郭正碩，徐舒敏，吳錦州，華 勝

（1.南京郵電大學(xué) 物聯(lián)網(wǎng)學(xué)院，江蘇 南京 210000；2.南京郵電大學(xué) 計(jì)算機(jī)軟件學(xué)院，江蘇 南京 210000；3.南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210000）

當(dāng)前，室內(nèi)定位的實(shí)現(xiàn)方案很多，基于無線局域網(wǎng)（Wireless Local Area Networks，WLAN）的定位方法主要有三角形算法和位置指紋識別。三角形算法利用最少3個(gè)已知無線接入點(diǎn)（Access Point，AP）之間的距離信息估計(jì)目的坐標(biāo)，其中，距離是通過測量來自AP的接收信號強(qiáng)度（Received Signal Strength，RSS）進(jìn)行估計(jì)，而基于三角形算法的WLAN定位在不同環(huán)境下的傳輸損耗大不同，所以也很難建離精準(zhǔn)、合適的損耗模型[1-2]。因此，基于三角形算法的定位方法在實(shí)施過程中困難重重。

WLAN具有高精度、低成本、可移動(dòng)的優(yōu)點(diǎn)，本項(xiàng)目基于機(jī)器學(xué)習(xí)算法，使用Matlab軟件，應(yīng)用Hankel矩陣和自適應(yīng)卡爾曼濾波技術(shù)，將噪聲信號在指紋數(shù)據(jù)庫中進(jìn)行過濾，實(shí)現(xiàn)離線和在線的室內(nèi)定位。離線階段和在線階段共同處理，既能在指紋數(shù)據(jù)庫上更好地降噪，又能提高算法的定位精度。實(shí)現(xiàn)方案經(jīng)過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，具有精度上的可靠性。

離線階段的主要任務(wù)是構(gòu)建一個(gè)指紋識別數(shù)據(jù)庫，本文構(gòu)建指紋數(shù)據(jù)庫的Hankel矩陣，利用信號空間和噪聲空間奇異值不同的特點(diǎn)，可以有效去除部分噪聲，重構(gòu)成較為精確的指紋數(shù)據(jù)庫，以供在線階段比對。

與傳統(tǒng)矩陣恢復(fù)算法相比，本文所提出的基于Hankel矩陣的方法在計(jì)算復(fù)雜度和降噪性能方面具有優(yōu)勢。Hankel矩陣在從左到右的每個(gè)上升斜交對角線中具有相等的元素，可以通過適當(dāng)?shù)钠娈愔甸撝?，僅通過一個(gè)奇異值分解，就將信號空間與噪聲空間分開。基于奇異值的分解降噪是一種分析非線性、非平穩(wěn)信號的有效方法，由于Hankel矩陣結(jié)構(gòu)具有特殊性，可以有效地將噪聲與需要的信號分離、提高信噪比，并且能保留與噪聲信號的頻譜相混疊的系統(tǒng)信號。

在線階段，用戶終端測量來自所有AP的RSS，并將其與指紋數(shù)據(jù)庫中信號強(qiáng)度空間的RSS進(jìn)行比對，用合適的指紋匹配算法計(jì)算用戶的位置。廣泛使用的指紋匹配算法是WKNN算法，但傳統(tǒng)的WKNN算法存在一定的局限性，會影響定位精度，需要進(jìn)行改進(jìn)。

Luo等[3]指出RSSI概率分布呈現(xiàn)一定的高斯分布特性，朱雪梅等[4]在其基礎(chǔ)上提出了一種基于RSSI分布重疊相似度的WKNN室內(nèi)定位方法，即利用RSSI高斯概率分布重疊相似度與距離之間的關(guān)系，設(shè)定相似度閾值選取k個(gè)近鄰指紋點(diǎn)作為取樣點(diǎn)，以此獲取定位結(jié)果，解決傳統(tǒng)最大相似度法可能帶來的較大誤差和定位時(shí)間較長等問題。但實(shí)際上，參考點(diǎn)上信號強(qiáng)度分布并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的高斯分布，還受到各種干擾的影響，因此，需要考慮各AP信號強(qiáng)度之間的關(guān)系。陳淼[5]認(rèn)為，AP信號強(qiáng)度大小主要受到AP信號發(fā)射穩(wěn)定性帶來的影響。在此基礎(chǔ)上，本文基于方差進(jìn)行改進(jìn)算法，降低AP信號發(fā)射穩(wěn)定性帶來的干擾，進(jìn)一步提高定位的精度。

