鐘世英,凌道盛

(1.山東建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院, 山東 濟(jì)南 250101；2.建筑結(jié)構(gòu)加固改造與地下空間工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 山東 濟(jì)南 250101；3.浙江大學(xué) 巖土工程研究所，浙江 杭州 310058)

2019年1月3日嫦娥四號(hào)軟著陸成功，標(biāo)志著我國成為全球第一個(gè)實(shí)現(xiàn)航天器月球背面軟著陸的國家，開啟了人類月球探測與應(yīng)用新篇章[1-2]。2019年4月12日以色列創(chuàng)世紀(jì)號(hào)撞擊月球成為碎片、2019年9月7日印度月船二號(hào)著陸失敗證明探測器高速降落過程中軟著陸難度非常大，著陸緩沖機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)是各國深空探測成功的關(guān)鍵[3]。月壤作為著陸器的最終承載者，著陸足墊與月壤在沖擊作用下相互作用的有效估算是軟著陸成功的重要一環(huán)(圖1)。

(來源：中國航天科技集團(tuán)、探月工程)

沖擊過程中足墊受力特性是著陸緩沖機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。國內(nèi)外學(xué)者做了大量工作對月壤特性和沖擊動(dòng)力學(xué)問題進(jìn)行研究。凌道盛等[4]根據(jù)軟著陸沖擊過程的特點(diǎn)設(shè)計(jì)了豎向沖擊模型試驗(yàn)系統(tǒng)，并采用數(shù)值模擬方法對沖擊過程進(jìn)行建模分析。馬煒[5]針對月壤的散體材料特性，結(jié)合多剛體碰撞理論采用離散元方法研究了月壤沖擊作用下的動(dòng)力響應(yīng)。徐海濤等[6]通過設(shè)計(jì)探測系統(tǒng)得到了嫦娥四號(hào)著陸過程中足墊與月壤沖擊過程的影像數(shù)據(jù)。蔣明鏡等[7]采用數(shù)值分析法探討了月壤推剪破壞機(jī)制。Sahu等[8]通過振動(dòng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)砂土阻尼會(huì)隨著土體結(jié)構(gòu)的改變而變化。Swain等[9]通過土壤流變力學(xué)和Prony級(jí)數(shù)開發(fā)新的土動(dòng)力學(xué)時(shí)變本構(gòu)理論，探索更加有效的土體有限元?jiǎng)恿Ψ治瞿Ｐ?。錢家歡等[10]采用經(jīng)典結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方法得到了夯擊過程中力與位移的關(guān)系。王四根等[11]以結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)采用能量積分法得到了強(qiáng)夯沖擊過程中夯擊能量吸收率問題的理論解，證明夯擊過程中地基加固能量占比與土壤性質(zhì)有關(guān)。

嫦娥三號(hào)、嫦娥四號(hào)發(fā)回的照片表明，月壤表面覆有松散月塵，月壤粗顆粒含量高、顆粒粒徑差別大、棱角明顯、有空洞。室內(nèi)試驗(yàn)表明，模擬月壤顆粒在受壓過程中破碎現(xiàn)象嚴(yán)重，具有顯著的散體材料特性，采用波動(dòng)法分析沖擊過程中足墊所受沖擊力時(shí)程特性異常困難。為快速、準(zhǔn)確地獲得沖擊過程中足墊與月壤間的相互作用特征，嘗試從能量角度建立動(dòng)力學(xué)控制方程，采用精細(xì)時(shí)程積分和過程參數(shù)相結(jié)合的方法探索著陸器軟著陸沖擊荷載的動(dòng)力響應(yīng)模型。

1 基本方程

著陸器軟著陸沖擊過程中，足墊與月壤的相互作用可分為三個(gè)階段[12]：沖擊接觸、滑移和靜止(圖2)。為揭示沖擊運(yùn)動(dòng)機(jī)理，得到足墊運(yùn)動(dòng)的控制參數(shù)，將整個(gè)沖擊過程簡化為豎向沖擊(A)和水平滑移(B)兩個(gè)階段。豎向沖擊段是指足墊與月壤接觸開始到月壤反力對加速度影響不大時(shí)結(jié)束，整個(gè)豎向沖擊過程加速度改變以月壤反力為主。水平滑移段是指豎向沖擊結(jié)束后，足墊相對月壤滑移運(yùn)動(dòng)，作用力主要來源于足墊與月壤間的動(dòng)量轉(zhuǎn)化。

