用于壓電陶瓷軌跡跟蹤的非奇異終端滑?？刂?/h1>
2020-09-03 14:10:04蘇子業(yè)余勝東
壓電與聲光 2020年4期
蘇子業(yè)，余勝東
(1.美國(guó)國(guó)家儀器有限公司,上海 200000；2.南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京 210016；3.溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 浙江省溫州輕工機(jī)械技術(shù)創(chuàng)新服務(wù)平臺(tái)，浙江 溫州 325000)
0 引言
近年來(lái)，高精度的微納操作技術(shù)在現(xiàn)代工業(yè)體系中占有越來(lái)越重要的地位。壓電陶瓷(PZT)具有剛度系數(shù)大,分辨率高及響應(yīng)頻率大的優(yōu)點(diǎn)，其在微納操作領(lǐng)域有著無(wú)法替代的重要地位，被廣泛應(yīng)用于實(shí)現(xiàn)精密多軸運(yùn)動(dòng)平臺(tái)[1]、掃描探針顯微鏡[2]、微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)[3]和微操作機(jī)器人[4-5]等領(lǐng)域。但是，PZT固有的遲滯、蠕變和高頻振動(dòng)等不確定非線性因素給PZT的推廣應(yīng)用帶來(lái)困難。因此，為了補(bǔ)償不確定非線性因素帶來(lái)的運(yùn)動(dòng)誤差，實(shí)現(xiàn)PZT的快速響應(yīng)和高精度軌跡跟蹤，需要采用合適的控制策略對(duì)其進(jìn)行運(yùn)動(dòng)控制。
現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，為PZT的高精密魯棒運(yùn)動(dòng)控制帶來(lái)了曙光?？刂品绞桨ㄇ梆伩刂啤⒎答伩刂苹驈?fù)合控制。前饋控制或復(fù)合控制的品質(zhì)取決于前饋補(bǔ)償器的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)研究PZT的非線性滯回特性構(gòu)建了Preisach模型、Maxwell模型、Duhem模型和Bouc-Wen模型等遲滯模型[6]。然而，PZT的遲滯模型難以全面、精準(zhǔn)地刻畫PZT復(fù)雜的靜、動(dòng)態(tài)特性，加之遲滯模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)繁多，參數(shù)辨識(shí)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，因此不利于工程應(yīng)用。通過(guò)設(shè)計(jì)閉環(huán)魯棒控制器，將不確定非線性因素視為一個(gè)未知擾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)未知擾動(dòng)的準(zhǔn)確估計(jì)和補(bǔ)償，并抑制不確定非線性因素對(duì)控制精度的影響，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)精確軌跡跟蹤，使PZT在微納操作領(lǐng)域具備更高的工程應(yīng)用性。
滑?？刂剖墙鉀Q非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題最有效的控制方法[7]。通過(guò)設(shè)計(jì)與被控對(duì)象和外部擾動(dòng)都無(wú)關(guān)的滑動(dòng)模態(tài)，使控制器能夠有效處理各種擾動(dòng)影響，對(duì)模型的不確定性、參數(shù)變化和外部干擾都不敏感。為了提高滑?？刂频氖諗克俣?，提出了終端滑模(TSM)，其收斂速度超過(guò)傳統(tǒng)的基于線性超平面的滑模。TSM被廣泛應(yīng)用于存在有不確定因素的線性或非線性系統(tǒng)中，但TSM法中存在奇異性問(wèn)題，進(jìn)而提出了非奇異終端滑模(NTSM)[8]，用于避免非奇異問(wèn)題。因此，在動(dòng)力學(xué)模型存在未知量的前提下，需要運(yùn)用NTSM進(jìn)行控制，這將是一個(gè)技術(shù)難題。
時(shí)延估計(jì)(TDE)技術(shù)[9]可用于實(shí)現(xiàn)無(wú)模型控制。TDE技術(shù)是利用時(shí)延信息來(lái)估計(jì)上一時(shí)刻的未知?jiǎng)恿W(xué)和擾動(dòng)，因此，可將TDE技術(shù)用于實(shí)現(xiàn)對(duì)未知項(xiàng)的在線估計(jì)和補(bǔ)償，且不需要未知量邊界的先驗(yàn)知識(shí)。但在TDE技術(shù)的實(shí)現(xiàn)中由于需要采集上一時(shí)刻的加速度信號(hào)，實(shí)際工程中只設(shè)置位移傳感器，通過(guò)對(duì)位移信號(hào)的二次微分以獲得加速度信號(hào)，這易導(dǎo)致噪音信號(hào)的“微分爆炸”。因此，本文將通過(guò)魯棒精密微分器(RED)[10]以降低噪音的干擾，并獲得準(zhǔn)確的加速度信號(hào)。