本文在指紋數(shù)據(jù)庫構(gòu)建階段，基于Hankel矩陣的特性、真實(shí)信號空間和噪聲空間奇異值不同，通過特征均值法設(shè)置閾值，對離線階段的指紋數(shù)據(jù)庫進(jìn)行降噪處理，提高了離線階段指紋數(shù)據(jù)庫的精確度。同時(shí)，提出了一種提高定位精度的方法，主要分為兩步：第一步，利用自適應(yīng)濾波方法，降低定位系統(tǒng)外部環(huán)境變化帶來的干擾。第二步，對自適應(yīng)濾波過濾后的指紋數(shù)據(jù)庫使用基于方差改進(jìn)的WKNN算法，降低定位系統(tǒng)內(nèi)部AP發(fā)射功率穩(wěn)定性帶來的影響。利用各取樣點(diǎn)在不同的AP下測得的方差設(shè)置權(quán)值，為不同的RP坐標(biāo)分配權(quán)重，有效地降低了AP波動(dòng)帶來的干擾，提高了現(xiàn)有WKNN算法的定位精度。

1 離線階段指紋數(shù)據(jù)庫的構(gòu)建

1.1 Hankel矩陣奇異值分解原理

假設(shè)存在矩陣M為m×n階，其中的元素均屬于R或者C。則存在一個(gè)分解使：

其中，U是m×m階幺正矩陣，∑是半正定m×n階對角矩陣；而V*是V的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，是n×n階酉矩陣。此分解法稱為矩陣的奇異值分解。對Hankel矩陣H進(jìn)行奇異值分解得到：

式中，Um×m和Vn×n為正交矩陣，∑m×n為非對角矩陣，為矩陣H的奇異值。保留前K個(gè)奇異值而剩余則置零，再利用奇異值分解的逆過程得到重構(gòu)矩陣H_s，將H_s依據(jù)空間重構(gòu)的方法得到降噪后的信號。

本文假設(shè)信號與噪聲空間互不相干、奇異值不相同、信號空間較為集中，而噪聲空間相對而言較為分散，根據(jù)這些特點(diǎn)設(shè)置合適的閾值，將信號與噪聲分離。

1.2 離線階段指紋數(shù)據(jù)庫處理

1.2.1 含噪指紋數(shù)據(jù)庫到Hankel矩陣處理原理

假定含噪指紋數(shù)據(jù)庫包含位置空間和信號強(qiáng)度空間的映射關(guān)系，其中，位置空間由所有參考點(diǎn)（RP）的位置構(gòu)成，信號強(qiáng)度空間由RP從AP測得的一系列接收信號強(qiáng)度（RSS）值構(gòu)成，每個(gè)RP的位置對應(yīng)一組來自所有AP的RSS值。

將所有參考點(diǎn)來自同一AP的RSS向量構(gòu)成Hankel矩陣H。為了實(shí)現(xiàn)信號和噪聲的充分分離，構(gòu)造的Hankel矩陣行數(shù)m和列數(shù)n的乘積應(yīng)盡可能地最大。滿足行數(shù)m和列數(shù)n的最大乘積主要取決于信號個(gè)數(shù)的奇偶性，所以，根據(jù)N的奇偶性和不等式原理來確定矩陣行數(shù)m。劉佳音等[6]研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，m＝（N＋1）/2；當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，m＝N/2，式中，N為信號個(gè)數(shù)，n由等式n＝N＋1－m來確定。

從含噪聲指紋庫中提取第i（1≤i≤N）個(gè)RP對應(yīng)的來自各個(gè)AP的RSS值組成的信號矢量Xi，將Xi構(gòu)造成Hankel矩陣Hi。

