王 舟，陳遠(yuǎn)晟，王 浩，黃勤斌

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，江蘇 南京 210094)

0 引言

隨著精密制造和精密工程的快速發(fā)展，微米、納米級(jí)的定位技術(shù)成為目前精密加工、生物醫(yī)學(xué)、微電子等領(lǐng)域的關(guān)鍵性技術(shù)，如壓電陶瓷管掃描器、微夾持等[1-2]。壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器是理想的微位移元件，具有位移特性好，體積小等優(yōu)點(diǎn)，但壓電材料固有的遲滯非線性特性給精密定位帶來(lái)影響[3]。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)于壓電陶瓷的遲滯特性做了大量研究，Xianfeng Song等[4]提出了一種改進(jìn)的Preisach模型， 并引入了開(kāi)環(huán)控制器以消除遲滯影響。 經(jīng)典的Preisach遲滯模型以積分的形式來(lái)描述遲滯特性，并且此方法還可以通過(guò)采用時(shí)間導(dǎo)數(shù)校正技術(shù)來(lái)處理非恒定頻率依賴性。于志亮等[5]提出一種改進(jìn)的Prandtl-Ishlinskii(PI)滯后模型對(duì)壓電陶瓷執(zhí)行器的遲滯特性進(jìn)行前饋逆補(bǔ)償，將遲滯特性線性度誤差減小到 1% 以內(nèi)，實(shí)現(xiàn)線性化。

為了進(jìn)一步減小壓電陶瓷的遲滯非線性，Chaoui H等[6]提出了一種具有滯后和干擾估計(jì)的壓電驅(qū)動(dòng)器自適應(yīng)控制策略。自適應(yīng)控制法是基于Lyapunov 的自適應(yīng)定律學(xué)習(xí)壓電驅(qū)動(dòng)器的逆模型。可有效的在反饋回路中使用自適應(yīng)估計(jì)器來(lái)估計(jì)磁滯和干擾，減小跟蹤控制誤差。Zhang Guoqing等[7]研究了由廣義PI模型描述的具有未知非平滑滯后的不確定非線性時(shí)滯系統(tǒng)的跟蹤問(wèn)題?；谧钚W(xué)習(xí)參數(shù)(MLP)的自適應(yīng)神經(jīng)算法，保證跟蹤誤差收斂到零的小鄰域內(nèi)，并且閉環(huán)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都穩(wěn)定。胡力等[8]提出了一種最小二乘法與徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的建模方法，用最小二乘法對(duì)遲滯曲線進(jìn)行多項(xiàng)式擬合,得到壓電執(zhí)行器的遲滯數(shù)學(xué)模型,在此基礎(chǔ)上再用徑向基函數(shù)(RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對(duì)該模型進(jìn)行優(yōu)化。最后對(duì)建立的模型進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn),用最小二乘法擬合的多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型,標(biāo)準(zhǔn)方差δ=0.059 02 μm,而利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化建模后的δ=0.016 04 μm，對(duì)遲滯曲線有較好的補(bǔ)償效果。

在研究壓電陶瓷的物理特性時(shí)，Ruderman等[9]探索了Maxwell-slip 模型的滯后阻尼特性?？紤]到經(jīng)典的線性粘滯阻尼和Stribeck效應(yīng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)分析了力-位移滯后的非線性阻尼，并分析Lyapunov穩(wěn)態(tài)特性。在此基礎(chǔ)上，得到模型參數(shù)并消除誤差。 最后，描述了預(yù)滑動(dòng)滯后摩擦響應(yīng)于零速度附近的相關(guān)實(shí)驗(yàn)示例。Maxwell-slip模型是一種基于物理現(xiàn)象的遲滯模型，其具有參數(shù)少，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)，但存在彈性滑塊單元的參數(shù)耦合問(wèn)題，所以只能用來(lái)描述對(duì)稱遲滯曲線。雖然有一定程度的控制效果，但是在高頻條件下，模型所得誤差還是較大。

傳統(tǒng)的Preisach模型、PI模型和Maxwell-slip模型的離線辨識(shí)在單一頻率下有良好的辨識(shí)效果，本文在經(jīng)典Maxwell-slip模型的基礎(chǔ)上引入自適應(yīng)控制算法，減小跟蹤控制誤差，所用參數(shù)更少且適用于更寬頻率，對(duì)于環(huán)境干擾能進(jìn)行自動(dòng)辨識(shí)，使其能夠?qū)弘娞沾沈?qū)動(dòng)器的遲滯現(xiàn)象進(jìn)行描述，并用于實(shí)際控制系統(tǒng)中。