本文旨在探索一種計(jì)算機(jī)易實(shí)現(xiàn)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、非奇異的滑?？刂破?。利用TDE技術(shù)可實(shí)現(xiàn)對(duì)未知量的估計(jì)和補(bǔ)償，利用NTSM可實(shí)現(xiàn)魯棒跟蹤控制，利用RED可實(shí)現(xiàn)加速度信號(hào)的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)，將三者相結(jié)合，構(gòu)成NTSM-TDE-RED控制器，以獲得無(wú)模型、高精度和強(qiáng)魯棒的控制效果。利用李雅普諾夫方法證明了所提控制器的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。最后，分別通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)和半物理仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提控制器的魯棒性及有效性。
1 系統(tǒng)描述
1.1 問(wèn)題描述
首先，通過(guò)PZT的開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)來(lái)觀察輸入電壓和輸出位移間的關(guān)系。將圖1(a)所示的變頻率變幅值的正弦電壓施加于PZT，獲得電壓-位移曲線圖(見(jiàn)圖1(b))。由圖1可知，電壓與位移為非線性關(guān)系，且存在強(qiáng)大的遲滯效應(yīng)，即不同的電壓頻率和幅值對(duì)應(yīng)不同的遲滯環(huán)。
圖1 PZT的非線性遲滯效應(yīng)
1.2 動(dòng)力學(xué)方程
根據(jù)Bouc-Wen模型[10]書寫堆疊式PZT的動(dòng)力學(xué)方程：
(1)
(2)
式中：M,C,ke和x分別為等效質(zhì)量、阻尼系數(shù)、剛度系數(shù)和位移；d為壓電系數(shù)；ui為輸入電壓；fd為未建模項(xiàng)和外界干擾的總擾動(dòng)；h為系統(tǒng)的遲滯效應(yīng)；ξ1,ξ2,ξ3為描述遲滯環(huán)形狀的系數(shù)。由式(1)、(2)可見(jiàn)，ui及其導(dǎo)數(shù)對(duì)遲滯效應(yīng)有直接影響。PZT的動(dòng)力學(xué)模型和參數(shù)構(gòu)成復(fù)雜，其參數(shù)辨識(shí)過(guò)程繁瑣、費(fèi)時(shí)，同時(shí)由于外部干擾的存在，幾乎無(wú)法獲得足夠精度的動(dòng)力學(xué)模型。因此，本文將構(gòu)建無(wú)需模型的非線性魯棒控制器以實(shí)現(xiàn)PZT的精確軌跡跟蹤。
2 魯棒控制器設(shè)計(jì)
(3)
(4)
選擇非奇異終端滑模面[11]為
(5)
式中：K為待調(diào)整的參數(shù)；p、q為正參數(shù)，且1
控制律的輸入設(shè)計(jì)為
(6)
其中
(7)
式中Kswsgns為魯棒項(xiàng)，Ksw為魯棒項(xiàng)系數(shù)。
利用TDE技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)未知項(xiàng)N的估計(jì)。
(8)
式中：L為時(shí)延參數(shù)，通常取L為采樣周期的整數(shù)倍；N(t-L)為L(zhǎng)時(shí)刻前未知項(xiàng)的值，其計(jì)算過(guò)程如下：
(9)
將式(7)、(9)代入式(6)可得控制律u的表示式為
(10)
式(10)中的sgns會(huì)帶來(lái)抖振，其振幅為Ksw。為了減少抖振，使u的輸出更平滑，用飽和函數(shù)sat(s,φ)代替sgns，即：
(11)
式中φ為邊界層厚度。
由式(9)可知，其滑模面是連續(xù)可微的NTSM，TDE技術(shù)簡(jiǎn)化了動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜度，因此，所提控制器能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)模型控制。