一個(gè)Hankel矩陣H可以表示為由一個(gè)信號空間Hs和一個(gè)噪聲空間Hn構(gòu)成：

1.2.2 Hankel矩陣降噪原理

基于奇異值分解的信號降噪方法基本思路：根據(jù)真實(shí)信號和噪聲的不同特征，將含噪的測量信號構(gòu)成的Hankel矩陣分解成真實(shí)信號空間與噪聲空間，利用不同的奇異值選擇方法對兩個(gè)空間的奇異值矩陣處理后重構(gòu)信號，即可有效抑制測量信號中的噪聲。

對Hankel矩陣H進(jìn)行奇異值分解，得到對應(yīng)關(guān)系為：

式中，U和V為正交矩陣，而∑為非對角矩陣[6]。此方法的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇矩陣H的奇異值，將信空間Hs和噪聲空間Hn分開。設(shè)Hs的秩為rs，Hn的秩為rn。

假設(shè)理想信號s（k）和噪聲n（k）不相關(guān)，并且信號空間Hs的最小非零奇異值σsrs大于噪聲空間Hn的最大奇異值σn1，則可以得到以下結(jié)果：

其中，H=Hs+Hn。以外積的形式重公式（6）：

可以得到：r＝rs＋rn。

比較式（6）和式（7）可以看出，從∑中選擇恰當(dāng)?shù)钠娈愔担憧梢詫⒃肼晱男盘柨臻g中分離。假設(shè)選擇前l(fā)（=rs）個(gè)奇異值作為估計(jì)的理想信號空間，那么H可以被分成估計(jì)的理想信號空間，和估計(jì)的噪聲空間，形式如下：

確定奇異值選擇方法，進(jìn)而選擇奇異值個(gè)數(shù)，然后對奇異值矩陣∑進(jìn)行處理，∑'為處理后的矩陣；利用U，V和∑'構(gòu)造新的矩陣

奇異值閾值的選擇在降噪過程中起到了決定性的作用，本文選用特征均值方法，在含噪的Hankel矩陣奇異值分解后，設(shè)得到的奇異值為σi，是方陣AAT的特征值λi的平方根，即：

將小于全體特征值均值的特征值置零，可以實(shí)現(xiàn)奇異值個(gè)數(shù)的準(zhǔn)確判斷；然后重構(gòu)矩陣，實(shí)現(xiàn)信號的降噪。

1.2.3 Hankel矩陣恢復(fù)原理

根據(jù)Hankel矩陣的特性，降噪得到的理想信號空間同樣是Hankel矩陣，因此，可以很方便地將對應(yīng)AP的指紋數(shù)據(jù)庫恢復(fù)[8]。

抽取中每一條副對角線的平均值s來重建所需要的信號序列s（k），s（k）可以表示如下，n為矩陣的列數(shù)：

對所有AP的信號向量，可以得到所估計(jì)的信號向量（i=1，2，...，M，M為矩陣行數(shù)），最后，將所有的按照順序排列，即可得到降噪后的指紋數(shù)據(jù)庫：

通過對每個(gè)Hankel矩陣中副對角線上的元素取平均值來減小誤差，完成了利用Hankel矩陣奇異值分解來對指紋數(shù)據(jù)庫進(jìn)行的降噪處理。

2 Sage-husa AKF的應(yīng)用

2.1 自適應(yīng)濾波技術(shù)

在本項(xiàng)目中，室內(nèi)是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的系統(tǒng)。為了將新指紋數(shù)據(jù)庫與在線RSS進(jìn)行比對，在收集信號時(shí)對于RSS信號的噪聲過濾尤為重要。

由于在大多數(shù)實(shí)際系統(tǒng)中，系統(tǒng)過程噪聲方差矩陣Q和量測誤差方差陣R無法預(yù)知，量測矩陣H和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣也難以確立。如果建立的模型與實(shí)際模型有出入，則會引起濾波發(fā)散。自適應(yīng)濾波方法可以有效解決濾波發(fā)散，使用量測值對預(yù)測值進(jìn)行修正，也對不確定系統(tǒng)模型中的參數(shù)和噪聲統(tǒng)計(jì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)修正。在線算法中AKF的使用如圖1所示。

