梁崗 程天聰 王桂昇

摘要：為保證橋機安全可靠工作，橋機振動問題是大型起重設(shè)備中十分重要的研究課題，而傳統(tǒng)所采用的是單一能域建模方法。鑒于此，針對小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)，利用鍵合圖分塊建模的特點，分別建立小車運動系統(tǒng)和簡支梁承重結(jié)構(gòu)對應(yīng)的鍵合圖模型。根據(jù)兩個子系統(tǒng)之間的功率守恒，組合完成耦合系統(tǒng)的鍵合圖模型，借此建立耦合系統(tǒng)的狀態(tài)方程。針對小車運行加速-勻速-減速的實際工況，根據(jù)狀態(tài)方程計算系統(tǒng)的耦合頻率，采用狀態(tài)空間迭代解法求解主梁跨中動力響應(yīng)。分析吊重與小車質(zhì)量比、繩長和吊重擺動對系統(tǒng)耦合頻率和主梁跨中動力響應(yīng)的影響。結(jié)果表明：利用鍵合圖法可以快速有效地構(gòu)建復(fù)雜耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型;小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)的動力學(xué)特性不僅與小車運行的速度、加速度有關(guān)，而且與吊重與小車質(zhì)量比、繩長和吊重擺動有關(guān)。

關(guān)鍵詞： 鍵合圖; 狀態(tài)空間迭代解法; 橋式起重機; 耦合頻率

中圖分類號： TH215 ? ?文獻標(biāo)志碼： A

Modeling and dynamics analysis on trolley-lifting weight-bridge crane

main girder coupling system with bond graphs

LIANG Gang， CHENG Tiancong， WANG Guisheng

（Logistics Engineering College， Shanghai Maritime University， Shanghai 201306， China）

Abstract： In order to ensure the safe and reliable work of the bridge crane， the vibration of the bridge crane is a very important research topic in the large lifting equipment， while the traditional method is a single energy domain modeling method. In view of this， for the trolley-lifting weight-bridge crane main girder coupling system， using the characteristic of block modeling of bond graphs， the bond graph models of the trolley motion system and the simply supported girder bearing structure are established， respectively. According to the power conservation between the two subsystems， the bond graph model of the coupling system is completed， and the state equation of the coupling system is built. According to the working conditions of acceleration-uniform speed-deceleration of the trolley， the coupling frequency of the system is calculated by the state equation， and the mid-span dynamic response of the main girder is solved by the state space iterative method. The influences of the mass ratio of the lifting weight to the trolley， the length of wire and the lifting weight swing on the system coupling frequency and the mid-span dynamic response of the main girder are analyzed. The results show that： using the bond graph method， the dynamic model of complex coupling systems can be constructed quickly and effectively; the dynamic characteristics of the trolley-lifting weight-bridge crane main girder coupling system are not only related to the speed and acceleration of the trolley， but also related to the mass ratio of the lifting weight to the trolley， the length of wire and the lifting weight swing.

Key words： bond graph; state space iterative method; bridge crane; coupling frequency

0 引 言

橋式起重機（以下簡稱橋機）是用于港口貨物裝卸的主要設(shè)備，其裝卸能力和工作效率直接決定碼頭作業(yè)生產(chǎn)率。隨著港口機械朝著大型化、高速化方向發(fā)展，橋機起升的重量不斷加大，小車運行速度也加快，吊重與橋機主梁的耦合作用增強，因此研究其動態(tài)特性有重要意義。

考慮橋機主梁結(jié)構(gòu)與小車的耦合振動時，由于貨物在起吊過程中會發(fā)生擺動，往往將模型簡化為移動質(zhì)量-吊重-簡支梁耦合系統(tǒng)。文獻[1]以歐拉梁為研究對象，在建立動力學(xué)方程時引入狄拉克函數(shù)，通過引入“關(guān)鍵速度”對耦合問題進行研究。文獻[2-3]基于拉格朗日方程推導(dǎo)了耦合系統(tǒng)的運動微分方程組，分析了移動速度和加速度、吊重質(zhì)量等對梁體振動響應(yīng)的影響。利用上述傳統(tǒng)的建模方法很難達到復(fù)雜系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)的建模要求，鍵合圖理論與方法一直被認為是一種物理系統(tǒng)建模與仿真的有效工具。

