張子鑫，胡國(guó)平，周 豪

(空軍工程大學(xué)，陜西 西安 710051)

0 引言

眾所周知，DOA估計(jì)在雷達(dá)、通信等領(lǐng)域中起著非常重要的作用。傳統(tǒng)的DOA估計(jì)算法主要有基于特征分解的多重信號(hào)分類(multiple signal classification, MUSIC)算法[1]和子空間旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)參數(shù)(estimating signal parameter via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法[2]等。隨著2006年Candes、Romberg等人提出壓縮感知理論[3-6]，突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理。壓縮感知理論只需要少量的觀測(cè)數(shù)據(jù)，同時(shí)利用信號(hào)在空域中的稀疏性，就能夠有效進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，并且在相干信源的情況下，相比于傳統(tǒng)DOA估計(jì)算法有著更好的性能。

但是傳統(tǒng)的壓縮感知DOA估計(jì)算法仍存在缺陷。即傳統(tǒng)的壓縮感知DOA估計(jì)算法利用了信號(hào)在空域中的稀疏性，需要將整個(gè)空域按照某種規(guī)則進(jìn)行空間網(wǎng)格劃分，將信號(hào)用所劃分的網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行表示。而在實(shí)際的DOA估計(jì)中，信號(hào)在空域中是連續(xù)的，信號(hào)很可能不會(huì)恰好落在網(wǎng)格點(diǎn)內(nèi)，而是落在兩個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)之間，這樣就產(chǎn)生了網(wǎng)格失配的問(wèn)題，稱為基失配(basis mismatch)。在這種情況下很容易能想到通過(guò)增大空間網(wǎng)格劃分的密度來(lái)解決，但是會(huì)導(dǎo)致基字典不滿足等距約束(restricted isometry property，RIP)準(zhǔn)則，導(dǎo)致信號(hào)重構(gòu)的性能下降[7]。

對(duì)于此問(wèn)題，有學(xué)者提出了基于偏離格點(diǎn)(off-grid)的DOA估計(jì)算法以及網(wǎng)格精煉的自適應(yīng)網(wǎng)格算法，貝葉斯壓縮感知也在這一領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。但是這些算法仍然是將空間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在提高測(cè)量精度的同時(shí)計(jì)算量也大大增加。對(duì)此，有學(xué)者提出了無(wú)網(wǎng)格(gird-less)DOA估計(jì)算法，此類算法能夠利用測(cè)量值的原子范數(shù)的稀疏性來(lái)實(shí)現(xiàn)，利用原子范數(shù)來(lái)刻畫信號(hào)特征，即通過(guò)在連續(xù)的空間中尋找最少的原子來(lái)表示信號(hào)，不需要對(duì)空域進(jìn)行網(wǎng)格劃分[8]，能夠在連續(xù)域中實(shí)現(xiàn)稀疏重構(gòu)，因此不會(huì)出現(xiàn)基失配的現(xiàn)象。原子范數(shù)是由用于稀疏矢量估計(jì)的l1范數(shù)和用于低秩矩陣恢復(fù)的核范數(shù)推廣而得到。原子范數(shù)的求解依賴于半定規(guī)劃問(wèn)題[9-11]，即一個(gè)非光滑的凸優(yōu)化問(wèn)題，這使得原子范數(shù)可以有效求解。因此，無(wú)網(wǎng)格DOA估計(jì)可以通過(guò)求解秩最小化問(wèn)題的凸優(yōu)化進(jìn)而得到一個(gè)半定規(guī)劃問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)。但一般來(lái)說(shuō)，凸優(yōu)化問(wèn)題存在復(fù)雜度高、收斂速度慢等問(wèn)題。對(duì)此，文獻(xiàn)[12]提出了一種可以直接求解半定規(guī)劃問(wèn)題的APG算法。該算法利用交錯(cuò)投影的方法將秩最小化問(wèn)題中的矩陣迭代投影到對(duì)應(yīng)集合當(dāng)中來(lái)直接求解半定規(guī)劃問(wèn)題。但是APG算法直接求解的是秩最小化問(wèn)題中的半正定矩陣，而不是DOA估計(jì)所需要Toeplitz矩陣，以至于算法存在收斂速度較慢的問(wèn)題。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出了基于交錯(cuò)投影的無(wú)網(wǎng)格降維DOA估計(jì)算法。