式(9)需依靠加速度信號(hào)的反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)TDE的準(zhǔn)確估計(jì)。微分運(yùn)算對(duì)噪聲極度敏感，并且會(huì)放大噪聲的作用。由于位移信號(hào)中伴隨有大量噪聲信號(hào)，故難以通過(guò)微分方法獲得加速度信號(hào)。RED具有濾波和微分運(yùn)算的雙重作用，通過(guò)RED技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)全狀態(tài)的在線估計(jì)，不僅實(shí)時(shí)性高，且能有效抑制噪聲的影響。二階RED的表達(dá)式為
(12)
式中：λ1=3λ1/3;λ2=1.5λ1/2;λ3=1.2λ,λ≥|x|。估計(jì)的狀態(tài)量如下：
仿真實(shí)驗(yàn)需兼顧估計(jì)精度和抖振，故選擇λ=0.005。3個(gè)期望值分別是位移曲線x=10sin(πt)，速度曲線v=x′=10πcos(πt)，加速度曲線a=x″=-10π2cos(πt)。另外，為了更深入地考察RED對(duì)噪音的過(guò)濾能力，在期望位移曲線上添加了隨機(jī)干擾信號(hào)，其幅值為[0,1]，采樣頻率為10 kHz。RED能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)位移信號(hào)和速度信號(hào)的準(zhǔn)確估計(jì)(見(jiàn)圖2)，并且其誤差快速收斂至0。雖然RED也能基本實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度的估計(jì)，但仍存在一定的誤差和延遲，這種誤差會(huì)降低TDE技術(shù)的精度。盡管TDE技術(shù)未能實(shí)現(xiàn)對(duì)未知量的精確補(bǔ)償，但這種微小的缺陷可通過(guò)NTSM控制器進(jìn)行彌補(bǔ)，NTSM控制器和TDE技術(shù)的相互補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)了對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的精確跟蹤。
圖2 RED實(shí)現(xiàn)對(duì)位移信號(hào)、速度信號(hào)和加速度信號(hào)的估計(jì)
綜上所述，NTSM-TDE-RED控制器的結(jié)構(gòu)如圖3所示。
圖3 NTSM-TDE-RED控制器的結(jié)構(gòu)框圖
如果將NTSM-TDE-RED控制器中的NTSM項(xiàng)用Proportion-Derivative(PD)項(xiàng)進(jìn)行取代，則該控制器將演變?yōu)榛赥DE技術(shù)的PD控制器。對(duì)于式(6)，取
(13)
式中：KP為比例系數(shù)；KD為微分系數(shù)。
則設(shè)計(jì)u為
(14)
由于該控制器包括了傳統(tǒng)的PD控制、TDE和RED技術(shù)，因此，該控制器又稱為PD-TDE-RED控制器。
3 控制器的穩(wěn)定性分析
將式(5)～(10)代入式(4)中可得
(15)
定義李雅普諾夫函數(shù)：
(16)
對(duì)式(16)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得
(17)
取
Ksw≥|ε|
(18)
收斂性分析如下：根據(jù)LaSalle不變集定理，t→時(shí)，s→0，即
4 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)
通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)可以探究控制器在理想環(huán)境下的性能表現(xiàn),仿真環(huán)境為 MATLAB/Simulink, 仿真步長(zhǎng)為 0.1 ms。同時(shí)，為了驗(yàn)證所提控制器的有效性，將所提控制策略與PD-TDE-RED控制器進(jìn)行對(duì)比。
控制系統(tǒng)通過(guò)對(duì)期望位移的精確跟蹤，實(shí)現(xiàn)輸入、輸出的線性化。為了能夠量化比較不同控制器的性能，采用傳統(tǒng)均方根誤差(RMSE)和最大誤差(ME)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，即：
(19)
ME=max(|xdi-xi|)
(20)
式中：NI為總的采樣點(diǎn)數(shù)量；xdi,xi分別為第i個(gè)采樣點(diǎn)的期望位移和實(shí)際位移。
利用試錯(cuò)法對(duì)控制器的參數(shù)依照從小到大的順序進(jìn)行調(diào)整，并綜合考慮抖振程度、RMSE和ME，所選參數(shù)如表1所示。
表1 控制器的參數(shù)選擇