文獻[4]基于鍵合圖法研究了柔性梁的建模問題，降低了模型的復(fù)雜度;文獻[5]提出了相應(yīng)的矢量鍵合圖法，描述了用鍵合圖法對平面柔性多體系統(tǒng)建模的一般過程;文獻[6-9]建立了在不同邊界條件和不同支撐條件下梁橫向振動的鍵合圖模型;文獻[10]根據(jù)桿件的幾何關(guān)系得到擺動導(dǎo)桿機構(gòu)鍵合圖模型;文獻[11]建立了單擺在不同工況下的鍵合圖模型，并給出了相應(yīng)的狀態(tài)方程。對耦合系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解可以采用狀態(tài)空間法：文獻[12-13]利用狀態(tài)空間理論建立了車橋耦合振動有限元分析的狀態(tài)空間法;文獻[14-15]應(yīng)用狀態(tài)空間法求解Timoshenko梁的振型和頻率;文獻[16]基于結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的狀態(tài)方程，建立迭代計算格式，對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)進行了計算。

本文以小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)為研究對象，利用鍵合圖分塊建模的特點，分別建立小車運動系統(tǒng)和簡支梁承重結(jié)構(gòu)對應(yīng)的鍵合圖模型，根據(jù)兩個子系統(tǒng)之間的功率守恒，用適當(dāng)?shù)脑蓚€子系統(tǒng)聯(lián)接起來，組合完成小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)的鍵合圖模型，建立耦合系統(tǒng)的狀態(tài)方程。針對小車運行加速-勻速-減速的實際工況，根據(jù)狀態(tài)方程計算系統(tǒng)耦合頻率，采用狀態(tài)空間迭代解法求解主梁跨中動力響應(yīng)。對比分析吊重與小車質(zhì)量比、繩長、吊重擺動等對系統(tǒng)耦合頻率和主梁跨中動力響應(yīng)的影響。該方法與傳統(tǒng)的方法相比：利用它可以靈活、方便地建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，避免煩瑣的求導(dǎo)過程;利用它建立的模型十分便于修改和完善，工作量小。鍵合圖法是以圖形表示和描述系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)的，是對工程系統(tǒng)進行動態(tài)數(shù)字仿真的有效的建模工具，具有結(jié)構(gòu)簡明、信息量大和動力學(xué)建模過程規(guī)則化等特點，為復(fù)雜系統(tǒng)建模提供了良好的解決方案。

1 小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)鍵合圖模型的建立1.1 鍵合圖模型

鍵合圖是描述系統(tǒng)功率的傳輸、轉(zhuǎn)換、貯存和耗散的圖形，是以能量守恒為基礎(chǔ)的，核心思想是功率流在特定激勵作用下重新分布與調(diào)整的過程。鍵合圖將多種物理參量統(tǒng)一地歸納成勢、流、變位和動量變量，根據(jù)系統(tǒng)中功率流的方向，按照規(guī)定步驟制定系統(tǒng)的鍵合圖模型，并列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程。

在建立耦合系統(tǒng)的力學(xué)模型時：將橋機簡化為簡支梁;由于吊繩的質(zhì)量相對于整個系統(tǒng)的質(zhì)量而言可以忽略，為簡化分析，將吊繩假設(shè)為無質(zhì)量剛性吊繩;將吊重簡化為質(zhì)點，通過無質(zhì)量的剛性吊繩懸掛在小車上，隨著小車一起運動并且在平面內(nèi)擺動。小車-吊重-簡支梁的耦合系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1所示：采用歐拉梁模型;假定小車在移動過程中不脫離梁體，則其位移與梁所在位置的撓度是一致的;小車質(zhì)量為M;吊重質(zhì)量為m;梁的彈性模量為E，慣性矩為I，單位長度質(zhì)量為mb，跨度為lb;剛性吊繩的長度為lr;吊繩與中心線之間的夾角為θ。

對耦合系統(tǒng)的建模有多種方法，但對復(fù)雜系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)建模時，采用傳統(tǒng)的建模方法很難達到要求。鍵合圖法作為一種系統(tǒng)動力學(xué)建模方法，可以將復(fù)雜系統(tǒng)劃分為幾個較簡單的子系統(tǒng)，分別用鍵合圖建模。鍵合圖建模的優(yōu)勢就是可以將不同模塊的鍵合圖進行組合，構(gòu)成新的模型[17]。

對小車運動系統(tǒng)建模時，只考慮小車吊重的橫向擺動，吊繩的質(zhì)量及其長度變化可以忽略不計，不計空氣阻力、風(fēng)力以及小車與軌道之間的摩擦力。首先對吊重擺動建立鍵合圖模型，確定各鍵的功率方向，接著將小車的水平速度作為流源，并將兩個模塊的鍵合圖進行組合，得到小車運動系統(tǒng)鍵合圖模型，見圖2。圖2中：v（t）是小車的瞬時速度;Sf與Se分別是系統(tǒng)的流源和勢源;I是慣性元件;變換器MTF7和MTF8的模數(shù)分別為7和8，7=lrcos θ，8=-lrsin θ。