圖1 在線算法中AKF的使用

自適應(yīng)濾波是一種最佳濾波算法，在維納濾波、普通卡爾曼濾波的基礎(chǔ)上發(fā)展出了更強(qiáng)的適應(yīng)性和更好的濾波效果，在實(shí)際應(yīng)用中，尤其是在信息處理方面，得到了較好的發(fā)展[9]。

2.2 自適應(yīng)卡爾曼濾波

關(guān)于自適應(yīng)卡爾曼濾波，目前，使用較多的一種方法是Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法。該濾波方法在使用量測數(shù)據(jù)進(jìn)行遞推時(shí)，通過時(shí)變噪聲估計(jì)估值器，實(shí)時(shí)估計(jì)和修正系統(tǒng)噪聲和量測噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，從而修正系統(tǒng)模型誤差，并且在一定程度上抑制濾波發(fā)散現(xiàn)象。現(xiàn)假設(shè)線性離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為：

其中，Xk為系統(tǒng)狀態(tài)向量，Φk|k－1為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，Γ為系統(tǒng)噪聲矩陣，Wk為系統(tǒng)噪聲向量，Zk為系統(tǒng)觀測向量，Vk為量測噪聲向量。

基于數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)的sage-husa自適應(yīng)濾波算法如下：

其中，式（13—14）對應(yīng)預(yù)測部分，對狀態(tài)量X和伴隨協(xié)方差P進(jìn)行預(yù)測，得到X'和P'。

式（15）為自適應(yīng)卡爾曼濾波引入的一個(gè)超參數(shù)，調(diào)節(jié)更新參量dk，b被稱為遺忘因子，取值在0.95～0.99之間。式（16—19）對應(yīng)更新部分的增益系數(shù)K求導(dǎo)部分，主要區(qū)別在于觀測誤差R基于dk幀數(shù)k變化，Rk→Rk－1，即觀測誤差R趨向穩(wěn)定。

式（20—21）對應(yīng)更新部分的狀態(tài)量更新部分需要注意的是，如果系統(tǒng)狀態(tài)變量的維數(shù)比較高，而Sage-Husa AKF中又增加了對系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計(jì)特性的計(jì)算，計(jì)算量將大大增加，實(shí)時(shí)性也將難以得到保證。對于階次較高的系Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法中Rk和Qk的在線估計(jì)，有時(shí)會由于計(jì)算發(fā)散失去半正定性和正定性而出現(xiàn)濾波發(fā)散現(xiàn)象，此時(shí)，Sage-Husa自適應(yīng)濾波算法的穩(wěn)定性和收斂性不能完全保證。

3 基于方差改進(jìn)的WKNN算法

3.1 基于歐式距離的WKNN算法的局限

在使用歐氏距離進(jìn)行相似性計(jì)算時(shí)，RSS信號的強(qiáng)度反映了物理距離的遠(yuǎn)近，理想情況下為物理位置越接近的點(diǎn)，RSS之間的差值就越小。由于室內(nèi)是一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的系統(tǒng)，采樣點(diǎn)上采集到的RSS會有一定程度的波動(dòng)，而對發(fā)射信號功率穩(wěn)定性差的AP，波動(dòng)尤為明顯。在實(shí)際情況中，信號強(qiáng)度的差值不一定完全由物理位置的遠(yuǎn)近造成，也可能由AP自身的波動(dòng)造成，使得歐氏距離為近鄰算法的權(quán)重時(shí)并不能真實(shí)反映實(shí)際的物理距離。因而需要對在基于歐式距離的近鄰算法進(jìn)行改進(jìn)[10]。

