馬 慧，魏立力

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，寧夏 銀川 750021)

1 引言

模糊集理論是處理不精確和不確定問題的重要工具，并在金融、醫(yī)療、生物和氣象等領(lǐng)域具有廣泛而又成功的應(yīng)用。自Zadeh于1965年提出模糊集的概念后，有許多學(xué)者提出了直覺模糊集、區(qū)間值模糊集、Vague集、區(qū)間值直覺模糊集的概念及一些運(yùn)算法則。然而，對(duì)于模糊集和拓展的模糊集，都很難確定其隸屬函數(shù)。在決策問題中，不同的決策者對(duì)一個(gè)元素屬于一個(gè)集合的隸屬度會(huì)給出不同的值，從而出現(xiàn)一個(gè)元素屬于一個(gè)集合的隸屬度有多個(gè)值的情況。對(duì)此，Torra和Narukawa[1,2]提出了猶豫模糊集的概念，允許一個(gè)元素屬于一個(gè)集合的隸屬度有多個(gè)可能的值。猶豫模糊集理論及其應(yīng)用引起了許多學(xué)者的關(guān)注，徐澤水等[3]對(duì)猶豫模糊集理論及其應(yīng)用做了全面闡述。Li等[4]引入猶豫模糊元的猶豫度的概念，基于猶豫度提出了新的猶豫模糊距離度量方法，該方法既考慮猶豫模糊元的值，又考慮值的個(gè)數(shù)，并通過一個(gè)數(shù)值例子闡明新的距離度量方法的有效性。徐俊艷等[5]通過定義猶豫模糊集的方差和協(xié)方差提出新的猶豫模糊集相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法，并將所提出的方法應(yīng)用于多屬性決策。李江等[6]為了定量地刻畫隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中猶豫模糊事件發(fā)生的不確定性大小，定義了猶豫模糊事件的概率，同時(shí)提出了猶豫模糊事件的概率大小的比較準(zhǔn)則和猶豫模糊概率的推理方法，并且通過數(shù)值例子說明猶豫模糊概率的推理方法具有合理性。Chen等[7]提出區(qū)間值猶豫模糊集的概念，并研究了區(qū)間值猶豫模糊集的運(yùn)算法則、距離和相似性度量等。為了更加細(xì)膩地基于猶豫模糊集描述事物信息，Yu[8]在隸屬度的取值上繼續(xù)擴(kuò)展，提出猶豫三角模糊集的概念。于倩等[9]在猶豫模糊集和三角模糊語言集的基礎(chǔ)上，提出了猶豫三角模糊語言集的概念，并給出猶豫三角模糊語言集的運(yùn)算法則和2種集成算子，將提出的集成算子應(yīng)用于多屬性決策。

猶豫模糊集中的每個(gè)猶豫模糊元是由多個(gè)可能的值組成的集合，它們都可作為元素關(guān)于集合的隸屬度，由于決策者是匿名給出決策值，所以他們提供的決策值只表示作為隸屬度的值，即它們作為隸屬度的重要性相同。但是，在實(shí)際決策問題中，由于決策者的知識(shí)背景、專業(yè)領(lǐng)域和個(gè)人偏好等存在差異，所以不同的決策值作為隸屬度的重要性不同。由此，曾文藝等[10]提出一種應(yīng)用范圍更廣、更符合實(shí)際需要的猶豫模糊集——加權(quán)猶豫模糊集，同時(shí)研究了加權(quán)猶豫模糊元的加權(quán)算數(shù)平均算子和加權(quán)猶豫模糊元的加權(quán)幾何平均算子，并應(yīng)用于群決策。隨后，Zeng等[11]將加權(quán)猶豫模糊元中的元素拓展到區(qū)間值的情形，提出加權(quán)區(qū)間值猶豫模糊集的定義，并提出加權(quán)區(qū)間值猶豫模糊集的4種集成算子，應(yīng)用于群決策問題。本文將隸屬度值拓展到三角模糊數(shù)的情形，針對(duì)不同的三角模糊數(shù)作為隸屬度的重要性不同，提出加權(quán)猶豫三角模糊集的概念，對(duì)每個(gè)可能作為隸屬度的三角模糊數(shù)賦予相應(yīng)的權(quán)重。已有文獻(xiàn)在計(jì)算各個(gè)方案基于加權(quán)猶豫模糊元和加權(quán)區(qū)間值猶豫模糊元的評(píng)估結(jié)果時(shí)，既沒有對(duì)加權(quán)猶豫模糊元和加權(quán)區(qū)間值猶豫模糊元添加元素，也沒有對(duì)元素進(jìn)行排序，使得計(jì)算得到的加權(quán)猶豫模糊元和加權(quán)區(qū)間值猶豫模糊元的維數(shù)升高，計(jì)算量增大，增加了計(jì)算的復(fù)雜性。為了解決這個(gè)問題，本文提出一種對(duì)元素較少的加權(quán)猶豫三角模糊元添加元素的方法，該方法不會(huì)改變加權(quán)猶豫三角模糊元中元素作為隸屬度值的重要性。