對簡支梁進行建模，按照鍵合圖建模步驟[18]，建立移動力作用下簡支梁鍵合圖模型，見圖3。該模型輸入端口的外力乘以速度等于各模態(tài)力與相應(yīng)模態(tài)流乘積之和，滿足功率守恒定律。該模型是鍵合圖模型的基本模塊，是復(fù)雜結(jié)構(gòu)組成單元。

圖3中：慣性元件I的參數(shù)m1，m2，…，mN表示簡支梁的模態(tài)質(zhì)量;C為容性元件，其參數(shù)k1，k2，…，kN表示簡支梁的模態(tài)剛度;MTF的模數(shù)是位置隨時間變化的振型函數(shù);F為隨時間變化的集中力。 ?將小車運動系統(tǒng)鍵合圖模型和簡支梁鍵合圖模型根據(jù)兩個子系統(tǒng)之間的功率守恒聯(lián)接起來，組合完成小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)的鍵合圖模型，見圖4。對于簡支梁鍵合圖模型，由于前幾階模態(tài)影響較大，而高階模態(tài)能量占比太低，對整個結(jié)構(gòu)振動影響不大，因此取有限模態(tài)N=5。小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)鍵合圖模型能以直觀的方式描述系統(tǒng)中有關(guān)的物理效應(yīng)、元件之間的相互聯(lián)接關(guān)系以及功率傳輸情況，并且模型本身隱含著描述耦合系統(tǒng)動態(tài)性能的狀態(tài)方程。

變換器MTFi的模數(shù)i=sin（iπxc/lb），i=1，2，…，5;變換器MTF6的模數(shù)6=5i=1ηi（t）×di（xc）dx;xc為小車在t時刻在x方向所在位置;ηi為廣義振型坐標(biāo)。

對于剛性梁，當(dāng)小車以瞬時速度v（t）在梁上運動時，小車底部的垂直速度等于小車的水平速度與梁變形瞬時斜率的乘積。

1.2 系統(tǒng)微分方程及狀態(tài)方程

根據(jù)鍵合圖法則[19]，取具有積分因果關(guān)系的慣性元件的廣義動量和容性元件的廣義位移作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)變量和系統(tǒng)的輸入向量分別為X=（p1，p2，p3，p4，p5，p35，q1，q2，q3，q4，q5）T

U=（Mg，mg，v（t））T式中：pi為模型廣義動量，qi為模型廣義位移，并且pi=miη ·i，qi=ηi（i=1，2，…，5）。

由鍵合圖因果關(guān)系及勢方程、流方程可知p ·i=-kiqi+Fi， i=1，2，…，5

q ·i=pi/mi， i=1，2，…，5

p ·35=（mf ·28-mg）sin θcos θ

θ ·=p35-mv（t）mlrcos θ

（1）式中：F=Mg-e22-e26。由鍵合圖理論可知e22=Mf ·22=Mf ·21

（2）

e26=e28-e27=mf ·28-mg

（3）

f21=φ6v（t）+5i=1（pii/mi）

（4）

f28=5i=1（′ i（xc）v（t）ηi（t）+

i（xc）η ·i（t））-lrθ ·sin θ

（5） ?將pi、qi以及式（2）、（3）、（4）、（5）代入式（1），可得耦合系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程如下：

mjη · ·j（t）+（M+m）j（xc）×

5i=1（″ i（xc）v2（t）ηi（t）+

′ i（xc）v ·（t）ηi（t） + 2′ i（xc）v（t）η ·i（t） +

i（xc）η · ·i（t））-g+kjηj（t）-

j（xc）mlr（sin（θθ · ·） + cos（θθ ·2）） = 0

（j=1，2，…，5）

θ · ·+v ·（t）cos θ/lr+gsin θ/lr=

sin θ/lr5i=1（″ i（xc）v2（t）ηi（t）+

′ i（xc）v ·（t）ηi（t） + 2′ i（xc）v（t）η ·i（t） +

i（xc）η · ·i（t））

（6）

由式（6）與文獻[2]對比可知，由鍵合圖法推導(dǎo)出的系統(tǒng)動力學(xué)微分方程與其是完全相同的，從而驗證了用鍵合圖法建模的可行性和正確性。

另外，引入狀態(tài)變量X（t）=（ηiη ·i）T

（7）將式（7）代入式（1）中，可直接得到耦合系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下：X ·=AX+P