為了使仿真結(jié)果更具代表性，選擇變頻率和變幅值的正弦信號(hào)作為期望軌跡，其表達(dá)式為
y=[4-4cos(4πte-0.12t)]×e-0.2t
(21)
NTSM-TDE-RED和PD-TDE-RED控制器都能實(shí)現(xiàn)對(duì)變頻率和變幅值的正弦信號(hào)的軌跡跟蹤。由圖4(a)、(b)可知，兩個(gè)控制器產(chǎn)生的位移誤差隨軌跡信號(hào)做同步波動(dòng)，但NTSM-TDE-RED控制器產(chǎn)生的誤差波動(dòng)遠(yuǎn)小于PD-TDE-RED控制器的誤差。通過(guò)誤差分析可看出，NTSM-TDE-RED控制器的RMSE比PD-TDE-RED控制器降低了約95.5%，最大誤差也降低了約89.5%。由圖4(c)可知，兩個(gè)控制器的u實(shí)現(xiàn)了光滑輸出，基本無(wú)抖振。因此，在跟蹤連續(xù)且可微的波動(dòng)信號(hào)時(shí)，NTSM-TDE-RED控制器控制精度更高，具有穩(wěn)定的性能表現(xiàn)。
圖4 控制器在跟蹤波動(dòng)信號(hào)時(shí)的性能曲線
5 半物理仿真實(shí)驗(yàn)
基于XPC半物理仿真環(huán)境構(gòu)建PZT的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。PZT的型號(hào)是Pst120/7/20VS12，電壓放大器的型號(hào)是E00.6。PZT的位移信號(hào)由LK-H020激光位移傳感器采集，其測(cè)量精度為0.02 μm。
信號(hào)傳遞流程如圖5所示。控制算法運(yùn)行于宿主機(jī)上，經(jīng)過(guò)編譯后下載到目標(biāo)機(jī)中。目標(biāo)機(jī)輸出的數(shù)字信號(hào)經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)變后，由電壓放大器進(jìn)行放大，然后驅(qū)動(dòng)PZT發(fā)生運(yùn)動(dòng)。激光位移傳感器采集的位移信號(hào)經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)變后，再經(jīng)過(guò)低通濾波輸入到目標(biāo)機(jī)中。半物理仿真實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境如圖6所示。
圖5 半物理仿真實(shí)驗(yàn)的信號(hào)流程圖
圖6 半物理仿真實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境
為了建立與計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)的可比性，在半物理仿真實(shí)驗(yàn)中，仍選擇第4節(jié)中所用的變頻率和變幅值的正弦信號(hào)作為期望軌跡。如圖7所示，從半物理仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，由于環(huán)境擾動(dòng)、測(cè)量噪音的影響和激光位移傳感器采集精度的限制，軌跡跟蹤精度比計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)有所降低，但兩個(gè)控制器仍能夠成功實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤過(guò)程。NTSM-TDE-RED和PD-TDE-RED控制器的RMSE=0.06 μm，0.16 μm；ME=0.20 μm，0.47 μm。NTSM-TDE-RED具有更高的控制精度，與計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果一致。半物理仿真實(shí)驗(yàn)中，為了克服擾動(dòng)的影響，并保持控制精度，u的抖振變得更激烈。在NTSM-TDE-RED控制器中，雖然可以通過(guò)調(diào)節(jié)飽和函數(shù)的φ以降低抖振，但φ過(guò)大會(huì)降低控制精度。與NTSM-TDE-RED控制器相比，PD-TDE-RED控制器無(wú)調(diào)節(jié)抖振的功能。
圖7 控制器在跟蹤波動(dòng)信號(hào)時(shí)的性能曲線
6 結(jié)束語(yǔ)