本文研究加權(quán)猶豫三角模糊集的距離度量及其在群決策中的應(yīng)用。首先，回顧猶豫模糊集和猶豫三角模糊集的相關(guān)概念，介紹一種三角模糊數(shù)的排序方法；其次，提出加權(quán)猶豫三角模糊集的概念，并給出一種對(duì)加權(quán)猶豫三角模糊元添加元素的方法；然后，給出廣義加權(quán)猶豫三角模糊距離、廣義加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)距離和廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離的計(jì)算公式，針對(duì)決策值為加權(quán)猶豫三角模糊元的群決策問題，提出基于加權(quán)猶豫三角模糊距離度量的群決策方法；最后，將提出的決策方法應(yīng)用于加權(quán)猶豫三角模糊環(huán)境下的教師評(píng)估問題，數(shù)值例子說明參數(shù)λ的取值會(huì)影響候選教師的排序，但不影響評(píng)選最優(yōu)教師，表明加權(quán)猶豫三角模糊距離度量在群決策中具有合理性和可行性。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 猶豫三角模糊集

Torra和Narukawa把模糊集推廣為猶豫模糊集，允許一個(gè)元素屬于一個(gè)集合的隸屬度有多個(gè)可能的值。然而，在實(shí)際問題中，決策者往往很難用一個(gè)精確的數(shù)值表示一個(gè)元素對(duì)一個(gè)集合的隸屬程度，用合理的三角模糊數(shù)表示更恰當(dāng)一些。對(duì)此，Yu[8]把猶豫模糊集推廣為猶豫三角模糊集，用[0,1]上的三角模糊數(shù)表示一個(gè)元素對(duì)一個(gè)集合的隸屬程度。

定義1[1]設(shè)論域X是一個(gè)非空集合，則稱E={〈x,hE(x)〉|x∈X}為猶豫模糊集，其中hE(x)是[0,1]上一些實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合，表示X中x對(duì)E的隸屬度的集合。hE(x)稱為猶豫模糊元，簡記為hE(x)=hE。記r=r(hE)為猶豫模糊元hE中元素的個(gè)數(shù)。

例如，論域X={x1,x2}上的猶豫模糊集為E={〈x1,0.2,0.35,0.1〉,〈x2,0.5,0.6〉}，于是猶豫模糊元為hE(x1)={0.2,0.35,0.1},hE(x2)={0.5,0.6}，且r(hE(x1))=3,r(hE(x2))=2。

定義2[8]設(shè)論域X是一個(gè)非空集合，則稱T={〈x,tT(x)〉|x∈X}為猶豫三角模糊集，其中tT(x)是[0,1]上一些三角模糊數(shù)構(gòu)成的集合，表示X中x對(duì)T的隸屬度的集合。tT(x)稱為猶豫三角模糊元，簡記為tT(x)=tT。記r=r(tT)為猶豫三角模糊元tT中元素的個(gè)數(shù)。

例如，論域X={x1,x2}上的猶豫三角模糊集為T={〈x1,(0.13,0.2,0.5),(0.2,0.3,0.5)〉,〈x2,(0.1,0.21,0.4)〉}，則猶豫三角模糊元為tT(x1)={(0.13,0.2,0.5),(0.2,0.3,0.5)}和tT(x2)={(0.1,0.21,0.4)}，且r(tT(x1))=2,r(tT(x2))=1。

2.2 三角模糊數(shù)的排序方法

定義3[12]若實(shí)數(shù)域X上的模糊數(shù)a,其隸屬函數(shù)為：

則稱a為一個(gè)三角數(shù)，記作a=(al,am,au),其中x∈R,0≤al≤am≤au。al和au分別稱為下界和上界，(al,au)為支撐，支撐表示模糊程度，au-al越大，模糊程度就越強(qiáng)，三角模糊數(shù)a指“近似于am的實(shí)數(shù)”，當(dāng)al=am=au時(shí)，a退化為一個(gè)實(shí)數(shù)。

