馮子凱，陳立家，劉名果，袁蒙恩

（河南大學(xué)物理與電子學(xué)院，河南開封475000）

0 引言

系統(tǒng)辨識被廣泛用于化學(xué)、機(jī)械、電氣和土木工程等領(lǐng)域的系統(tǒng)控制和過程優(yōu)化。一些系統(tǒng)的模型可以用線性參數(shù)形式表示，并且可以應(yīng)用自適應(yīng)控制來實(shí)現(xiàn)輸出跟蹤，對其未知的系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行在線識別和估計(jì)［1-3］。例如，線性自適應(yīng)濾波器被廣泛用于系統(tǒng)建模［3］。盡管線性濾波器很流行，但在許多情況下仍然不適用，尤其是對于非線性系統(tǒng)的建模。

在實(shí)際工程中，大多數(shù)系統(tǒng)的模型不是線性的，并且在執(zhí)行測量或設(shè)計(jì)和校準(zhǔn)測量儀器時(shí)必須考慮其非線性特性。過去的幾十年中，大量的研究集中于非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)建模和識別［4］。

在對非線性系統(tǒng)建模和辨識時(shí)，面向塊的模型被廣泛應(yīng)用，例如 Wiener［4-7］、Hammerstein［8］和 Wiener-Hammerstein［9-12］是很好的解決方案，可以基于簡單的塊構(gòu)建模型，找到可以覆蓋許多實(shí)際非線性系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)。例如，文獻(xiàn)［4］中使用多項(xiàng)式非線性分?jǐn)?shù)狀態(tài)空間方程來描述非線性模型，擴(kuò)展了輸出誤差方法（Levenberg Marquard 算法），以估計(jì)分?jǐn)?shù)維納系統(tǒng)；文獻(xiàn)［8］中提出了一種可分離的非線性最小二乘算法來識別輸出非線性塊和Hammerstein子模型；文獻(xiàn)［10］中提出了一個(gè)基于塊的非線性分?jǐn)?shù)模型，基于基準(zhǔn)函數(shù)來識別Wiener-Hammerstein 模型。以上研究所用的模型有一個(gè)共同的特點(diǎn)是：它們的結(jié)構(gòu)是固定的或者靈活性較低，而它們對系統(tǒng)的辨識是基于參數(shù)的辨識，因此具有一定的局限性。

相比之下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可被視為一類非線性的面向塊的自適應(yīng)濾波器。無論是橫向?yàn)V波還是遞歸濾波，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于其良好的非線性逼近能力而受到了研究者的青睞［13-17］。然而，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍存在一些局限性。例如，它的自由參數(shù)總數(shù)（連接權(quán)重）通常超過1 000［17］，因此計(jì)算量較大，訓(xùn)練時(shí)間較長，且成本較高。

針對以上問題，本文提出了一種基于子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波（Subsystem-based Structural Adaptive Filtering，SSAF）方法用于非線性系統(tǒng)的辨識。該方法由若干線性-非線性混合結(jié)構(gòu)的子系統(tǒng)隨機(jī)無反饋級聯(lián)構(gòu)成，并引入一種自適應(yīng)多精英引導(dǎo)的復(fù)合差分進(jìn)化（Adaptive Multiple-Elites-guided Composite Differential Evolution with a shift mechanism，AMECoDEs）算法［18］用于優(yōu)化子系統(tǒng)的參數(shù)以及子系統(tǒng)之間的連接。本文最后驗(yàn)證了提出的方法可以很好地用于具有高度非線性的系統(tǒng)辨識。

1 自適應(yīng)多精英引導(dǎo)的復(fù)合差分進(jìn)化算法

AMECoDEs 算法引入了多重精英引導(dǎo)突變和轉(zhuǎn)移機(jī)制來平衡收斂和多樣性，與單純的精英突變相比，在防止早期收斂和停滯方面更為有效。