為克服PZT在軌跡跟蹤中普遍存在的遲滯、蠕變和高頻振動(dòng)等不確定非線性因素，提出了一種結(jié)合NTSM、TDE和RED技術(shù)的高精密魯棒控制器。利用NTSM項(xiàng)使控制器具有強(qiáng)大的魯棒性，利用TDE技術(shù)實(shí)現(xiàn)無(wú)模型控制，利用RED技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)全狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)。此外，通過(guò)李雅普諾夫法完成控制器的閉環(huán)穩(wěn)定性分析。通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真和半物理仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明，所提控制器能夠有效克服擾動(dòng)的影響，精確控制PZT實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的軌跡跟蹤，RMSE和ME分別達(dá)到0.16 μm，0.47 μm。因此，所提的NTSM-TDE-RED控制器的工程應(yīng)用性強(qiáng)，能夠廣泛應(yīng)用于PZT的精密運(yùn)動(dòng)控制中。
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現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，為PZT的高精密魯棒運(yùn)動(dòng)控制帶來(lái)了曙光?？刂品绞桨ㄇ梆伩刂啤⒎答伩刂苹驈?fù)合控制。前饋控制或復(fù)合控制的品質(zhì)取決于前饋補(bǔ)償器的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)研究PZT的非線性滯回特性構(gòu)建了Preisach模型、Maxwell模型、Duhem模型和Bouc-Wen模型等遲滯模型[6]。然而，PZT的遲滯模型難以全面、精準(zhǔn)地刻畫PZT復(fù)雜的靜、動(dòng)態(tài)特性，加之遲滯模型結(jié)構(gòu)復(fù)雜，參數(shù)繁多，參數(shù)辨識(shí)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，因此不利于工程應(yīng)用。通過(guò)設(shè)計(jì)閉環(huán)魯棒控制器，將不確定非線性因素視為一個(gè)未知擾動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)未知擾動(dòng)的準(zhǔn)確估計(jì)和補(bǔ)償，并抑制不確定非線性因素對(duì)控制精度的影響，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)精確軌跡跟蹤，使PZT在微納操作領(lǐng)域具備更高的工程應(yīng)用性。
滑?？刂剖墙鉀Q非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題最有效的控制方法[7]。通過(guò)設(shè)計(jì)與被控對(duì)象和外部擾動(dòng)都無(wú)關(guān)的滑動(dòng)模態(tài)，使控制器能夠有效處理各種擾動(dòng)影響，對(duì)模型的不確定性、參數(shù)變化和外部干擾都不敏感。為了提高滑?？刂频氖諗克俣?，提出了終端滑模(TSM)，其收斂速度超過(guò)傳統(tǒng)的基于線性超平面的滑模。TSM被廣泛應(yīng)用于存在有不確定因素的線性或非線性系統(tǒng)中，但TSM法中存在奇異性問(wèn)題，進(jìn)而提出了非奇異終端滑模(NTSM)[8]，用于避免非奇異問(wèn)題。因此，在動(dòng)力學(xué)模型存在未知量的前提下，需要運(yùn)用NTSM進(jìn)行控制，這將是一個(gè)技術(shù)難題。
時(shí)延估計(jì)(TDE)技術(shù)[9]可用于實(shí)現(xiàn)無(wú)模型控制。TDE技術(shù)是利用時(shí)延信息來(lái)估計(jì)上一時(shí)刻的未知?jiǎng)恿W(xué)和擾動(dòng)，因此，可將TDE技術(shù)用于實(shí)現(xiàn)對(duì)未知項(xiàng)的在線估計(jì)和補(bǔ)償，且不需要未知量邊界的先驗(yàn)知識(shí)。但在TDE技術(shù)的實(shí)現(xiàn)中由于需要采集上一時(shí)刻的加速度信號(hào)，實(shí)際工程中只設(shè)置位移傳感器，通過(guò)對(duì)位移信號(hào)的二次微分以獲得加速度信號(hào)，這易導(dǎo)致噪音信號(hào)的“微分爆炸”。因此，本文將通過(guò)魯棒精密微分器(RED)[10]以降低噪音的干擾，并獲得準(zhǔn)確的加速度信號(hào)。