近年來，三角模糊數(shù)的大小比較方法受到人們的廣泛關(guān)注，國內(nèi)外有許多學(xué)者研究三角模糊數(shù)的排序方法，Liou等[13]利用三角模糊數(shù)的期望值來比較三角模糊的大小，鞏在武等[14]提出了基于最小二乘的三角模糊數(shù)互補(bǔ)判斷矩陣的排序方法，徐澤水[15]通過可能度的大小來比較2個(gè)三角模糊數(shù)。本文將利用可能度的大小對(duì)三角模糊數(shù)排序，下面給出可能度的定義。

定義4[15]設(shè)論域X上的2個(gè)三角模糊數(shù)a=(al,am,au)和b=(bl,bm,bu)，則稱

P(a≥b)=

(1)

為a≥b的可能度，其中0≤ρ≤1。

類似地，稱

P(b≥a)=

(2)

為b≥a的可能度，其中0≤ρ≤1。

ρ值表示決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。ρ>0.5表示決策者追求風(fēng)險(xiǎn)，ρ=0.5表示決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度是中立的，ρ<0.5表示決策者厭惡風(fēng)險(xiǎn)。特別地，當(dāng)ρ=1時(shí)，稱P(a≥b)是a≥b的悲觀可能度；當(dāng)ρ=0時(shí)，稱P(a≥b)是a≥b的樂觀可能度。

3 加權(quán)猶豫三角模糊集

3.1 加權(quán)猶豫三角模糊集的概念

猶豫三角模糊集允許一個(gè)元素屬于一個(gè)集合的隸屬度有多個(gè)可能的三角模糊數(shù)，而且出現(xiàn)的可能性相同。然而，在實(shí)際應(yīng)用中不同的三角模糊數(shù)作為隸屬度的可能性不同。由此，對(duì)每個(gè)可能作為隸屬度的三角模糊數(shù)賦予相應(yīng)的權(quán)重，強(qiáng)調(diào)每個(gè)三角模糊數(shù)作為隸屬度的重要性。

加權(quán)猶豫三角模糊元是由多個(gè)有權(quán)重的三角模糊數(shù)組成的集合，三角模糊數(shù)表示決策值，三角模糊數(shù)的權(quán)重表示給出該決策值的決策者數(shù)占總決策者數(shù)的比值。例如，某學(xué)院要從3位學(xué)生A,B,C中選擇一位優(yōu)秀畢業(yè)生，為此學(xué)院組織5位教授根據(jù)3位候選學(xué)生的德育表現(xiàn)進(jìn)行決策，假設(shè)5位教授給學(xué)生A打分時(shí)有1位給出(0.6,0.7,0.8)，有1位給出(0.5,0.6,0.7)，有3位給出(0.5,0.7,0.8)；5位教授給學(xué)生B打分時(shí)有3位給出(0.5,0.6,0.8)，有2位給出(0.5,0.7,0.8)；5位教授給學(xué)生C打分時(shí)有1位給出(0.4,0.6,0.7)，有4位給出(0.6,0.7,0.8)。設(shè)X={x}，評(píng)價(jià)結(jié)果用加權(quán)猶豫三角模糊集表示如下所示：