1 Maxwell-slip模型

若|k(z-zi)|

Fi=k(z-zi)zi不變

(1)

否則，滑塊處于滑動(dòng)狀態(tài)，有

(2)

圖1 Maxwell-slip模型

由式(1)、(2)可得到第i個(gè)單元輸出力Fi，疊加到N個(gè)滑塊單元后的整個(gè)系統(tǒng)預(yù)滑動(dòng)階段的輸出力為

(3)

Maxwell-slip模型的主要思想是: 假設(shè)摩擦力存在，當(dāng)輸入值足夠大時(shí)，F(xiàn)與z的關(guān)系會(huì)出現(xiàn)遲滯現(xiàn)象，表現(xiàn)為平行四邊形，如圖2所示 。該彈簧阻尼系統(tǒng)的力與位移遲滯特性，與壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性接近。另外，由于該彈簧的滑塊無(wú)質(zhì)量且處于并聯(lián)狀態(tài)，因此,增加N可無(wú)限逼近壓電陶瓷遲滯特性曲線精度，卻不增加模型的階數(shù)。

圖2 Maxwell-slip模型基礎(chǔ)單元遲滯特性

2 模型改進(jìn)

若|k(z-zi)|

(4)

否則，滑塊處于滑動(dòng)狀態(tài)，有：

(5)

式中wi為Fi的權(quán)值系數(shù)，疊加N個(gè)單元后的系統(tǒng)預(yù)滑動(dòng)階段的輸出力為

(6)

3 自適應(yīng)控制算法

圖3為遲滯逆模型控制示意圖。若模型精度足夠高，則跟蹤控制誤差e(t)為

e(t)=v(t)-x(t)=v(t)-H[y](t)=

(7)

式中：v(t)為Maxwell-slip模型的輸入信號(hào)；x(t)為壓電驅(qū)動(dòng)器輸出信號(hào)(Maxwell-slip模型的輸出力即為壓電的輸出信號(hào));y(t)為Maxwell-slip模型的輸出信號(hào)和壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的輸入信號(hào);H為Maxwell-slip模型的建立。

圖3 Maxwell-slip模型控制系統(tǒng)示意圖

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在系統(tǒng)識(shí)別、信號(hào)處理等方面有廣泛的應(yīng)用，但它只能近似于一對(duì)一的映射[12-13]。為了模擬多值映射的滯后，提出了一種具有反激算子的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。將反激算子引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的第一層，第一層的輸出為

a1=H[wi·Fi(t)]=wi·H[Fi(t)]

(8)

式中a1為第一層的輸出向量。

反向傳播算法是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)中最流行的訓(xùn)練算法之一[14-15]，為了對(duì)所提出的控制算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，引入文獻(xiàn)[15]提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最后一層的敏感度公式,即

(9)

式(9)需要計(jì)算間隙算子的導(dǎo)數(shù)，H[wi·Fi(t)]是多值映射的非線性滯后函數(shù)，很難計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，這使得訓(xùn)練算法和控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜化。但與Maxwell-slip模型相似，由于每個(gè)單元的神經(jīng)元傳遞函數(shù)是線性的，可以將式(9)作為最后一層進(jìn)行線性迭代，那么wi將通過(guò)以下方式更新：

(10)

式中：m為迭代次數(shù)；α為學(xué)習(xí)率;ai為第i層輸出向量；s為式(8)的，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中最后一層的敏感度，與每一時(shí)刻的位移誤差有關(guān)。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 實(shí)驗(yàn)方案