（8）式中：A=0I

-M-1K-M-1C，P=0

M-1F（t），其中，M、C和K分別為耦合系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，F(xiàn)（t）為載荷列陣。矩陣A的特征值為系統(tǒng)的各階耦合頻率，狀態(tài)方程（式（8））描述了一個動態(tài)的過程。根據(jù)狀態(tài)空間理論，式（8）的解為X=eAtX（0）+∫t 0eA（t-τ）P（τ）dτ

（9）式（9）中包含位移響應(yīng)量和速度響應(yīng)量。

2 狀態(tài)空間迭代解法

狀態(tài)方程的解法有很多[20]，狀態(tài)空間法具有計量小、計算效率快和精度高的特點。采用狀態(tài)空間迭代解法求解結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)問題，不用求矩陣A的特征值，也不必解線性方程或求矩陣的逆，只需做矩陣相乘運算。

將某段時間劃分為許多Δt，對于任意時刻ti=iΔt（i=0，1，…），耦合系統(tǒng)的動力響應(yīng)量為Xi（ti）=eAtiX（0）+∫ti0eA（ti-τ）P（τ）dτ

（10）設(shè)i=1，則X1（t1）=eAΔtX（0）+EP（t1）

（11）式中：E=∫Δt 0eA（Δt-τ）dτ=（eAΔt-I）A-1

因此，狀態(tài)空間迭代解法的迭代計算式為Xk+1（tk+1）=Φ1Xk（tk）+τΦ2P（tk）

（12）式中：Φ1=∞k=0（Aτ）kk！，Φ2=∞k=0（Aτ）k（k+1）！

3 耦合系統(tǒng)動力學(xué)分析

3.1 算法驗證

為驗證本文模型及求解方法的正確性，選取文獻[2]中的計算實例進行求解，將本文計算的結(jié)果與文獻[2]中基于拉格朗日方程計算的結(jié)果相比較。假定小車質(zhì)量與吊重質(zhì)量之和一定;定義吊重與小車質(zhì)量比為r，r=m/M;定義繩長lr與梁長lb之比為n，n=lr/lb。

當(dāng)r=0（即吊重質(zhì)量m=0）時，本文模型變?yōu)樾≤囘^橋模型，取小車初始速度v0=20 m/s，加速度a=0，計算結(jié)果見圖5。當(dāng)r=1（即吊重與小車的質(zhì)量相同）時，取n=0.05（繩長為5 m），加速度a=2 m/s2，計算結(jié)果見圖6。

利用本文模型和求解方法得到的結(jié)果與文獻[2]的計算結(jié)果相差不大，說明取有限模態(tài)N=5可以完全滿足精度要求，從而驗證了基于鍵合圖法建立的狀態(tài)方程及狀態(tài)空間迭代解法的可行性和正確性。

3.2 系統(tǒng)耦合頻率的計算與分析

通過矩陣A的特征值計算，可獲得小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)的各階耦合頻率。針對小車運行加速-勻速-減速的實際工況，對比分析吊重與小車質(zhì)量比、繩長和吊重擺動等對系統(tǒng)耦合頻率的影響。在實際工況中小車質(zhì)量是固定的，但往往會起升不同質(zhì)量的吊重，不同質(zhì)量的吊重對系統(tǒng)耦合頻率和動力響應(yīng)有不同的影響。因此，吊重與小車質(zhì)量比既考慮了小車與吊重質(zhì)量之和一定的情形，也考慮了小車質(zhì)量一定的情形。

通過查閱橋機相關(guān)參數(shù)以及梁上小車運動情況的相關(guān)文獻[21]，為讓對比結(jié)果更明顯，本文將梁的參數(shù)和小車運動情況進行簡化，計算參數(shù)見表1。

設(shè)初始擺角θ（0）=0，根據(jù)小車運行速度曲線（見圖7），通過狀態(tài)空間迭代解法求得ti時刻的動態(tài)響應(yīng)，進而求得ti+1時刻的θ值。取加速階段結(jié)束時的擺角和擺動角速度作為勻速階段的計算初值，取勻速階段結(jié)束時的擺角和擺動角速度作為減速階段的計算初值。不同繩長的吊重擺角曲線見圖8。

