL 流向是在y 方向上，導致垂直立管向該方向彎曲，而較大的Pex 大大降低了IL 流彎曲立管的彎曲曲率并有使立管向鉛垂線靠攏的趨勢，因此，uy和彎曲應力減小。對于較大的u0和Pex 下的拉應力的降低，前者是由于水的軸向阻尼作用，而后者是由于懸重可以抑制軸向振動的幅值而發(fā)生的。從圖4 中可明顯得出Pex 越小，振幅越大，最大拉應力越大；Pex 越大，振幅越小，最大拉應力越小。此外，較大的Pex 增加了負z 向的最大位移，如圖3(b)所示。立管z 向位移可以歸結(jié)為流體動力fz，即等式(15)～(17)中定義的尾流動力。由于較大的Pex 減小了立管的彎曲曲率，且垂直直管的尾跡效應大于傾斜直管[21]，因此會產(chǎn)生uz。然而，最大的uz與最大的uy數(shù)值量級相比很小，可以忽略不計。

因此，適當增加下入速度和懸重可以降低最大彎曲應力和最大拉力應力，只要上部平臺和張緊器足夠強，幾乎不會對立管進入產(chǎn)生負面影響。

Figure 3. The riser maximum displacement uy in the incoming flow/y-direction (a) and uz in the CF /z-direction (b), which vary with the bottom-end hanging weight/load (Pex) and entry speed (u0) in 3000-m-deep water 圖3. (a) 立管下端在來流(y)方向上的最大位移uy 和(b) 在橫流(z)方向上的最大位移uz 隨底端懸重(Pex)和上端送入速度(u0)的變化

Figure 4. The riser maximum tension stress (a) and maximum bending stress (b), which vary with the bottom-end hanging weight/load (Pex) and entry speed (u0) in 3000-m-deep water 圖4. (a) 立管最大拉應力和(b) 最大彎曲應力隨底端懸重(Pex)和上端送入速度(u0)的變化

3.4. 不同水深和懸重的影響

設水深分別為500 m，1000 m，1500 m，2000 m，2500 m，3000 m。當立管下入到對應的水深時，停止送入(u0= 0)，以此為初始條件再模擬60 s，考察這后20 s～60 s 立管的下端最大橫向位移、上端的最大拉伸應力和全管最大彎曲應力。立管上不加浮力塊，下端懸重不同，分別為Pex = 1000 kN，2000 kN，3000 kN，海況等其他條件如第3.1 小節(jié)所述。比較結(jié)果如圖5 和圖6 所示。

從圖5(a)可以看出，當Pex 為常數(shù)時，最大uy隨著L 的增大而增大。在L = 3000 m 時的最大uy是在L= 500 m 時的2.5 倍。隨著L 的增大，最大uy的增大率明顯減小。此外，當L 保持恒定時，最大uy隨著Pex 的增大而減小，因為較大的Pex 減小了底端位移(例如，當L = 3000 m 時，Pex = 3000 kN 時的最大uy是Pex = 1000 kN 時的0.9 倍)。

Figure 5. Maximum displacement of uy and uz varying with riser length (L) and hanging weight (Pex) at u0 = 0 in the y- (a) and z-directions (b) 圖5. (a) 立管底端的y 方向(uy)位移和(b) z 方向(uz)位移隨管長度(L)和懸重(Pex)的變化

與圖5(a)中的uy相比，圖5(b)中最大uz的變化較為復雜。uz在CF 方向上，主要受復雜的尾跡控制，而uy在IL 方向上，主要受來流影響。比較(a) (b)中uz和uy的數(shù)量級，此時尾流效應可忽略不計。

圖6(a)為最大拉伸應力隨著L 的增大而增大，符合預期結(jié)果；但隨著吊重的增加，最大拉應力略有下降，此現(xiàn)象可歸因于吊重抑制了立管的軸向振動。

從圖6(b)可以看出，隨著L 的增大，最大彎曲應力基本保持不變，但隨著懸掛重量的增加而顯著減少。其原因可以歸結(jié)為最大彎曲應力取決于立管的曲率，前者，增加L 可能會增加橫向位移，但曲率本身可以保持不變；后者，是因為吊重可以將彎曲的立管拉直，從而降低立管的曲率和彎曲應力。

4. 結(jié)論

本文針對內(nèi)部輸運流體的柔性立管發(fā)展了一種新的VIV (渦激振動)三維動力學模型，以便能模擬立管在實際環(huán)境條件下進入深度為3000 m 甚至更深的水中時的動力學響應。重點討論了懸重、下入速度以及水深對立管底端橫向位移(事關防噴器的落點與下井口的對準和控制)以及立管上端最大拉應力(涉及張緊器和平臺的提升能力)和最大彎曲應力(涉及立管的疲勞損傷)的影響，并得出如下結(jié)論：

1) 在一般海況下，將鉆探立管下入到深水中時，降低下入速度對落點偏移量沒有明顯的影響，但可以少許減小局部最大彎曲應力；

2) 盡管深水需要較長的鉆探立管，但長度大的立管自重也大，增加了下垂能力，因此不會增大落點的偏移量；

3) 當水深一定時，增加懸重可以減小落點偏移量，但立管的上端拉力會隨懸掛重量的增加而增加，因此需要更強勁的張緊器和排水量更大的平臺；

4) 增加浮力塊雖然可以減輕張緊器和平臺的負擔，但會增加海流對立管的尾跡效應，從而加大落點偏離和最大彎曲應力，因此，浮力塊加與不加以及加多少必須綜合考慮和優(yōu)化；

5) 本文的仿真結(jié)果與現(xiàn)有實驗數(shù)據(jù)具有很好的一致性，但對更復雜情況，本文設置的載荷偏理想化，有待在實踐進一步細化和驗證。