鄔俊陽，陳 欣

(1.四川工業(yè)科技學(xué)院電子信息與計算機(jī)工程學(xué)院，四川 德陽 618500；2.電子科技大學(xué)信息與軟件工程學(xué)院，四川 成都 610054)

0 引言

由于LFM信號具備兼顧頻移分辨率和時延分辨率特性，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納和通訊系統(tǒng)[1-3]。為了實(shí)現(xiàn)對LFM信號檢測和參數(shù)估計，研究學(xué)者率先提出采用時頻分析方法對傳感器拾取數(shù)據(jù)進(jìn)行時頻特性分析，根據(jù)時頻分時結(jié)果實(shí)現(xiàn)對其檢測和參數(shù)估計，如短時傅里葉變換[4-5]、小波變換[6]、Wigner變換[7-9]等時頻分析工具，但LFM信號的較強(qiáng)時頻耦合特性影響此類方法在低信噪比下的檢測和估計效果。為了解決該信噪比問題，研究學(xué)者再次提出采用時頻分析與圖像處理相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)對低信噪比下的LFM信號檢測和參數(shù)估計，由于該類方法需要進(jìn)行信號時頻分布或模糊度表面計算和圖像識別，實(shí)現(xiàn)過程比較復(fù)雜[10-13]，同樣面臨信噪比對傳統(tǒng)時頻分析方法的限制問題。

為了突破信噪比對傳統(tǒng)時頻分析方法的限制，研究學(xué)者提出了一種新的時頻分析工具——分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform, FRFT)，該方法通過時頻旋轉(zhuǎn)使LFM信號在分?jǐn)?shù)頻域?qū)崿F(xiàn)能量聚集，即將傅里葉變換中頻域直線分布，轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)頻域點(diǎn)分布，實(shí)現(xiàn)LFM信號頻域能量累積，降低了信噪比對LFM信號檢測的限制[14-17]。另外，為了提高FRFT方法對LFM信號檢測和參數(shù)估計的實(shí)時處理速度，陳艷麗[18]等人提出了簡明分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(concise fractional Fourier transform，CFRFT)方法，該方法在實(shí)現(xiàn)對信號時頻結(jié)構(gòu)的旋轉(zhuǎn)同時，能夠快速實(shí)現(xiàn)對LFM信號的檢測和參數(shù)估計，進(jìn)一步拓展了FRFT方法在實(shí)際應(yīng)用中的便利性，但并未解決LFM脈沖信號脈沖寬度和帶寬估計等問題。

針對分?jǐn)?shù)階傅里葉變換無法對LFM信號實(shí)現(xiàn)脈沖寬度和帶寬估計問題，提出了基于迭代搜索的LFM脈沖信號寬度估計方法。

1 簡明分?jǐn)?shù)階傅里葉變換參數(shù)估計方法

1.1 變換過程

對根據(jù)文獻(xiàn)[18]所述，對于傳感器拾取數(shù)據(jù)x(n)，則簡明分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的過程可按如下步驟實(shí)現(xiàn)：

按式(1)采用核函數(shù)kα(f′,n)對x(n)進(jìn)行變換，求取調(diào)頻斜率：

(1)

式(1)中，kα(f′,n)=exp(j(πcotα)n2-j2πf′n)，α∈(0,π)為CFRFT旋轉(zhuǎn)角度，f′為CFRFT在旋轉(zhuǎn)角度α下對應(yīng)頻率，N為CFRFT點(diǎn)數(shù)。

當(dāng)α=π/2時，CFRFT可簡化為傅里葉變換形式：

(2)

所以，對式(1)引入中間變量s(n)，則式(1)可變?yōu)椋?/p>

(3)

式(3)中，s(n)=x(n)exp(j(πcotα)n2)。

由上述步驟可知，在時頻(n,f)坐標(biāo)系下，保持時間坐標(biāo)軸n不變，將頻率坐標(biāo)軸f旋轉(zhuǎn)到與時間坐標(biāo)夾角為α處，得到新的分?jǐn)?shù)頻率坐標(biāo)軸f′，傳感器拾取數(shù)據(jù)x(n)在分?jǐn)?shù)頻率坐標(biāo)軸f′上的頻譜分布即為CFRFT，圖 1為旋轉(zhuǎn)角度為α的CFRFT。

圖1 CFRFT方法的變換示意圖Fig.1 The schematic diagram of CFRFT method

因此，隨著旋轉(zhuǎn)角度α的變化，CFRFT能對時頻分析中的頻率坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，獲得在不同旋轉(zhuǎn)角度下的頻譜分布，進(jìn)而得到LFM信號在時頻域中更豐富、更精細(xì)的特征。CFRFT實(shí)質(zhì)上是廣義傅里葉變換，傅里葉變換是CFRFT在旋轉(zhuǎn)角度α為π/2時的特例。