Aω={〈x,((0.6,0.7,0.8),0.2),((0.5,0.6,0.7),0.2),((0.5,0.7,0.8),0.6)〉}；

Bω={〈x,((0.5,0.6,0.8),0.6),((0.5,0.7,0.8),0.4)〉}；

Cω={〈x,((0.4,0.6,0.7),0.2),((0.6,0.7,0.8),0.8)〉}。

且r(tAω(x))=3,r(tBω(x))=2,r(tCω(x))=2。

加權(quán)猶豫三角模糊元中的元素是無序的，不同的加權(quán)猶豫三角模糊元中元素的個(gè)數(shù)可能不同，使得在計(jì)算加權(quán)猶豫三角模糊集之間的距離時(shí)，計(jì)算量過大，增加了計(jì)算的復(fù)雜性。為了解決這個(gè)問題，本文對(duì)元素較少的加權(quán)猶豫三角模糊元添加元素直至某一屬性下所有加權(quán)猶豫三角模糊元中元素的個(gè)數(shù)相等，并對(duì)元素按升序或降序排列。對(duì)于猶豫三角模糊元，當(dāng)r(tA(x))≠r(tB(x))時(shí)，取r=max{r(tA(x)),r(tB(x))}，對(duì)元素較少的猶豫三角模糊元添加元素直到元素個(gè)數(shù)為r。在不同的文獻(xiàn)中，研究者添加元素的方法不同，樂觀主義者對(duì)元素較少的猶豫三角模糊元重復(fù)添加最大的元素，直到元素個(gè)數(shù)為r；悲觀主義者對(duì)元素較少的猶豫三角模糊元重復(fù)添加最小的元素，直到元素個(gè)數(shù)為r；另外，還可以添加[0,1]上的任意三角模糊數(shù)直到元素個(gè)數(shù)為r。但是，對(duì)于加權(quán)猶豫三角模糊元，在添加元素時(shí)需要考慮元素的權(quán)重影響，對(duì)此，本文提出一種添加元素的方法，不改變加權(quán)猶豫三角模糊元中元素作為隸屬度的重要性。作如下假設(shè)：

假設(shè)1對(duì)于加權(quán)猶豫三角模糊元tAω(x)和tBω(x)，當(dāng)r(tAω(x))≠r(tBω(x))時(shí)，取r=max{r(tAω(x)),r(tBω(x))}，把元素較少的加權(quán)猶豫三角模糊元中權(quán)重較大的元素拆分成幾個(gè)，直到元素個(gè)數(shù)為r，并將其權(quán)重平均分配。

例1對(duì)于上述3個(gè)加權(quán)猶豫三角模糊元有：

tAω={((0.6,0.7,0.8),0.2),((0.5,0.6,0.7),0.2),((0.5,0.7,0.8),0.6)}，

tBω={((0.5,0.6,0.8),0.6),((0.5,0.7,0.8),0.4)}，

tCω={((0.4,0.6,0.7),0.2),((0.6,0.7,0.8),0.8)}。

由于r(tAω)=3,r(tBω)=2,r(tCω)=2，所以r=max{r(tAω),r(tBω),r(tCω)}=3，根據(jù)假設(shè)1對(duì)加權(quán)猶豫三角模糊元tBω和tCω添加元素，使得元素個(gè)數(shù)為3，再根據(jù)假設(shè)2和定義3(采取中立態(tài)度，令ρ=0.5)對(duì)tAω、tBω和tCω中的元素進(jìn)行排序。因此，

tAω={((0.5,0.6,0.7),0.2),((0.5,0.7,0.8),0.6),((0.6,0.7,0.8),0.2)}，

tBω={((0.5,0.6,0.8),0.3),((0.5,0.6,0.8),0.3)，((0.5,0.7,0.8),0.4)}，

tCω={((0.4,0.6,0.7),0.2),((0.6,0.7,0.8),0.4),((0.6,0.7,0.8),0.4)}。

3.2 加權(quán)猶豫三角模糊集的距離度量

根據(jù)童裕孫[16]編著的泛函分析教程中距離度量的公理化定義，本文給出加權(quán)猶豫三角模糊集的距離度量的公理化定義。

定義6設(shè)Aω和Bω是論域X上的2個(gè)加權(quán)猶豫三角模糊集，則稱d(Aω,Bω)是Aω和Bω之間的加權(quán)猶豫三角模糊距離度量，并滿足以下條件：

(1) 0≤d(Aω,Bω)≤1；

(2)d(Aω,Bω)=0當(dāng)且僅當(dāng)Aω=Bω；

(3)d(Aω,Bω)=d(Bω,Aω)；

(4)d(Aω,Bω)≤d(Aω,Cω)+d(Cω,Bω)。

下面給出加權(quán)猶豫三角模糊集之間的距離度量。

定義7設(shè)Aω和Bω是論域X={x1,x2,…,xn}上的2個(gè)加權(quán)猶豫三角模糊集,tAω(x)和tBω(x)分別是Aω和Bω的加權(quán)猶豫三角模糊元，則Aω和Bω之間的廣義加權(quán)猶豫三角模糊距離為:

d1(Aω,Bω)=

(3)

定理1若λ=1，則式(3)為加權(quán)猶豫三角模糊漢明距離:

d1-H(Aω,Bω)=

(4)

若λ=2，則式(3)為加權(quán)猶豫三角模糊歐氏距離:

d1-E(Aω,Bω)=

(5)