AMECoDEs 算法與傳統(tǒng)的差分進(jìn)化（Differential Evolution，DE）算法相比有兩個(gè)改進(jìn)。第一個(gè)改進(jìn)是多精英引導(dǎo)突變，使用精英（優(yōu)秀的個(gè)體）信息的突變策略建議在探索與開發(fā)之間取得平衡。在傳統(tǒng)的由精英指導(dǎo)的差分算法中，種群的個(gè)體通常只由一位精英指導(dǎo)，當(dāng)選定的精英被定位在一個(gè)地區(qū)時(shí)，很容易將個(gè)體引向一個(gè)未知地區(qū)。在AMECoDEs 算法中，種群的每一個(gè)個(gè)體都受到兩位精英的指導(dǎo)，這樣可以減少被誤解的可能性，并有效地使個(gè)體朝著更好的前景發(fā)展。每一位精英都是由一代向量生成策略創(chuàng)建的，并有不同的選擇方法和參數(shù)，參數(shù)根據(jù)初步經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行獨(dú)立的自適應(yīng)調(diào)整。第二個(gè)改進(jìn)是引入了轉(zhuǎn)移機(jī)制（Shift Mechanism，SM）。在SM中，如果種群不能收斂到一個(gè)小的區(qū)域，一些沒有希望的個(gè)體將被轉(zhuǎn)移到一個(gè)有希望的社區(qū)，以促進(jìn)收斂；如果種群集中在一個(gè)很小的區(qū)域，一些沒有希望的個(gè)體將無條件地轉(zhuǎn)移到隨機(jī)位置，以增強(qiáng)種群的多樣性。AMECoDEs算法的步驟如下：

1）隨機(jī)生成N 個(gè)命令序列。命令序列被視為目標(biāo)向量，每個(gè)命令序列代表一個(gè)結(jié)構(gòu)隨機(jī)的非線性系統(tǒng)。產(chǎn)生初始種群P0。

2）計(jì)算目標(biāo)向量的適應(yīng)值，確定適應(yīng)值是否滿足全局最優(yōu)條件。如果滿足則輸出最佳個(gè)體，結(jié)束計(jì)算；否則，執(zhí)行3）。

6）算子M1 和M2 使用相同的庫A，如果庫A 的大小超過種群的大小PS，則會隨機(jī)刪除多余的個(gè)體。每一代結(jié)束時(shí)，啟動轉(zhuǎn)移機(jī)制。

7）返回2）進(jìn)行比較。

AMECoDEs算法的偽代碼如下：

2 結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波模型

2.1 子系統(tǒng)

本文提出的自適應(yīng)濾波模型由多個(gè)子系統(tǒng)組成，每個(gè)子系統(tǒng)為一個(gè)類型可選的一階子系統(tǒng)或二階子系統(tǒng)。一階子系統(tǒng)由1 個(gè)延遲器、2 個(gè)乘法器、2 個(gè)加法器和1 個(gè)靜態(tài)非線性函數(shù)組成；二階子系統(tǒng)由2 個(gè)延遲器、4 個(gè)乘法器、3 個(gè)加法器和1個(gè)靜態(tài)非線性函數(shù)組成。

一階子系統(tǒng)如圖1（a）所示，其中：A1和B1表示乘法器，z-1表示單位延遲，3 個(gè)黑點(diǎn)表示加法器，箭頭表示信號流向；二階子系統(tǒng)如圖1（b）所示，其中：A1、A2、B1和B2表示乘法器，z-1表示單位延遲，3個(gè)黑點(diǎn)表示加法器，箭頭表示信號流方向。

圖1 子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of subsystem structure

為了便于敘述，將一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)簡稱為子系統(tǒng)。式（1）表示一階子系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)域，A1的取值范圍為(-1，1)，使傳遞函數(shù)的極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)，確保了一階子系統(tǒng)線性部分的穩(wěn)定性。

式（2）表示二階子系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)，其中R為實(shí)數(shù)域，C 為復(fù)數(shù)域；a1和a2的取值范圍使傳遞函數(shù)的極點(diǎn)限制在單位圓內(nèi)，保證了二階子系統(tǒng)線性部分的穩(wěn)定性。

一階子系統(tǒng)和二階子系統(tǒng)的非線性部分有幾種選擇：

其中：s（n）為自變量，y（s（n））為系統(tǒng)輸出；式（4）中，e 為自然常數(shù)。Sigmoid 函數(shù)是最常用的非線性函數(shù)之一，被廣泛應(yīng)用［19］，故本文子系統(tǒng)的靜態(tài)非線性函數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為Sigmoid函數(shù)。

2.2 優(yōu)化問題描述

2.2.1 算法個(gè)體信息描述

在AMECoDEs 算法中，每個(gè)單獨(dú)的個(gè)體（θ）稱為一條指令。一個(gè)個(gè)體包含i個(gè)子系統(tǒng)，每個(gè)子系統(tǒng)所包含的信息有：輸入端口號（I）；輸出端口號（O）；子系統(tǒng)類型（T），即一階子系統(tǒng)或二階子系統(tǒng)；連接方式C，分C1、C2、C3三種；子系統(tǒng)線性部分的參數(shù)（P）。