1 基于無(wú)網(wǎng)格DOA估計(jì)問(wèn)題求解

1.1 信號(hào)模型

假設(shè)有陣元數(shù)為M的均勻線陣，陣元間距為d，空域中有K個(gè)目標(biāo)，它們的角度分別為θk,k=1,…,k，那么接收信號(hào)Y為：

Y=AX+N

(1)

1.2 無(wú)網(wǎng)格DOA估計(jì)

無(wú)網(wǎng)格DOA估計(jì)是通過(guò)利用一組測(cè)量值的原子范數(shù)中的稀疏性來(lái)實(shí)現(xiàn)的。原子范數(shù)最小化(atomic norm minimization, ANM)[13-15]已被廣泛應(yīng)用于各種各樣的估計(jì)問(wèn)題，包括DOA估計(jì)[16-17]，而且在單個(gè)或多個(gè)快拍數(shù)的情況下都適用[18]。基于原子范數(shù)最小化的無(wú)網(wǎng)格DOA估計(jì)使用以連續(xù)變量t為特征的導(dǎo)向矢量a(t)作為原子集合：

α={A(t,b)=a(t)bH:t∈[-1,1),‖b‖2=1}

(2)

式(2)中，原子集合定義為所有約束范數(shù)的秩為1的矩陣的集合。該集合由一個(gè)導(dǎo)向矢量和任意測(cè)量值組成。因此，無(wú)噪聲測(cè)量值Y的原子集合可以表示為：

(3)

若測(cè)量值中不含噪聲，可以精確分解；若包含噪聲，可以近似分解。文獻(xiàn)[17]中解決了無(wú)網(wǎng)格DOA估計(jì)的原始非凸l0范數(shù)最小化公式，定義為式(4)：

(4)

對(duì)于式(4)的求解可以轉(zhuǎn)化為秩最小化問(wèn)題來(lái)解決，即：

min rank(Toep(u))
s.t.S≥0

(5)

其中，

(6)

式(6)中，Z為自由變量且是一個(gè)共軛對(duì)稱矩陣。Toep(u)是一個(gè)秩為K(K

Toep(u)=VDVH

(7)

1.3 APG算法

交替投影是一種求兩個(gè)或多個(gè)凸集合交點(diǎn)的基本算法。當(dāng)所求的每個(gè)集合都是封閉的且是凸集時(shí)，用APG算法能夠收斂到一個(gè)解。文獻(xiàn)[12]在介紹APG算法之前，首先提出了幾個(gè)重要的集合及矩陣在集合上的投影。

1) 秩約束集R，定義為：

R={A∈CN×N:rank(A)≤K,K≤N}

(8)

矩陣在集合R上的投影運(yùn)算為：

(9)

式(9)中，σk,[k=1,…,K]表示最大的前K個(gè)奇異值，uk和vk分別為左奇異矩陣和右奇異矩陣。

2) Hermitian Toeplitz矩陣集合H，矩陣在H上的投影是沿對(duì)角線元素的平均值參數(shù)化的Toeplitz矩陣：

(10)

式(10)中，Ai,j和ui分別表示A和u中的元素。

3) 半正定集合P，定義為：

P={A∈CN×N:λi≥0,?i}

(11)

式(11)中，λi是矩陣A的第i大的特征值。矩陣在集合R上的投影運(yùn)算為：

(12)