圖2 軟著陸過程示意圖

測試結(jié)果表明[4]：豎向沖擊過程中足墊接觸月壤后，初始幾個(gè)毫秒內(nèi)，應(yīng)力波在月壤內(nèi)傳播深度有限，表層模擬月壤形成加密區(qū)[13]。在沖擊壓縮位移小于臨界刺入位移前，月壤呈彈性變形；超過臨界刺入位移后，形成塑性破壞區(qū)，月壤呈現(xiàn)彈塑性。為研究豎向沖擊過程足墊與月壤的相互作用力，建立足墊-月壤豎向沖擊物理模型系統(tǒng)(圖2)。根據(jù)豎向沖擊模型試驗(yàn)中軸力和刺入位移曲線測試結(jié)果[14]，結(jié)合豎向沖擊數(shù)值模擬中塑性區(qū)發(fā)展規(guī)律[4]，將豎向沖擊過程中與足墊作用的月壤劃分為兩個(gè)區(qū)域:一個(gè)是月壤在足墊沖擊作用下形成的塑性區(qū)，簡稱沖剪區(qū)；另一個(gè)是沖剪區(qū)外由沖擊作用引起彈性變形的區(qū)域稱為沖擊影響區(qū)，簡稱影響區(qū)。

將豎向沖擊模型簡化為兩個(gè)自由度的動(dòng)力系統(tǒng)(圖3)，給出豎向沖擊過程的動(dòng)力控制方程。足墊動(dòng)力平衡方程為：

圖3 足墊-月壤豎向沖擊物理模型系統(tǒng)

(1)

其中：M1為沖擊物總質(zhì)量；K1為足墊與月壤間的有效接觸彈簧剛度；c1為足墊與沖剪區(qū)阻尼；g為當(dāng)?shù)刂亓铀俣?；r為沖擊過程中月壤與足墊接觸頂面處足墊半徑(0≤r≤rm)；rm為足墊最大半徑；δ1為足墊的豎向刺入位移；δ2為滯后月壤的豎向位移。

沖剪區(qū)動(dòng)力平衡方程：

(2)

其中：Ms為沖剪區(qū)月壤的質(zhì)量；K2為沖剪區(qū)與影響區(qū)月壤的有效彈簧剛度；c2為沖剪區(qū)與影響區(qū)月壤的阻尼。

2 主要模型參數(shù)

室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果表明，月壤強(qiáng)度參數(shù)與月壤密實(shí)狀態(tài)密切相關(guān)；模型試驗(yàn)結(jié)果表明，豎向沖擊過程中足墊對月壤具有明顯的壓密效應(yīng)[14-15]。結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果，將控制方程中的月壤材料參數(shù)與沖擊過程月壤狀態(tài)相關(guān)聯(lián)。

2.1 沖剪區(qū)質(zhì)量

豎向沖擊過程中，足墊下月壤塑性區(qū)擴(kuò)展使沖剪區(qū)質(zhì)量不斷變化，沖擊力傳遞深度與足墊的直徑有關(guān)。假定足墊與月壤接觸時(shí)產(chǎn)生初始楔形沖剪區(qū)，則某時(shí)刻沖剪區(qū)質(zhì)量Ms(圖4)：

圖4 沖剪區(qū)質(zhì)量

Ms=Ms0+Δm。

(3)

由準(zhǔn)靜力加載下的土錐體理論可得，圓形加載板時(shí)產(chǎn)生錐體沖剪區(qū)，初始沖剪區(qū)Ms0為：

(4)

其中,r為刺入深度處足墊的半徑，ρ為模月壤的密度，φ為模擬月壤內(nèi)摩擦角。

假定時(shí)間足夠短則沖剪區(qū)質(zhì)量增量可以表示為應(yīng)變量ε1厚度的小圓柱，則沖剪區(qū)質(zhì)量增量Δm：

Δm=ε1πr2ρ。

(5)

2.2 月壤剛度

假定月壤的彈簧剛度K與應(yīng)變量相關(guān)，月壤彈簧的壓縮比率并非定值，與月壤狀態(tài)相關(guān)。半無限彈性連續(xù)體受剛性圓盤荷載的彈性系數(shù)(彈簧的系數(shù))可表示為：

(6)

其中：Ee為彈性模量，與月壤密實(shí)度有關(guān)；μ為泊松比；η為彈簧剛度修正系數(shù)。與刺入半徑r(d)和足墊刺入位移處面積Aft與總的足墊面積Aftm比值：

(7)

其中κ為修正系數(shù)，當(dāng)r(d)=rm時(shí)，κ=π。

2.3 月壤阻尼

假定沖擊過程中不同狀態(tài)下的月壤阻尼與月壤材料阻尼比有關(guān)，則月壤阻尼：

c=βλ。

(8)