3.2 改進(jìn)WKNN算法

與傳統(tǒng)的WKNN算法相比，改進(jìn)的WKNN算法在離線階段對多次測得的信號強(qiáng)度取方差，方差反映樣體數(shù)據(jù)分布的離散程度，方差大的采樣點(diǎn)，RSS的波動(dòng)越大，樣本集中的樣本點(diǎn)與均值差異較大的可能性也越高；方差小的采樣點(diǎn)，RSS的分布越集中，任意時(shí)刻的信號強(qiáng)度都不會脫離均值太遠(yuǎn)。將方差的倒數(shù)作為系數(shù)加人到距離的計(jì)算中，降低方差大AP的接收信號強(qiáng)度在距離計(jì)算時(shí)所占的權(quán)重，使用加權(quán)歐氏距離進(jìn)行相似性計(jì)算時(shí)，能在一定程度上消除部分RSS波動(dòng)帶來的影響，提高最終的定位精度。

3.2.1 方差特征的提取

在離線階段建立指紋庫時(shí)，為了使指紋庫中每個(gè)采樣點(diǎn)的特征更為真實(shí)地反映對應(yīng)物理位置的RSS特征，會在每個(gè)采樣點(diǎn)上進(jìn)行多次的樣本采集。每個(gè)采樣點(diǎn)接收到每個(gè)AP的信號強(qiáng)度都是一個(gè)樣本集，包含在該點(diǎn)多次采集的信號強(qiáng)度。如采樣點(diǎn)j接收到第t個(gè)AP的信號強(qiáng)度信息集為：

其中，Z為每個(gè)采樣點(diǎn)的樣體量。指紋庫中任意采樣點(diǎn)j的RSS向量為：

其中，N為AP的個(gè)數(shù)。由此，得到接收信號強(qiáng)度rssj和接收信號方差σ j的向量：

3.2.2 加權(quán)距離的計(jì)算

加權(quán)歐氏距離是針對簡單歐氏距離缺點(diǎn)的一種改進(jìn)方案，相當(dāng)于為n維向量的不同維度賦予了不同權(quán)重，權(quán)重與該采樣點(diǎn)RSS的方差相關(guān)，使用加權(quán)距離計(jì)算待定位點(diǎn)i與采樣點(diǎn)j的距離dij：

4 仿真結(jié)果

本團(tuán)隊(duì)模擬了一間30×30 m的房間，在房間的4個(gè)頂角模擬4個(gè)AP，并選取957個(gè)RP，相鄰RP之間的距離為1 m。使用的室內(nèi)信道傳播模型和RP測得的RSS值分別表示如下：

其中，lossij表示第i個(gè)AP到第j個(gè)RP的功率損耗，disij表示第i個(gè)AP與第j個(gè)RP之間的距離，i=1,…,4，j=1,…,957。PL(d0)是在參考點(diǎn)d0處的功率損耗，本文中d0為2 m。Gr和Gr分別是發(fā)送天線增益和接收天線增益，Gt＝Gr＝1。是自由空間，c是光速，f是載波頻率，f＝2.4×109Hz。n是信道衰減因子，其范圍在2～5之間，n＝2。rssij表示在第j個(gè)RP測得的第i個(gè)AP的RSS值，PAP表示AP發(fā)射功率，如無特別說明，PAP＝30 dBm，noise是均值為0、方差為0.1的高斯白噪聲。

在離線階段，基于式（28—29）在所有RP處多次模擬接收來自所有AP的RSS值，對模擬結(jié)果取平均值，構(gòu)建指紋數(shù)據(jù)庫，供在線階段使用。在在線階段，測試點(diǎn)測得的RSS值由同樣的模型模擬產(chǎn)生。

本團(tuán)隊(duì)使用兩種方法來評估定位精度：

（1）使用測試點(diǎn)的位置估計(jì)與其實(shí)際位置之間距離的均方根誤差（RMSE，單位：m）來評估：

（2）使用定位誤差的概率分布來評估。

在仿真的離線階段，根據(jù)模擬的初始指紋數(shù)據(jù)庫構(gòu)建Hankel矩陣，通過僅一個(gè)奇異值分解，就可以設(shè)置適當(dāng)?shù)钠娈愔甸撝?，將信號空間與噪聲空間區(qū)分開，以此過濾掉部分噪聲。利用不同的奇異值選擇方法對兩個(gè)空間的奇異值矩陣處理后，重構(gòu)信號組成指紋數(shù)據(jù)庫。