AMECoDEs 算法中每個(gè)個(gè)體的結(jié)構(gòu)如圖2 所示。其中矩陣θ和矩陣的表達(dá)式如式（7）和式（8）所示。

圖2 單個(gè)個(gè)體的結(jié)構(gòu)Fig. 2 Structure of each individual

2.2.2 子系統(tǒng)連接方式

子系統(tǒng)的連接方式有三種：連接新的活動端口（C1）、連接現(xiàn)有端口（C2）和連接系統(tǒng)的輸入端口（C3）。C1是生成一個(gè)新的活動端口，即新添加的子系統(tǒng)的輸入端口連接到當(dāng)前的活動端口，其輸出端口連接到新生成的活動端口，如圖3（a）所示；C2是新增加的子系統(tǒng)的輸出端口連接到當(dāng)前活動端口，其輸入端口連接到之前的活動端口，如圖3（b）所示；C3是新增加的子系統(tǒng)的輸出端口連接到當(dāng)前活動端口，其輸入端口連接到整個(gè)系統(tǒng)的輸入端口。在本指令中，添加到現(xiàn)有模型的最后一個(gè)子系統(tǒng)的輸出是整個(gè)模型的輸出，如圖3（c）所示。若連接方式為C1，新活動端口的值是其上一個(gè)活動端口的值加上1；若連接方式為C2或C3，則活動端口的值保持不變。

圖3 子系統(tǒng)的三種連接方式Fig.3 Three connection modes of subsystems

2.2.3 自適應(yīng)模型的生成

在AMECoDEs算法的初始過程中，指令按規(guī)則隨機(jī)生成，每條指令可構(gòu)造一個(gè)完整的自適應(yīng)系統(tǒng)模型。演化開始后，系統(tǒng)的輸入端口設(shè)置為端口1，從端口1 開始，按照指令逐一添加子系統(tǒng)，形成一個(gè)完整的無反饋的非線性系統(tǒng)。

例如，當(dāng)子系統(tǒng)的數(shù)目S= 5 時(shí)，其信息如表1 所示，其對應(yīng)的系統(tǒng)構(gòu)造如圖4所示。

表1 子系統(tǒng)數(shù)目為5時(shí)的系統(tǒng)信息Tab. 1 System information when number of subsystems is 5

圖4 中，箭頭是信號流的方向；x（n）和y（n）分別是系統(tǒng)的輸入端口和輸出端口。在算法初始化之后，自適應(yīng)濾波模型在AMECoDEs 算法作用下進(jìn)行循環(huán)的迭代優(yōu)化，即通過不斷的變異、交叉、選擇操作和移位機(jī)制來更新種群，以找到全局最優(yōu)解，即最優(yōu)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

圖4 示例系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 4 Schematic diagram of example system

2.3 收斂性評價(jià)指標(biāo)

本文將非線性系統(tǒng)的辨識作為一個(gè)優(yōu)化問題來處理。根據(jù)均方誤差（Mean Square Error，MSE）、歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）和相關(guān)系數(shù)r三個(gè)指標(biāo)對系統(tǒng)實(shí)際輸出y^ (t)和期望輸出y(t)的預(yù)測誤差ε進(jìn)行了收斂分析，如式（9）～（12）所示，適應(yīng)值（Fitness）的計(jì)算公式如式（13）所示。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

對5個(gè)非線性對象進(jìn)行辨識，包括4個(gè)假設(shè)為未知的非線性函數(shù)和1 個(gè)實(shí)際的液體飽和蒸汽熱交換系統(tǒng)。每一類實(shí)驗(yàn)均進(jìn)行了100 組，且每一組進(jìn)行了10 000 次迭代演化。實(shí)驗(yàn)結(jié)果均為100 組中選出的最優(yōu)結(jié)果。辨識對象1～5 的子系統(tǒng)個(gè)數(shù)均設(shè)為15。

3.1 辨識對象1

辨識對象1的系統(tǒng)函數(shù)［20］如下所示：

其中：yp(k)是系統(tǒng)的輸出；u(k)是系統(tǒng)的輸入，u(k)∈［-2，2］。辨識模型可簡化成如下形式：

圖5（a）比較了六種算法（包括AMECoDEs、粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization，PSO）、DE、遺傳算法（GA）、一種改進(jìn)的多種群集成差分進(jìn)化算法（IMPEDE）和基于成功父選擇框架的差分進(jìn)化算法（DESPS））的適應(yīng)值迭代曲線，其中AMECoDEs算法具有最小的適應(yīng)值。表2中，AMECoDEs算法的 MSE 和 NMSE 分別為 0.084 825 和 0.005 634，也優(yōu)于其他五種算法。此外，AMECoDEs 算法的r為0.995 688，十分接近于1，這意味著非線性系統(tǒng)的絕大部分信息被自適應(yīng)濾波模型成功提取，從圖5（b）中的擬合曲線亦可看出。因此，本示例中，基于AMECoDEs算法的SSAF的性能最優(yōu)。