其中：λ為動(dòng)三軸試驗(yàn)測定的月壤材料阻尼比；β為阻尼修正系數(shù)，與月壤密實(shí)狀態(tài)和沖擊質(zhì)量有關(guān)。

3 精細(xì)時(shí)程解

對于豎向沖擊問題，需作瞬態(tài)歷時(shí)分析，可采用精細(xì)時(shí)程積分法進(jìn)行求解[16]。足墊-沖剪區(qū)動(dòng)力系統(tǒng)控制方程由式(1)、式(2)合記為：

(9)

引入狀態(tài)向量

(10)

設(shè)第k時(shí)間步的V值已知，記為Vk,則Vk+1可表示為

Vk+1=T[Vk+H-1(f0+H-1f1)]-H-1(f0+H-1f1+f1Δtk),

(11)

T=eHΔtk=(eHΔtk/m)m,

(12)

取n=2N，Δτk=Δtk/n。若Δτk足夠小，則有

(13)

T=[eHΔtk]2N=[I+Ta]2N=[I+Ta]2N-1[I+Ta]2N-1。

(14)

且(I+Ta)×(I+Ta)=I+2Ta+Ta×Ta。

4 計(jì)算實(shí)例

以模型試驗(yàn)為例(圖5)，取足墊直徑r=8.3 cm，沖擊質(zhì)量M1=1.5 kg，沖擊速度v=1 m/s，月壤密度為ρ=1.202 g/cm3，摩擦角為φ=40°，泊松比μ=0.33，阻尼比為λ1=0.15，λ2=0.12，β1=138.07，β2=57.96，κ=0.284，彈性模量Ee可采用式(15)計(jì)算：

圖5 足墊與沖擊坑

(15)

圖6給出了豎向沖擊模型試驗(yàn)測試結(jié)果和豎向沖擊力學(xué)模型計(jì)算結(jié)果。沖擊力時(shí)程如圖6(a)所示，力學(xué)模型能夠捕捉到豎向沖擊過程中沖擊力急速上升至最值，然后快速下降觸底反彈的特性，沖擊時(shí)間基本一致。

圖6 豎向沖擊模型試驗(yàn)測試值與計(jì)算值關(guān)系

沖擊加速度時(shí)程見曲線6(b)，表明加速度峰值計(jì)算值與實(shí)測值基本一致。與計(jì)算值相比，實(shí)測加速度提升存在滯后漸變性，與模型設(shè)置沖剪區(qū)初始值有關(guān)，且加速度傳感器本身特性也受影響，但沖擊作用時(shí)間一致，計(jì)算結(jié)果可接受。

位移時(shí)程曲線如圖6(c)所示，模型的計(jì)算值與實(shí)測值初始段斜率一致，峰后走勢一致。最大位移值相差0.5 mm，由于模型試驗(yàn)?zāi)M月壤顆粒特性鋪設(shè)不能達(dá)到完全平整，因此存在測試誤差，故計(jì)算模型對最大沖擊位移估算誤差可接受，可以為足墊尺寸設(shè)計(jì)提供依據(jù)。同時(shí)，計(jì)算模型峰后回彈略大于實(shí)測值，最終位移量估算存在改進(jìn)空間。綜合分析可知，本研究建立的豎向沖擊力學(xué)模型計(jì)算時(shí)程與模型試驗(yàn)測試時(shí)程的變化規(guī)律一致，可以作為足墊-月壤豎向沖擊相互作用的估算模型。

5 結(jié)論與展望

足墊與月壤動(dòng)力相互作用的合理、有效預(yù)測是著陸器軟著陸成功的關(guān)鍵一環(huán)。結(jié)合室內(nèi)試驗(yàn)、數(shù)值模擬和模型試驗(yàn)測試結(jié)果構(gòu)建了豎向沖擊數(shù)學(xué)力學(xué)模型，將月壤狀態(tài)特性，特別是力學(xué)參數(shù)的變化，通過精細(xì)時(shí)程積分算法應(yīng)用于動(dòng)力控制方程求解。將測試值與計(jì)算值對比，本研究建立的足墊-月壤相互作用豎向沖擊力學(xué)模型可以較好地估算沖擊過程中沖擊力、沖擊加速度和位移的時(shí)程變化規(guī)律和峰值，對沖擊作用時(shí)間亦有較好估算。軟著陸過程中，足墊與月壤的實(shí)際作用軌跡為三維空間曲線，復(fù)雜運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的足墊-月壤系統(tǒng)動(dòng)力模型的探索將為著陸緩沖機(jī)構(gòu)優(yōu)化提供重要科學(xué)依據(jù)。