降噪后，將降噪前后的RSS值進(jìn)行對比。通過離線階段的信號空間分解，可以為在線階段信號位置的比對提供更加精準(zhǔn)的信號定位點(diǎn)，受噪聲的干擾較小，相比較只在在線階段進(jìn)行過濾降噪的方法有了更進(jìn)一步的突破。

標(biāo)準(zhǔn)KF算法、Sage-Husa AKF算法的降噪效果對比如圖2所示，其中，橫坐標(biāo)為算法的迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)是每一次迭代運(yùn)算之后獲得的降噪后的RSS數(shù)值。

可以看出，標(biāo)準(zhǔn)KF算法的迭代過程不收斂，偏差原RSS測量值較大。本文Sage-Husa AKF算法相較于標(biāo)準(zhǔn)KF算法更加接近RSS測量值，但在某些時(shí)刻的迭代過程中，RSS波動(dòng)較大，會偏離RSS測量值，也驗(yàn)證了其缺點(diǎn)所在。標(biāo)準(zhǔn)KF算法過于簡單，在降噪的過程中無法適應(yīng)信號和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，Sage-Husa AKF算法在標(biāo)準(zhǔn)KF算法的基礎(chǔ)上加入遺忘因子b以及噪聲協(xié)方差估計(jì)，利用前一時(shí)刻的降噪輸出結(jié)果，調(diào)節(jié)現(xiàn)時(shí)刻濾波參數(shù)，相較于標(biāo)準(zhǔn)KF算法能更好地適應(yīng)信號與噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。不降噪時(shí)與Sage-Husa AKF算法降噪定位性能RMSE的對比結(jié)果如表1所示。

表1 降噪方法使用效果

圖2 標(biāo)準(zhǔn)KF算法與Sage-Husa AKF算法

為了驗(yàn)證改進(jìn)WKNN算法對定位效果的提高作用，對所有測試點(diǎn)的定位誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，定位誤差累積分布函數(shù)如圖3所示。累積分布函數(shù)能描述變量的概率分布情況，表示變量小于或等于某個(gè)數(shù)指的概率，定位誤差累積分布曲線上的點(diǎn)表示定位誤差小于x的概率。

圖3 一般WKNN與改進(jìn)WKNN定位效果對比

可以看出，基于加權(quán)距離的改進(jìn)WKNN算法的定位效果優(yōu)于一般的WKNN算法。

仿真時(shí)采樣點(diǎn)單次測量的信號強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)置為在一個(gè)略大范圍內(nèi)隨機(jī)提取，由此模擬AP信號不穩(wěn)定的情況。從仿真結(jié)果的分布上看，改進(jìn)的WKNN算法的誤差集中在1～2.5 m的區(qū)間，幾乎沒有3 m以上的誤差，相較于對同一仿真數(shù)據(jù)所使用的一般WKNN算法，本論文提出的改進(jìn)WKNN算法有較為明顯的提升。由此可以得出，當(dāng)使用的AP信號較不穩(wěn)定時(shí)，基于加權(quán)距離的改進(jìn)WKNN算法的定位效果優(yōu)于一般的WKNN算法。

5 結(jié)語

由于在室內(nèi)環(huán)境中受到的環(huán)境影響因素較復(fù)雜，在建立指紋書庫過程中難以避免地會引入許多噪聲信號。本文在研究室內(nèi)定位技術(shù)的過程中，提出了基于Hankel矩陣的降噪方法，關(guān)鍵部分是分為離線階段和在線階段，通過兩部分不同的功能來進(jìn)行去噪。在離線階段，主要任務(wù)是利用Hankel矩陣構(gòu)建一個(gè)指紋識別數(shù)據(jù)庫，是指紋識別方法的基礎(chǔ)，因?yàn)楸Ａ袅诵盘柨臻g和位置空間之間的映射。在在線階段，用戶終端感測RSS，并進(jìn)一步將其與指紋數(shù)據(jù)庫的信號空間匹配，以估計(jì)用戶位置。在線階段使用sage-husa AKF進(jìn)行濾波后，使用改進(jìn)WKNN算法提高定位精度。