定義8設(shè)Aω和Bω是論域X={x1,x2,…,xn}上的2個(gè)加權(quán)猶豫三角模糊集，tAω(x)和tBω(x)分別是Aω和Bω的加權(quán)猶豫三角模糊元，則Aω和Bω之間的廣義加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)距離為:

d2(Aω,Bω)=

(6)

定理2若λ=1，則式(6)為加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)漢明距離:

d2-H(Aω,Bω)=

(7)

若λ=2，則式(6)為加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)歐氏距離:

d2-E(Aω,Bω)=

(8)

在計(jì)算加權(quán)猶豫三角模糊集之間的距離時(shí)，考慮到屬性的權(quán)重對(duì)距離的影響，將廣義加權(quán)猶豫三角模糊距離度量拓展到廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離度量，下面給出廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離的定義。

定義9設(shè)Aω和Bω是論域X={x1,x2,…,xn}上的2個(gè)加權(quán)猶豫三角模糊集，tAω(x)和tBω(x)分別是Aω和Bω的加權(quán)猶豫三角模糊元，則Aω和Bω之間的廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離為:

d3(Aω,Bω)=

(9)

定理3若λ=1，則式(9)為加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)漢明距離：

d3-H(Aω,Bω)=

(10)

若λ=2，則式(9)為加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)歐氏距離：

d3-E(Aω,Bω)=

(11)

4 基于加權(quán)猶豫三角模糊距離度量的群決策方法

在群決策問題中，設(shè)X={x1,x2,…,xn}為屬性集，xi(i=1,2,…,n)表示第i個(gè)屬性；A={A1,A2,…,Am}為備選方案集，Al(l=1,2,…,m)表示第l個(gè)備選方案；E={e1,e2,…,es}為專家集，ek(k=1,2,…,s)表示第k位專家，tilk(i=1,2,…,n;l=1,2,…,m;k=1,2,…,s)表示各位專家給各個(gè)備選方案在各個(gè)屬性下的決策值，構(gòu)成猶豫三角模糊決策矩陣T=(tilk)n×m×s。

(12)

加權(quán)猶豫三角模糊元之間的漢明距離公式如下所示:

dhtH(tAω(x),tBω(x))=

(13)

針對(duì)決策值為加權(quán)猶豫三角模糊元的群決策問題，基于加權(quán)猶豫三角模糊集的定義和加權(quán)猶豫三角模糊距離公式，本文提出基于加權(quán)猶豫三角模糊距離度量的群決策方法。以下為具體步驟：

步驟1將原始三角模糊決策矩陣表示為加權(quán)猶豫三角模糊決策矩陣Tω。

步驟3計(jì)算屬性的權(quán)重。

步驟4計(jì)算每個(gè)備選方案與理想方案之間的距離。假設(shè)理想方案A0在各個(gè)屬性下的決策值為{((0.9,1,1),1)}。

步驟5根據(jù)步驟4中的距離大小對(duì)備選方案排序，距離越小表示備選方案越優(yōu)。

5 實(shí)例分析

5.1 基于加權(quán)猶豫三角模糊距離度量的群決策分析

以文獻(xiàn)[17]中的教師評(píng)價(jià)為例，采用基于加權(quán)猶豫三角模糊距離度量的群決策方法進(jìn)行決策分析。作者通過5個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)考評(píng)候選教師，由于學(xué)生對(duì)候選教師的評(píng)價(jià)為極好、非常好和絕對(duì)好，所以該實(shí)例分析中取消學(xué)生評(píng)價(jià)指標(biāo)，采用其余的4個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)。設(shè)X={x1,x2,x3,x4}表示考評(píng)候選教師的4個(gè)指標(biāo)(x1表示基本素質(zhì)，x2表示職業(yè)道德，x3表示教學(xué)能力，x4表示科研能力)，A={A1,A2,A3,A4,A5}表示5位候選教師，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}表示6位專家，6位專家利用給定的評(píng)價(jià)語言根據(jù)4個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)5位教師進(jìn)行評(píng)價(jià)，將評(píng)價(jià)語言轉(zhuǎn)化為三角模糊數(shù)(如表1所示)。6位專家給出的三角模糊評(píng)價(jià)值如表2所示。

Table 1 Comparison between evaluation language and triangular fuzzy number表1 評(píng)價(jià)語言與三角模糊數(shù)對(duì)照表

Table 2 Triangular fuzzy language evaluation values given by six experts表2 6位專家給出的三角模糊語言評(píng)價(jià)值