圖5 辨識對象1中六種算法的性能比較Fig.5 Performance comparison of six algorithms on identification object 1

SSAF 對于本辨識對象的最優(yōu)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6 所示，其中S1、S2、S3、S5、S6、S8、S9、S10、S11、S12、S13和S14是二階子系統(tǒng)，而S4、S7和S15是一階子系統(tǒng)。

表2 辨識對象1中六種算法的收斂結(jié)果比較Tab. 2 Comparison of convergence results of six algorithms on identification object 1

圖6 辨識對象1基于AMECoDEs算法的SSAF最優(yōu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 6 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by AMECoDEs algorithm for identification object 1

3.2 辨識對象2

本辨識對象的系統(tǒng)函數(shù)［21］如下所示：

其 中 ：a1=Yp(k)，a2=Yp(k- 1)，a3=Yp(k- 2)，a4=x(k)，a5=x(k- 1)；F表示非線性函數(shù)，如式（18）所示。

其中：β= 1，系統(tǒng)輸入x(k)為sin(2πk/25)。

如圖 7 和表 3 所示，由 AMECoDEs 算法設(shè)計(jì)的 SSAF 的適應(yīng)值最小，擬合性能和收斂性優(yōu)于其他五種最新算法。

表3 辨識對象2中六種算法的收斂結(jié)果比較Tab. 3 Comparison of convergence results of six algorithms on identification object 2

圖7 辨識對象2中六種算法的性能比較Fig.7 Performance comparison of six algorithms on identification object 2

SSAF 的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如圖 8 所示，其中S1、S2、S3、S6、S7、S8、S12和S15是二階子系統(tǒng)，S4、S5、S9、S10、S11、S13和S14是一階子系統(tǒng)。

圖8 辨識對象2基于AMECoDEs算法的SSAF最優(yōu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 8 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by AMECoDEs algorithm for identification object 2

3.3 辨識對象3

辨識對象3的系統(tǒng)函數(shù)［21］如下所示：

圖9 辨識對象3中六種算法的性能比較Fig.9 Performance comparison of six algorithms on identification object 3

未知函數(shù)F如下所示：

其中：α= 5，系統(tǒng)輸入x(k)為sin(2πk/25)。

在本示例中，由DESPS設(shè)計(jì)的SSAF的綜合性能在六種算法中最優(yōu)。然而，如圖9（a）所示，AMECoDE 的最小適應(yīng)值與DEPSP 十分接近。六種算法的輸出擬合曲線如圖9（b）所示。表 4 中，AMECoDE 的 MSE、NMSE 和r三個(gè)指標(biāo)值與 DEPSPS亦十分接近。因此，AMECoDEs 算法設(shè)計(jì)的SSAF 的綜合性能與DESPS接近，在六種算法中綜合性能居第二。

本示例中，SSAF 的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如圖10 所示。其中S9、S13和S14是二階子系統(tǒng)，而S1、S2、S3、S4、S5、S6、S7、S8、S10、S11、S12和S15是一階子系統(tǒng)。

表4 辨識對象3中六種算法的收斂結(jié)果比較Tab. 4 Comparison of convergence results of six algorithms on identification object three

3.4 辨識對象4

辨識對象4的系統(tǒng)函數(shù)［21］如下所示：

未知函數(shù)F如下所示：

其中α值為2.5，系統(tǒng)輸入為：

如圖11 和表5 所示的仿真結(jié)果表明，由AMECoDEs 算法設(shè)計(jì)的SSAF成功地提取了非線性示例的信息，綜合性能優(yōu)于其他五種算法。

圖10 辨識對象3基于DESPS算法的SSAF最優(yōu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 10 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by DESPS for identification object 3

表5 辨識對象4中六種算法的收斂結(jié)果比較Tab. 5 Comparison of convergence results of six algorithms on identification object 4

圖11 辨識對象4中六種算法的性能比較Fig.11 Performance comparison of six algorithms on identification object 4

SSAF 的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如圖 12 所示，其中S1、S2、S3、S4、S8、S11、S12、S14和S15是二階子系統(tǒng)，而S5、S6、S7、S9、S10和S13是一階子系統(tǒng)。