本文旨在探索一種計(jì)算機(jī)易實(shí)現(xiàn)、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、非奇異的滑?？刂破?。利用TDE技術(shù)可實(shí)現(xiàn)對(duì)未知量的估計(jì)和補(bǔ)償，利用NTSM可實(shí)現(xiàn)魯棒跟蹤控制，利用RED可實(shí)現(xiàn)加速度信號(hào)的實(shí)時(shí)狀態(tài)估計(jì)，將三者相結(jié)合，構(gòu)成NTSM-TDE-RED控制器，以獲得無(wú)模型、高精度和強(qiáng)魯棒的控制效果。利用李雅普諾夫方法證明了所提控制器的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。最后，分別通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)和半物理仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提控制器的魯棒性及有效性。
1 系統(tǒng)描述
1.1 問(wèn)題描述
首先，通過(guò)PZT的開(kāi)環(huán)實(shí)驗(yàn)來(lái)觀察輸入電壓和輸出位移間的關(guān)系。將圖1(a)所示的變頻率變幅值的正弦電壓施加于PZT，獲得電壓-位移曲線圖(見(jiàn)圖1(b))。由圖1可知，電壓與位移為非線性關(guān)系，且存在強(qiáng)大的遲滯效應(yīng)，即不同的電壓頻率和幅值對(duì)應(yīng)不同的遲滯環(huán)。
圖1 PZT的非線性遲滯效應(yīng)
1.2 動(dòng)力學(xué)方程
根據(jù)Bouc-Wen模型[10]書寫堆疊式PZT的動(dòng)力學(xué)方程：
(1)
(2)
式中：M,C,ke和x分別為等效質(zhì)量、阻尼系數(shù)、剛度系數(shù)和位移；d為壓電系數(shù)；ui為輸入電壓；fd為未建模項(xiàng)和外界干擾的總擾動(dòng)；h為系統(tǒng)的遲滯效應(yīng)；ξ1,ξ2,ξ3為描述遲滯環(huán)形狀的系數(shù)。由式(1)、(2)可見(jiàn)，ui及其導(dǎo)數(shù)對(duì)遲滯效應(yīng)有直接影響。PZT的動(dòng)力學(xué)模型和參數(shù)構(gòu)成復(fù)雜，其參數(shù)辨識(shí)過(guò)程繁瑣、費(fèi)時(shí)，同時(shí)由于外部干擾的存在，幾乎無(wú)法獲得足夠精度的動(dòng)力學(xué)模型。因此，本文將構(gòu)建無(wú)需模型的非線性魯棒控制器以實(shí)現(xiàn)PZT的精確軌跡跟蹤。
2 魯棒控制器設(shè)計(jì)
(3)
(4)
選擇非奇異終端滑模面[11]為
(5)
式中：K為待調(diào)整的參數(shù)；p、q為正參數(shù)，且1
控制律的輸入設(shè)計(jì)為
(6)
其中
(7)
式中Kswsgns為魯棒項(xiàng)，Ksw為魯棒項(xiàng)系數(shù)。
利用TDE技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)未知項(xiàng)N的估計(jì)。
(8)
式中：L為時(shí)延參數(shù)，通常取L為采樣周期的整數(shù)倍；N(t-L)為L(zhǎng)時(shí)刻前未知項(xiàng)的值，其計(jì)算過(guò)程如下：
(9)
將式(7)、(9)代入式(6)可得控制律u的表示式為
(10)
式(10)中的sgns會(huì)帶來(lái)抖振，其振幅為Ksw。為了減少抖振，使u的輸出更平滑，用飽和函數(shù)sat(s,φ)代替sgns，即：
(11)
式中φ為邊界層厚度。
由式(9)可知，其滑模面是連續(xù)可微的NTSM，TDE技術(shù)簡(jiǎn)化了動(dòng)力學(xué)模型的復(fù)雜度，因此，所提控制器能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)模型控制。
式(9)需依靠加速度信號(hào)的反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)TDE的準(zhǔn)確估計(jì)。微分運(yùn)算對(duì)噪聲極度敏感，并且會(huì)放大噪聲的作用。由于位移信號(hào)中伴隨有大量噪聲信號(hào)，故難以通過(guò)微分方法獲得加速度信號(hào)。RED具有濾波和微分運(yùn)算的雙重作用，通過(guò)RED技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)全狀態(tài)的在線估計(jì)，不僅實(shí)時(shí)性高，且能有效抑制噪聲的影響。二階RED的表達(dá)式為
(12)
式中：λ1=3λ1/3;λ2=1.5λ1/2;λ3=1.2λ,λ≥|x|。估計(jì)的狀態(tài)量如下：