Table 3 Weighted hesitant triangular fuzzy decision matrix 表3 加權(quán)猶豫三角模糊決策矩陣

Table 4 Ranking results of generalized weighted hesitant triangular fuzzy standard distance表4 廣義加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)距離的排序結(jié)果

從表4的排序結(jié)果可以看出，廣義加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)距離公式中的參數(shù)λ取不同的值，候選教師的排序不同，但最優(yōu)教師均為A4。

類似地，可以計(jì)算每位候選教師與理想教師之間的廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離，其中參數(shù)取值為λ=1,2,5,10,20,100。在計(jì)算候選教師與理想教師的加權(quán)距離之前，利用最大偏差法計(jì)算評(píng)價(jià)指標(biāo)xi的權(quán)重，w=(0.2872,0.3268,0.1927,0.1933)為評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重向量。根據(jù)廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離的大小對(duì)候選教師進(jìn)行排序，結(jié)果如表5所示。

從表5的排序結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離公式中參數(shù)λ的取值也會(huì)影響候選教師的排序。當(dāng)參數(shù)λ=1,2,20,100時(shí)，候選教師A4被評(píng)為優(yōu)秀教師；當(dāng)參數(shù)λ=5,10時(shí)，候選教師A2被評(píng)為優(yōu)秀教師。

Table 5 Ranking results of generalized weighted hesitant triangular fuzzy weighted distance表5 廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離的排序結(jié)果

5.2 對(duì)比分析

為了驗(yàn)證基于加權(quán)猶豫三角模糊距離度量的群決策方法具有合理性與可行性，將該方法與文獻(xiàn)[17]的方法進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表6所示。由表6可以看出，利用廣義加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)距離與廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離得到的候選教師排序與文獻(xiàn)[17]給出的排序順序略有不同，當(dāng)參數(shù)λ=2時(shí)，候選教師的排序文獻(xiàn)[17]給出的排序相同，但最優(yōu)教師均為A4和A2，說明基于加權(quán)猶豫三角模糊距離度量的群決策方法是正確的。在廣義加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)距離和廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離的計(jì)算公式中，參數(shù)λ的取值會(huì)影響候選教師的排序，但是最優(yōu)教師均為A4和A2。

Table 6 Ranking results of candidate teachers based on different methods表6 基于不同方法的候選教師排序結(jié)果

參數(shù)λ的取值越大，計(jì)算越復(fù)雜，所以在實(shí)際決策問題中，通常取參數(shù)λ=1，2，既能反映備選方案之間的相互關(guān)聯(lián)，又能使計(jì)算簡單。

6 結(jié)束語

針對(duì)實(shí)際決策問題中數(shù)據(jù)的復(fù)雜性以及決策者的知識(shí)背景、專業(yè)領(lǐng)域和個(gè)人偏好的差異性，本文提出加權(quán)猶豫三角模糊集的概念，對(duì)作為隸屬度的三角模糊數(shù)賦予相應(yīng)的權(quán)重，強(qiáng)調(diào)每個(gè)三角模糊數(shù)作為隸屬度的重要性。基于加權(quán)猶豫三角模糊集的概念和加權(quán)猶豫三角模糊信息下距離度量的公理化定義，提出加權(quán)猶豫三角模糊距離公式，給出了廣義加權(quán)猶豫三角模糊距離和廣義加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)距離的計(jì)算公式，考慮到屬性權(quán)重的影響，提出了廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離的計(jì)算公式?；谟?jì)算方便且不改變加權(quán)猶豫三角模糊元中元素作為隸屬度的可能性大小，提出了一種添加元素的方法。最后提出基于加權(quán)猶豫三角模糊距離度量的群決策方法，并將廣義加權(quán)猶豫三角模糊標(biāo)準(zhǔn)距離和廣義加權(quán)猶豫三角模糊加權(quán)距離應(yīng)用于加權(quán)猶豫三角模糊環(huán)境下的群決策。評(píng)選優(yōu)秀教師的數(shù)值例子表明，參數(shù)λ的取值影響候選教師的排序結(jié)果，但不影響評(píng)選最優(yōu)教師，說明加權(quán)猶豫三角模糊距離度量在群決策中具有合理性和可行性。為深入全面地研究加權(quán)猶豫三角模糊集的理論與應(yīng)用，本文將繼續(xù)研究關(guān)于加權(quán)猶豫三角模糊集的集成算子和相關(guān)性度量等。