1.2 參數(shù)估計

(4)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證CFRFT方法可降低LFM信號檢測所需輸入信噪比，實(shí)現(xiàn)對噪聲掩蓋下的LFM信號的檢測，同時由能量峰值點(diǎn)坐標(biāo)可估計LFM信號的調(diào)頻斜率和中心頻率，進(jìn)行如下數(shù)值仿真。仿真條件為：系統(tǒng)采樣頻率為fs=50 kHz，LFM信號為脈沖信號，脈沖長度為T=0.4 s，脈沖周期為Tc=1 s，脈沖頻率為f=2～4 kHz，調(diào)頻斜率為k=5 000，背景噪聲為高斯噪聲，LFM信號與噪聲信噪比為SNR。圖3為SNR=-10 dB，采用FFT和CFRFT方法所得變換結(jié)果。兩次處理數(shù)據(jù)包含LFM脈沖信號起始點(diǎn)與采集數(shù)據(jù)起始點(diǎn)一致，每一次處理數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)為N=50 000。

由圖2和圖3可知，CFRFT方法可以降低LFM信號檢測所需輸入信噪比，實(shí)現(xiàn)對噪聲掩蓋下的LFM信號的檢測，同時由能量峰值點(diǎn)坐標(biāo)可估計LFM信號的調(diào)頻斜率和起始頻率，通知所表示頻率即為CFRFT方法求得的LFM信號起始頻率，該值與預(yù)設(shè)起始頻率值一致。

圖2 SNR=-10 dB時域圖Fig.2 The time diamond of processed data as SNR=-10 dB

圖3 SNR=-10 dB頻域與分?jǐn)?shù)域變換圖Fig.3 The frequency diamond & fractional diamond of processed data as SNR=-10 dB

1.3 問題分析

采用CFRFT方法實(shí)現(xiàn)LFM信號檢測與參數(shù)估計中，現(xiàn)有文獻(xiàn)均是假設(shè)信號長度與處理數(shù)據(jù)長度一致，當(dāng)信號長度與處理數(shù)據(jù)長度不一致、信號起始點(diǎn)與采集數(shù)據(jù)起始點(diǎn)不一致時，其所得起始頻率估計值存在一定偏差且無法對脈沖脈寬和寬帶實(shí)現(xiàn)估計。為了分析方便，假設(shè)處理數(shù)據(jù)x(n)在LFM脈沖信號范圍內(nèi)具有exp(j(2πf′n+πkn2))形式，當(dāng)LFM脈沖信號起始點(diǎn)位于處理數(shù)據(jù)x(n)的第N0≥2個采樣點(diǎn)且T·fs

(5)

此時，再采用式(3)對s(n)進(jìn)行處理，LFM信號在f′軸上投影點(diǎn)與其真實(shí)起始頻率存在偏差，且無法實(shí)現(xiàn)對LFM脈沖寬度和帶寬估計。

為了直觀說明CFRFT方法在進(jìn)行數(shù)據(jù)處理時，當(dāng)脈沖信號起始點(diǎn)與處理數(shù)據(jù)x(n)起始點(diǎn)不一致時，所得起始頻率估計值存在一定偏差，且無法對脈沖脈寬和寬帶實(shí)現(xiàn)估計，進(jìn)行如下數(shù)值仿真。仿真條件為：系統(tǒng)采樣頻率為fs=50 kHz，LFM信號為脈沖信號，脈沖長度為T，脈沖周期為Tc=1 s，脈沖頻率為f=2～4 kHz，調(diào)頻斜率為k，背景噪聲為高斯噪聲，LFM脈沖信號與噪聲信噪比為SNR=-10 dB。圖4至圖6分別為脈沖信號起始點(diǎn)與處理數(shù)據(jù)起始點(diǎn)相差N0=10 000時，T=0.4 s,0.5 s,0.6 s所得變換結(jié)果。

圖4至圖6變換結(jié)果進(jìn)一步證實(shí)了，當(dāng)LFM脈沖信號起始點(diǎn)與處理數(shù)據(jù)x(n)起始點(diǎn)不一致時，所得起始頻率估計值存在一定偏差，且無法對脈沖脈寬和寬帶實(shí)現(xiàn)估計。

圖4 T=0.4 s時域與分?jǐn)?shù)域變換圖Fig.4 The time diamond & fractional diamond of processed data as T=0.4 s

圖5 T=0.5 s時域與分?jǐn)?shù)域變換圖Fig.5 The time diamond & fractional diamond of processed data as T=0.5 s