仿真實(shí)驗(yàn)需兼顧估計(jì)精度和抖振，故選擇λ=0.005。3個(gè)期望值分別是位移曲線x=10sin(πt)，速度曲線v=x′=10πcos(πt)，加速度曲線a=x″=-10π2cos(πt)。另外，為了更深入地考察RED對(duì)噪音的過(guò)濾能力，在期望位移曲線上添加了隨機(jī)干擾信號(hào)，其幅值為[0,1]，采樣頻率為10 kHz。RED能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)位移信號(hào)和速度信號(hào)的準(zhǔn)確估計(jì)(見(jiàn)圖2)，并且其誤差快速收斂至0。雖然RED也能基本實(shí)現(xiàn)對(duì)加速度的估計(jì)，但仍存在一定的誤差和延遲，這種誤差會(huì)降低TDE技術(shù)的精度。盡管TDE技術(shù)未能實(shí)現(xiàn)對(duì)未知量的精確補(bǔ)償，但這種微小的缺陷可通過(guò)NTSM控制器進(jìn)行彌補(bǔ)，NTSM控制器和TDE技術(shù)的相互補(bǔ)充，實(shí)現(xiàn)了對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的精確跟蹤。
圖2 RED實(shí)現(xiàn)對(duì)位移信號(hào)、速度信號(hào)和加速度信號(hào)的估計(jì)
綜上所述，NTSM-TDE-RED控制器的結(jié)構(gòu)如圖3所示。
圖3 NTSM-TDE-RED控制器的結(jié)構(gòu)框圖
如果將NTSM-TDE-RED控制器中的NTSM項(xiàng)用Proportion-Derivative(PD)項(xiàng)進(jìn)行取代，則該控制器將演變?yōu)榛赥DE技術(shù)的PD控制器。對(duì)于式(6)，取
(13)
式中：KP為比例系數(shù)；KD為微分系數(shù)。
則設(shè)計(jì)u為
(14)
由于該控制器包括了傳統(tǒng)的PD控制、TDE和RED技術(shù)，因此，該控制器又稱為PD-TDE-RED控制器。
3 控制器的穩(wěn)定性分析
將式(5)～(10)代入式(4)中可得
(15)
定義李雅普諾夫函數(shù)：
(16)
對(duì)式(16)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，得
(17)
取
Ksw≥|ε|
(18)
收斂性分析如下：根據(jù)LaSalle不變集定理，t→時(shí)，s→0，即
4 計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)
通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)可以探究控制器在理想環(huán)境下的性能表現(xiàn),仿真環(huán)境為 MATLAB/Simulink, 仿真步長(zhǎng)為 0.1 ms。同時(shí)，為了驗(yàn)證所提控制器的有效性，將所提控制策略與PD-TDE-RED控制器進(jìn)行對(duì)比。
控制系統(tǒng)通過(guò)對(duì)期望位移的精確跟蹤，實(shí)現(xiàn)輸入、輸出的線性化。為了能夠量化比較不同控制器的性能，采用傳統(tǒng)均方根誤差(RMSE)和最大誤差(ME)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，即：
(19)
ME=max(|xdi-xi|)
(20)
式中：NI為總的采樣點(diǎn)數(shù)量；xdi,xi分別為第i個(gè)采樣點(diǎn)的期望位移和實(shí)際位移。
利用試錯(cuò)法對(duì)控制器的參數(shù)依照從小到大的順序進(jìn)行調(diào)整，并綜合考慮抖振程度、RMSE和ME，所選參數(shù)如表1所示。
表1 控制器的參數(shù)選擇
為了使仿真結(jié)果更具代表性，選擇變頻率和變幅值的正弦信號(hào)作為期望軌跡，其表達(dá)式為
y=[4-4cos(4πte-0.12t)]×e-0.2t
(21)
NTSM-TDE-RED和PD-TDE-RED控制器都能實(shí)現(xiàn)對(duì)變頻率和變幅值的正弦信號(hào)的軌跡跟蹤。由圖4(a)、(b)可知，兩個(gè)控制器產(chǎn)生的位移誤差隨軌跡信號(hào)做同步波動(dòng)，但NTSM-TDE-RED控制器產(chǎn)生的誤差波動(dòng)遠(yuǎn)小于PD-TDE-RED控制器的誤差。通過(guò)誤差分析可看出，NTSM-TDE-RED控制器的RMSE比PD-TDE-RED控制器降低了約95.5%，最大誤差也降低了約89.5%。由圖4(c)可知，兩個(gè)控制器的u實(shí)現(xiàn)了光滑輸出，基本無(wú)抖振。因此，在跟蹤連續(xù)且可微的波動(dòng)信號(hào)時(shí)，NTSM-TDE-RED控制器控制精度更高，具有穩(wěn)定的性能表現(xiàn)。