圖12 辨識對象4基于AMECoDEs算法的SSAF最優(yōu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 12 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by AMECoDEs algorithm for identification object 4

3.5 辨識對象5

辨識對象5 是一個(gè)實(shí)際的液體飽和蒸汽熱交換系統(tǒng)。液體飽和蒸汽熱交換過程是非線性控制設(shè)計(jì)的重要基準(zhǔn)（Daisy 97-002［17］），它具有非最小相位特性。該系統(tǒng)換熱過程中，水通過銅管由加壓飽和蒸汽加熱，輸入變量是液體流量、蒸汽溫度和入口液體溫度；輸出變量是出口液體溫度。在本實(shí)驗(yàn)中，蒸汽溫度和入口液體溫度與它們的名義值保持不變。該系統(tǒng)可以看作是單輸入單輸出（Single Input Single Output，SISO）模型。此基準(zhǔn)中有3 200個(gè)樣本，采樣時(shí)間為1 s。

從辨識對象1～4 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，使用AMECoDEs算法設(shè)計(jì)的SSAF 辨識精度高、收斂速度快，綜合性能優(yōu)于其他五種算法。因此本實(shí)例中選用AMECoDEs算法訓(xùn)練基于子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波模型（Subsystem-based structural adaptive filtering method using AMECoDEs， SSAFAMECoDEs）。辨識結(jié)果如圖13所示，絕大部分非線性信息被SSAF以較高的精度成功提取。

SSAF 的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如圖 14 所示，其中S2，S3，S4，S5，S6，S10，S11，S13和S15是二階子系統(tǒng)，而S1，S7，S8，S9，S12和S14是一階子系統(tǒng)。子系統(tǒng)取不同非線性函數(shù)時(shí)的適應(yīng)值比較如圖15所示。

在 表 6 中 ，SSAF-AMECoDEs 的 MSE 及 NMSE 分 別 為0.038 323 和0.000 04，均小于聚焦時(shí)滯遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Focused Time Lagged Recurrent Neural Network，F(xiàn)TLRNN）和多層感知機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Multi-Layer Perceptron Neural Network，MLPNN）相應(yīng)的值；并且 SSAF-AMECoDEs 的r與 1 最為接近。此外，SSAF所用參數(shù)的數(shù)量少于120，僅為兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)所用的參數(shù)數(shù)量的1/10，且SSAF-AMECoDEs 的適應(yīng)值精度比FTLRNN提高了7%。由圖15可以看出，在取不同的非線性函數(shù)時(shí)，LeakyRelu 函數(shù)在初始迭代時(shí)表現(xiàn)較優(yōu)，在后續(xù)迭代過程中逐漸被Sigmoid函數(shù)超越。

綜上，由AMECoDEs 算法設(shè)計(jì)的自適應(yīng)濾波方法具有良好的非線性系統(tǒng)辨識和收斂性能。

圖13 AMECoDEs算法對辨識對象5的輸出擬合曲線與實(shí)際輸出比較Fig. 13 Comparison of output fitting curves between AMECoDEs and reality for identification object 5

圖14 辨識對象5基于AMECoDEs算法的SSAF最優(yōu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 14 Schematic diagram of optimal structure of SSAF designed by AMECoDEs algorithm for identification object 5

圖15 辨識對象5在不同非線性函數(shù)下的適應(yīng)值比較Fig. 15 Comparison of itness under different nonlinear functions for identification object 5

表6 SSAF-AMECoDEs和兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的收斂結(jié)果比較Tab. 6 Comparison of convergence results between SSAF-AMECoDEs and two neural networks

4 結(jié)語

本文提出了一種基于子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波模型，該模型由子系統(tǒng)隨機(jī)級聯(lián)而成，而子系統(tǒng)由低階的IIR 數(shù)字濾波器和靜態(tài)非線性函數(shù)組成，無反饋的連接機(jī)制保證了模型的有效性。六種演化算法被用于自適應(yīng)模型的訓(xùn)練和進(jìn)化，對4 個(gè)非線性示例和1 個(gè)實(shí)際數(shù)據(jù)集進(jìn)行了辨識和收斂性分析，仿真結(jié)果表明，基于AMECoDEs算法的結(jié)構(gòu)自適應(yīng)濾波模型可成功提取復(fù)雜系統(tǒng)的非線性信息，收斂性能優(yōu)異，辨識精度高。此外，我們還將繼續(xù)探討對自適應(yīng)模型的優(yōu)化以及對算法的改進(jìn)。