式(12)中，ei矩陣A第i大的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

4) 給定列空間的矩陣集合M。該集合是由給定K維列空間的N×M維復(fù)合矩陣組成。對(duì)于任何矩陣B∈M和A∈CM×P，P≥K，矩陣A在集合M上的投影運(yùn)算為：

PM(A)=BB?A

(13)

式(13)中，B?為矩陣B的摩爾-彭若斯廣義逆矩陣。

無(wú)網(wǎng)格DOA估計(jì)問(wèn)題就是式(5)中對(duì)秩為K的Toeplitz矩陣的求解。因?yàn)橐粋€(gè)半正定矩陣的所有子陣也是半正定矩陣且為對(duì)稱矩陣，所以可得S,T(u),Z∈P,M。此外，還能夠知道：

rank(T(u))=rank(ADAH)=rank(A)=K

(14)

因此，可以將式(5)、式(6)中的矩陣進(jìn)行歸類，具體歸類如下：

T(u)∈R,H,P
Z,S∈P

(15)

APG算法就是通過(guò)交錯(cuò)投影的方法將每一個(gè)矩陣迭代投影到相應(yīng)的集合中來(lái)直接求解式(5)，具體步驟如下：

步驟1 已知觀測(cè)值Y∈CM×L，目標(biāo)個(gè)數(shù)K個(gè)，判定收斂的界限ε。隨機(jī)設(shè)定初始值：

T0(u)∈CM×M,Z0∈CL×L

步驟5 對(duì)所求得的T(u)進(jìn)行范德蒙分解T(u)=VDVH，求解角度。

在上述算法中并沒(méi)有考慮噪聲，文獻(xiàn)[12]指出加入噪聲后，最終投影到集合R，H中的T(u)仍然是Toeplitz矩陣，能夠完成對(duì)半正定矩陣S的構(gòu)造，能夠?qū)崿F(xiàn)DOA估計(jì)。

2 降維處理的APG算法

文獻(xiàn)[12]認(rèn)為，因?yàn)榫仃嘥(u)和矩陣Z是矩陣S的子矩陣，所以不需要將T(u)和Z投影到集合E中，只需要將S投影到集合E即可，求解出S后即可得到T(u)，再對(duì)T(u)進(jìn)行范德蒙分解，進(jìn)而求解角度。本文對(duì)APG算法進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)矩陣在集合H，P和M之間的交替迭代投影來(lái)解決式(5)中的半定規(guī)劃問(wèn)題，直接求解T(u)而不是S，將問(wèn)題的維數(shù)減少，降低所求矩陣維度，進(jìn)而降低計(jì)算量。

在不考慮噪聲的情況下，將式(1)、式(14)代入式(5)可得：

(16)

由式(16)可得，A，Y，T(u)具有相同的列空間。由范德蒙分解的唯一性可知，任何具有與A相同列空間的Toeplitz矩陣都可以分解為A和一個(gè)對(duì)角矩陣D的組合。因此T(u)的最優(yōu)解屬于集合M并且與測(cè)量值Y的信號(hào)子空間有相同的列空間?？梢酝ㄟ^(guò)T(u)可以在集合H，P，M中交替迭代投影得到，不需要再求解半正定矩陣S，進(jìn)而降低所求矩陣的維度，減少了計(jì)算量。算法具體步驟如下：

步驟1 已知雷達(dá)觀測(cè)值Y∈CM×L，目標(biāo)個(gè)數(shù)K個(gè)，判定收斂的界限ε。設(shè)定隨機(jī)初始值T0(u)∈CM×M。

步驟2 根據(jù)測(cè)量值的協(xié)方差矩陣求出信號(hào)子空間ES：

其中，ΛS和ES為前K個(gè)大的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；ΛN和EN剩余M-K個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。