圖6 T=0.6 s時域與分?jǐn)?shù)域變換圖Fig.6 The time diamond & fractional diamond of processed data as T=0.6 s

2 基于迭代搜索的LFM脈沖信號參數(shù)估計方法

2.1 理論分析

為了理論分析方便，假設(shè)x(n)在LFM信號范圍外具有一定幅值形式(該幅值由傳感器拾取背景噪聲決定)，即在n∈[(1,N0)∪(T·fs,N)]范圍內(nèi)，式(5)可進(jìn)一步變化為：

s(n)=v(n)exp(jπcotαn2),n∈[(1,N0)∪(T·fs,N)]

(6)

式(6)中，v(n)為x(n)中未包含LFM脈沖信號的噪聲數(shù)據(jù)。

2.2 實(shí)現(xiàn)過程

針對該問題，本文依據(jù)LFM脈沖信號在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換中的能量表現(xiàn)形式和脈沖信號長度關(guān)系，本文采用如下步驟實(shí)現(xiàn)對LFM脈沖信號脈沖寬度和帶寬等參數(shù)的準(zhǔn)確估計。

步驟1 依據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換求取的調(diào)頻斜率k，按chirp相乘思想采用式(7)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到一組新數(shù)據(jù)s(n)。

(7)

式(7)中，y(n)=exp(-jπk(n/fs)2),n∈[1,N]為由調(diào)頻斜率k構(gòu)造的chirp信號，f′0為LFM信號起始頻率，N1為LFM信號起始時刻所在采樣點(diǎn)位置，N2為LFM信號終止時刻所在采樣點(diǎn)位置。

采用式(7)對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理后，進(jìn)行FT變換所得聚焦頻率已由f′0變?yōu)閒′0-kN1/fs，LFM信號相位變?yōu)?2πf′0(N1/fs)+πk(N1/fs)2，所以只需估計出LFM信號起始時刻所在采樣點(diǎn)位置，即可實(shí)現(xiàn)對LFM信號起始頻率校正。

圖7 本文方法迭代處理數(shù)據(jù)示意圖Fig.7 The iterative processing schematic diagram of this method

進(jìn)行第1≤m≤M次迭代FT處理時，可得到第m組能量在頻率和時間上分布的二維數(shù)據(jù)Y(m,w)。

(8)

式(8)中，s′(n)表達(dá)式如式(9)所示，W為FT變換所需頻率點(diǎn)數(shù)。

(9)

步驟3 令m=m+1，更新迭代數(shù)據(jù)長度及數(shù)據(jù)，重新執(zhí)行步驟2，直到m等于預(yù)設(shè)定迭代次數(shù)M。

步驟4 按式(10)對Y(m,w)進(jìn)行差分處理，得到M-1組能量在頻率和迭代次數(shù)上變化的數(shù)據(jù)。

Y′(i,w)=|Y(m,w)-Y(m-1,w)|,w=1,…,W

(10)

式(10)中，i=m-1，2≤m≤M。

(11)

式(11)中，m1為連續(xù)過門限起始點(diǎn)，m2為連續(xù)過門限終止點(diǎn)。

具體分析如下：

令傳感器拾取數(shù)據(jù)x(n)中LFM信號對應(yīng)總能量為P0，高斯白噪聲各頻率處功率為V0。

在第1≤m≤M次迭代處理中，由式(7)可知，進(jìn)行FT變換所得聚焦頻率f′0-kN1/fs處數(shù)據(jù)能量為：

(12)

按式(10)對Y(m,w)進(jìn)行處理，可得Y′(i,w)為：

(13)

所以，在迭代次數(shù)軸上搜索Y′(m,w)連續(xù)過門限時刻，可得到LFM信號連續(xù)過門限起始點(diǎn)m1≈N1/L和終止點(diǎn)m2≈N2/L，由起始點(diǎn)和終止點(diǎn)可得到LFM信號起始時刻和終止時刻所在采樣點(diǎn)位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對LFM信號脈寬T和帶寬B估計及起始頻率f′0實(shí)現(xiàn)校正。

3 數(shù)值仿真分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法能夠?qū)崿F(xiàn)對LFM脈沖信號脈沖寬度和帶寬等參數(shù)的準(zhǔn)確估計，進(jìn)行如下數(shù)值仿真。仿真條件為：系統(tǒng)采樣頻率為fs=50 kHz，LFM信號為脈沖信號，脈沖長度為T=0.4 s,0.5 s,0.6 s，脈沖周期為Tc=1 s，脈沖頻率為f=2～4 kHz，調(diào)頻斜率為k，背景噪聲為高斯噪聲，LFM脈沖信號與噪聲信噪比為SNR=-10 dB，LFM脈沖信號起始點(diǎn)與處理數(shù)據(jù)x(n)起始點(diǎn)相差N0=10 000。數(shù)值仿真具體過程為：