為了驗(yàn)證Maxwell-slip模型的自適應(yīng)控制算法的可用性與正確性，本文在LabVIEW軟件上設(shè)計(jì)了遲滯控制模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)裝置采用懸臂梁結(jié)構(gòu)的壓電控制平臺(tái)，壓電陶瓷雙晶片采用嘉康公司生產(chǎn)的條形驅(qū)動(dòng)器(51.7 mm×7.2 mm×0.83 mm)，位移傳感器采用IL-S025，位移分辨率1 mm對(duì)應(yīng)1 mV，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采用NI-compact RIO 9030系統(tǒng)，通過(guò)采集位移信號(hào)運(yùn)算控制算法后，輸出模擬信號(hào)-5～+5 V，實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示。實(shí)驗(yàn)輸入信號(hào)選取0.1 Hz，1 Hz，5 Hz，10 Hz，20 Hz的正弦信號(hào)。經(jīng)過(guò)Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制進(jìn)行前饋補(bǔ)償后，輸入到壓電雙晶片后得到測(cè)量位移，Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制原理如圖5所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

圖5 Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制原理圖

4.2 無(wú)前饋補(bǔ)償?shù)倪t滯環(huán)

根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行測(cè)試，在壓電實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上采集無(wú)前饋補(bǔ)償控制下的測(cè)量位移，根據(jù)輸入信號(hào)的期望位移與測(cè)量位移采集結(jié)果，可得到不同頻率在無(wú)前饋補(bǔ)償控制下的遲滯環(huán)。其中1 Hz、10 Hz、20 Hz下控制前的遲滯環(huán)如圖6所示。

圖6 不同頻率下控制前的遲滯環(huán)

4.3 Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制的遲滯環(huán)

根據(jù)輸入信號(hào)的期望位移與測(cè)量位移結(jié)果，可得到不同頻率的Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制的遲滯環(huán)(見(jiàn)圖7)。

圖7 不同頻率下的Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制遲滯環(huán)

4.4 實(shí)驗(yàn)誤差結(jié)果

本實(shí)驗(yàn)搭建懸臂梁結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，壓電雙晶片驅(qū)動(dòng)器共振頻率較低，當(dāng)壓電雙晶片遠(yuǎn)離共振頻率時(shí)，控制效果較好，到達(dá)共振頻率后，控制效果不理想。此模型與自適應(yīng)控制法結(jié)合后，拓展了應(yīng)用范圍，在20 Hz下有一定控制效果。在本研究中，對(duì)比了在不同條件下3種控制方法的均方根誤差(RMSE)和絕對(duì)值平均誤差(MAE)的結(jié)果，如表1、2所示?？刂品椒ǚ謩e為靜態(tài)的Maxwell-slip模型，比例、積分、微分(PID)控制法和Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制法，并與控制前的控制誤差進(jìn)行對(duì)比。

表1 不同控制方法的RMSE結(jié)果

表2 不同控制方法的MAE結(jié)果

根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果所示，靜態(tài)Maxwell-slip模型僅在1 Hz辨識(shí)的靜態(tài)權(quán)值下有一定的控制效果，當(dāng)遠(yuǎn)離此頻率，補(bǔ)償控制效果不理想。PID控制在低頻率(0.1 Hz、1 Hz)下有良好的控制效果，其中0.1 Hz頻率下的RMSE降低到0.013 1 μm，隨著頻率的增大，跟蹤控制誤差也隨之增大，RMSE的最大值達(dá)到0.368 3 μm。而對(duì)于Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制，在0.1～20 Hz寬頻帶下都具有良好的補(bǔ)償控制效果，RMSE均未超過(guò)0.1 μm，說(shuō)明Maxwell-slip模型引入自適應(yīng)控制對(duì)壓電陶瓷遲滯非線性在寬頻帶下有良好補(bǔ)償控制效果。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文采用一種改進(jìn)的Maxwell-slip模型并引入自適應(yīng)控制，對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器的遲滯特性進(jìn)行前饋逆補(bǔ)償。在不同頻率及不同控制方法情況下，對(duì)壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器線性度進(jìn)行測(cè)試。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于靜態(tài)Maxwell-slip模型(經(jīng)典模型)、PID控制和Maxwell-slip模型自適應(yīng)控制在0.1 Hz下的控制效果接近。通過(guò)自適應(yīng)控制的Maxwell-slip模型在20 Hz條件下控制效果更好，其均方根誤差為0.082 μm，而其他兩種控制的均方根誤差分別為0.340 2 μm和0.368 3 μm，與經(jīng)典模型相比，提高了壓電陶瓷的控制精度和范圍。有利于提高系統(tǒng)在寬頻帶下遲滯補(bǔ)償效果，對(duì)于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器在精密定位領(lǐng)域的研究有重要意義。