步驟3 將T(u)在集合M，P，H中依次迭代投影：

步驟5 對(duì)所求得的T(u)進(jìn)行范德蒙分解T(u)=VDVH，求解角度。

3 仿真驗(yàn)證

在仿真實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置雷達(dá)為陣元數(shù)為M的均勻線陣，陣元間距為發(fā)射信號(hào)波長(zhǎng)的0.5倍，空域中目標(biāo)個(gè)數(shù)為K=3，判定收斂的界限ε=0.001。進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真，通過(guò)實(shí)驗(yàn)將本文算法與APG算法的標(biāo)準(zhǔn)差、均方根誤差和時(shí)間進(jìn)行了比較。

實(shí)驗(yàn)中將三個(gè)目標(biāo)估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)差累加比較，定義為：

(17)

定義均方根誤差(RMSE)為：

(18)

圖1為兩種算法在快拍數(shù)為L(zhǎng)=30，陣元數(shù)為M=20，不同SNR條件下標(biāo)準(zhǔn)差、均方根誤差和時(shí)間的比較。

由圖1可知，隨著信噪比的增大，兩種算法的標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差都逐漸減小，算法精度逐步提高；所用時(shí)間逐漸減少，計(jì)算量減少。在相同信噪比條件下，本文算法的標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差與APG算法相近，估計(jì)精度相近，但本文算法的所用時(shí)間明顯小于APG算法，實(shí)時(shí)性更好，性能更優(yōu)。

圖1 不同信噪比時(shí)兩種算法的均標(biāo)準(zhǔn)差、方根誤差和時(shí)間Fig.1 Mean standard deviation, square root error and time of the two algorithms under different SNR

圖2為兩種算法在信噪比為30 dB，陣元數(shù)為M=20，不同快拍數(shù)條件下標(biāo)準(zhǔn)差、均方根誤差和所用時(shí)間的比較。由圖可知，隨著快拍數(shù)的增多，兩種算法的標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差都逐漸減小，算法精度逐步提高；所用時(shí)間逐漸增多，計(jì)算量增大。在相同快拍數(shù)條件下，本文算法的標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差與APG算法相近，估計(jì)精度相近，但本文算法比APG算法的所用時(shí)間更少，實(shí)時(shí)性更好，性能更優(yōu)。

圖2 不同快拍數(shù)時(shí)兩種算法的標(biāo)準(zhǔn)差、均方根誤差和時(shí)間Fig.2 Standard deviation, root mean square error and time of the two algorithms under different snapshots

圖3為兩種算法在信噪比為30 dB，快拍數(shù)為L(zhǎng)=30，不同陣元數(shù)條件下標(biāo)準(zhǔn)差、均方根誤差和所用時(shí)間的比較。由圖可知，隨著陣元數(shù)的增多，兩種算法的標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差都逐漸減小，算法精度逐步提高；所用時(shí)間逐漸增多，計(jì)算量增大。在相同陣元數(shù)的條件下，本文算法的標(biāo)準(zhǔn)差和均方根誤差與APG算法相近，估計(jì)精度相近，但本文算法所用的時(shí)間明顯小于APG算法，實(shí)時(shí)性更好，性能更優(yōu)。

圖3 不同陣元數(shù)時(shí)兩種算法的標(biāo)準(zhǔn)差、均方根誤差和時(shí)間Fig.3 Standard deviation, root-mean-square error and time of the two algorithms under different array Numbers

4 結(jié)論

本文提出了基于交錯(cuò)投影的無(wú)網(wǎng)格降維DOA估計(jì)算法。該算法在求解無(wú)網(wǎng)格DOA估計(jì)的半定規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，不再求解半正定矩陣S，而是直接求解Toeplitz矩陣T(u)，降低所求矩陣的維度，減少了計(jì)算量。仿真結(jié)果表明，該算法與APG算法相比，在相同信噪比，快拍數(shù)或陣元數(shù)的條件下能夠保證估計(jì)精度，同時(shí)減少了計(jì)算時(shí)間，具有更好的實(shí)時(shí)性，性能更優(yōu)。