1) 按CFRFT方法對仿真數(shù)據(jù)x(n)進(jìn)行處理，可得到第1.2節(jié)仿真結(jié)果和LFM脈沖信號調(diào)頻斜率及聚焦頻率；

2) 按第2.2節(jié)步驟1對數(shù)據(jù)x(n)進(jìn)行處理，得到一組新數(shù)據(jù)s(n)，該數(shù)據(jù)仿真結(jié)果與第1.2節(jié)仿真結(jié)果中時域圖一致，此處不再給出；

3) 令L=100，按2.2節(jié)步驟2和步驟3對新數(shù)據(jù)s(n)進(jìn)行處理，可得到M=500組能量在頻率和時間上分布的二維數(shù)據(jù)Y(m,w)，結(jié)果如圖8—圖10所示。

圖8 T=0.4 s能量圖Fig.8 The energy diagram as T=0.4 s

圖9 T=0.5 s能量圖Fig.9 The energy diagram as T=0.5 s

圖10 T=0.6 s能量變圖Fig.10 The energy diagram as T=0.6 s

4) 按第2.2節(jié)步驟4對Y(m,w)進(jìn)行差分處理，得到499組能量在頻率和迭代次數(shù)上變化的數(shù)據(jù)Y′(i,w)，結(jié)果如圖 11—圖 13所示。

5) 由圖11—圖13求得連續(xù)過門限起始點(diǎn)m1≈N1/L和終止點(diǎn)m2≈N2/L，再采用式(11)可實(shí)現(xiàn)對LFM脈沖信號脈寬T和帶寬B估計及起始頻率f′0實(shí)現(xiàn)校正。

圖11 T=0.4 s能量變化關(guān)系圖Fig.11 The energy change diagram as T=0.4 s

圖12 T=0.5 s能量變化關(guān)系圖Fig.12 The energy change diagram as T=0.6 s

圖13 T=0.6 s能量變化關(guān)系圖Fig.13 The energy change diagram as T=0.6 s

依據(jù)2.2節(jié)步驟2所述迭代次數(shù)與采樣點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系，對式(10)迭代次數(shù)與采樣點(diǎn)進(jìn)行變換，可得到M-1組能量在頻率和時間上變化的數(shù)據(jù)。

Y″(n,w)=Y′(i,w),w=1,…,W;n=(i-1)L+1

(14)

式(14)中，1≤i≤M-1。

由此，圖14—圖16給出了M-1組能量在頻率和時間上變化的歸一化圖。

圖14 T=0.4 s能量變化關(guān)系歸一化圖Fig.14 The energy change normalized diagram as T=0.4 s

圖15 T=0.5 s能量變化關(guān)系歸一化圖Fig.15 The energy change normalized diagram as T=0.5 s

圖16 T=0.6 s能量變化關(guān)系歸一化圖Fig.16 The energy change normalized diagram as T=0.6 s

根據(jù)圖4—圖6數(shù)值仿真結(jié)果和圖11—圖16數(shù)值仿真結(jié)果表明，在時域和頻域無法獲取處理數(shù)據(jù)中LFM脈沖信號脈沖寬度和帶寬時，本文方法可對LFM脈沖信號寬度和帶寬等參數(shù)實(shí)現(xiàn)有效估計及起始頻率f′0實(shí)現(xiàn)校正。

4 結(jié)論

本文提出了基于迭代搜索的LFM脈沖信號參數(shù)估計方法。該方法首先依據(jù)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換求取的調(diào)頻斜率，按chirp相乘思想對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到一組新數(shù)據(jù)；然后對新數(shù)據(jù)從起始點(diǎn)到終止點(diǎn)迭代處理，得到一組能量與頻率和時間有關(guān)的二維數(shù)據(jù)；最后對二維數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理，得到一組能量變化關(guān)系圖，實(shí)現(xiàn)對LFM脈沖信號脈沖寬度估計，并依據(jù)事先估計出的調(diào)頻斜率，實(shí)現(xiàn)對LFM脈沖信號帶寬估計。數(shù)值仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，數(shù)值仿真驗(yàn)證結(jié)果表明，在分?jǐn)?shù)階傅里葉變換無法獲取處理數(shù)據(jù)中LFM脈沖信號脈沖寬度和帶寬時，本文方法可對LFM脈沖信號寬度和帶寬等參數(shù)實(shí)現(xiàn)有效估計，并對起始頻率實(shí)現(xiàn)了校正。