由圖7和8可知：加速階段吊重的擺角較小，勻速階段和減速階段吊重的擺角明顯增大;小車的加速度一定時，繩長是影響吊重擺角的主要因素，繩越短，吊重的擺角越大。

當(dāng)小車與吊重質(zhì)量之和一定（4.8×104 kg）時：取r=1（m=M=2.4×104 kg），繩長lr分別取5 m和10 m，研究繩長對耦合頻率的影響，見圖9;分別取r=1（m=M=2.4×104 kg）和r=4（M=0.96×104 kg、m=3.84×104 kg），繩長lr=5 m，得到系統(tǒng)耦合頻率，見圖10。當(dāng)小車質(zhì)量一定（M=1.2×104 kg）時，分別取r=1（m=1.2×104 kg）和r=4（m=4.8×104 kg），繩長lr=5 m，得到系統(tǒng)耦合頻率，見圖11。

由圖8和9可知，當(dāng)小車與吊重質(zhì)量之和一定時，吊重擺角隨繩長lr的減小而增大，進而使系統(tǒng)耦合頻率波動幅度增大，說明吊重的擺動對系統(tǒng)耦合頻率有一定影響。由圖10和11可知：當(dāng)小車與吊重質(zhì)量之和一定時，隨著r的增大，系統(tǒng)耦合頻率略微增大;當(dāng)小車質(zhì)量一定時，系統(tǒng)耦合頻率隨著r的增大而減小。在上述兩種情況下，系統(tǒng)耦合頻率在小車運行的各個階段均會產(chǎn)生不同幅度的波動，此波動是由吊重擺動引起的。吊重在加速階段擺角較小，系統(tǒng)耦合頻率波動幅度不大;吊重在勻速階段和減速階段擺角逐漸增大，系統(tǒng)耦合頻率波動幅度增大，尤其在減速階段其波動幅度更大。

3.3 吊重質(zhì)量對主梁跨中位移的影響

采用狀態(tài)空間迭代解法建立迭代計算格式，取i時刻的響應(yīng)量作為i+1時刻的計算初值，進而求解主梁跨中動力響應(yīng)。

在小車與吊重質(zhì)量之和一定（4.8×104 kg）時，分別取r=1和r=4，繩長lr=5 m，計算結(jié)果見圖12。在小車質(zhì)量一定（M=1.2×104 kg）時，分別取r=1和r=4，繩長lr=5 m，計算結(jié)果見圖13。

由圖8、12、13可知：在小車與吊重質(zhì)量之和一定時，隨著r的增大，主梁跨中位移有一定增大;在小車質(zhì)量一定時，主梁跨中位移隨著r的增大而增大。不同吊重與小車質(zhì)量比并沒有改變主梁跨中位移的變化趨勢，只對其變化幅度有所影響。在上述兩種情況下，由于吊重擺動，主梁跨中位移在小車運行的各個階段產(chǎn)生不同幅度的波動。主梁跨中位移在加速階段波動幅度很小，而在勻速階段和減速階段波動幅度增大，說明吊重擺角的增大會使主梁跨中位移的波動幅度增大。

4 結(jié) 論

本文以小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)為研究對象，利用鍵合圖分塊建模的特點，根據(jù)各子系統(tǒng)之間的功率守恒，組合完成小車-吊重-橋機主梁耦合系統(tǒng)的鍵合圖模型，建立了耦合系統(tǒng)的狀態(tài)方程。根據(jù)狀態(tài)方程計算了系統(tǒng)的耦合頻率，采用狀態(tài)空間迭代解法求解了主梁跨中動力響應(yīng)。得到以下結(jié)論：

（1）利用鍵合圖法不僅可以快速有效地建立復(fù)雜耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型，而且從建模到計算都非常簡單和實用，在數(shù)學(xué)建模方面也更簡便;利用鍵合圖法建立的模型十分便于修改和完善;鍵合圖法具有結(jié)構(gòu)簡明、信息量大及動力學(xué)建模過程規(guī)則化等特點，為復(fù)雜系統(tǒng)建模提供了良好的解決方案。（2）系統(tǒng)耦合頻率隨著吊重與小車質(zhì)量比的變化而變化;吊重的擺動會引起系統(tǒng)耦合頻率的波動變化，且波動幅度隨擺角的增大而增大;吊繩長度的變化會引起吊重擺角的變化，進而引起系統(tǒng)耦合頻率波動。（3）不同吊重與小車質(zhì)量比只對主梁跨中位移的變化幅度有所影響;在小車運行的各個階段，主梁跨中位移的波動幅度隨著吊重擺角的增大而增大。

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（編輯 趙勉）

收稿日期： 2019- 06- 28 修回日期： 2019- 12- 04

作者簡介： 梁崗（1969—），男，河南開封人，副教授，博士，研究方向為起重機動力學(xué)、起重機智能結(jié)構(gòu)振動控制、大型起重機結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計及優(yōu)化研究，（E-mail）gangliang@shmtu.edu.cn