圖4 控制器在跟蹤波動(dòng)信號(hào)時(shí)的性能曲線
5 半物理仿真實(shí)驗(yàn)
基于XPC半物理仿真環(huán)境構(gòu)建PZT的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)。PZT的型號(hào)是Pst120/7/20VS12，電壓放大器的型號(hào)是E00.6。PZT的位移信號(hào)由LK-H020激光位移傳感器采集，其測(cè)量精度為0.02 μm。
信號(hào)傳遞流程如圖5所示。控制算法運(yùn)行于宿主機(jī)上，經(jīng)過(guò)編譯后下載到目標(biāo)機(jī)中。目標(biāo)機(jī)輸出的數(shù)字信號(hào)經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)變后，由電壓放大器進(jìn)行放大，然后驅(qū)動(dòng)PZT發(fā)生運(yùn)動(dòng)。激光位移傳感器采集的位移信號(hào)經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)變后，再經(jīng)過(guò)低通濾波輸入到目標(biāo)機(jī)中。半物理仿真實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境如圖6所示。
圖5 半物理仿真實(shí)驗(yàn)的信號(hào)流程圖
圖6 半物理仿真實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境
為了建立與計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)的可比性，在半物理仿真實(shí)驗(yàn)中，仍選擇第4節(jié)中所用的變頻率和變幅值的正弦信號(hào)作為期望軌跡。如圖7所示，從半物理仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，由于環(huán)境擾動(dòng)、測(cè)量噪音的影響和激光位移傳感器采集精度的限制，軌跡跟蹤精度比計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)有所降低，但兩個(gè)控制器仍能夠成功實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤過(guò)程。NTSM-TDE-RED和PD-TDE-RED控制器的RMSE=0.06 μm，0.16 μm；ME=0.20 μm，0.47 μm。NTSM-TDE-RED具有更高的控制精度，與計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果一致。半物理仿真實(shí)驗(yàn)中，為了克服擾動(dòng)的影響，并保持控制精度，u的抖振變得更激烈。在NTSM-TDE-RED控制器中，雖然可以通過(guò)調(diào)節(jié)飽和函數(shù)的φ以降低抖振，但φ過(guò)大會(huì)降低控制精度。與NTSM-TDE-RED控制器相比，PD-TDE-RED控制器無(wú)調(diào)節(jié)抖振的功能。
圖7 控制器在跟蹤波動(dòng)信號(hào)時(shí)的性能曲線
6 結(jié)束語(yǔ)
為克服PZT在軌跡跟蹤中普遍存在的遲滯、蠕變和高頻振動(dòng)等不確定非線性因素，提出了一種結(jié)合NTSM、TDE和RED技術(shù)的高精密魯棒控制器。利用NTSM項(xiàng)使控制器具有強(qiáng)大的魯棒性，利用TDE技術(shù)實(shí)現(xiàn)無(wú)模型控制，利用RED技術(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)全狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)。此外，通過(guò)李雅普諾夫法完成控制器的閉環(huán)穩(wěn)定性分析。通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真和半物理仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)證明，所提控制器能夠有效克服擾動(dòng)的影響，精確控制PZT實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的軌跡跟蹤，RMSE和ME分別達(dá)到0.16 μm，0.47 μm。因此，所提的NTSM-TDE-RED控制器的工程應(yīng)用性強(qiáng)，能夠廣泛應(yīng)用于PZT的精密運(yùn)動(dòng)控制中。
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