薛東杰

(1.中國礦業(yè)大學(xué)(北京)力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083；2.重慶大學(xué) 煤礦災(zāi)害動力學(xué)與控制國家重點實驗室，重慶 400044；3.四川大學(xué) 水力學(xué)與山區(qū)河流開發(fā)保護國家重點實驗室，四川 成都 610065)

巖石力學(xué)和工程中巖石與巖體的概念并未清晰量化，定性分析無法確定合理的不連續(xù)空隙尺寸下限。從“千里之堤毀于蟻穴”的跨尺度角度分析，巖石基質(zhì)和孔裂隙尺度相當(dāng)時影響較大，而基質(zhì)尺度遠(yuǎn)大于孔裂隙時影響較小，尺度競爭影響著巖石或巖體強度。通常完整巖塊內(nèi)含相當(dāng)尺度裂隙，可認(rèn)為巖體，但反之并不容易定義完整巖石，因為無法絕對消除任何非連續(xù)空隙。地質(zhì)尺度等宏觀裂隙極易引起關(guān)注，而微觀或更小尺度空隙更容易被忽略，而尺度界限取決于基于人類視角獲得的工程經(jīng)驗，尚未進行科學(xué)量化界定，潛在核心問題是精準(zhǔn)量化巖石中的“完整”。相當(dāng)多研究成果把“完整巖石”都默認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)連續(xù)圓柱體或立方體，而連續(xù)性在數(shù)學(xué)上的定義很清晰，但針對孔隙巖石其定義就涉及到表征單元體(representative elementary volume，REV)，但如何評價RVE的完整性，如何評價連續(xù)性假設(shè)的合理性等問題懸而未決。Hudson指出：“小塊巖樣可以看作完整巖石，而當(dāng)巖樣尺寸增加，包含的裂隙數(shù)量也相應(yīng)地多起來”[1]。這段話內(nèi)涵為裂隙多少或密度分布的問題，尚未涉及極限問題：有無裂隙甚至孔隙的問題。直接針對空隙進行幾何評價，優(yōu)點是其幾何結(jié)構(gòu)的空間性、拓?fù)湫阅酥粱|(zhì)的空間分布都有助于直接關(guān)聯(lián)問題，缺點是需要極高精密的實驗設(shè)備用于空間建模和有效地數(shù)學(xué)描述。

Hoek基于實踐給出了不同于幾何角度的觀點，即基于力學(xué)認(rèn)識認(rèn)為完整巖塊的單軸抗壓強度可基于實驗室小尺寸試件，但小到何種程度可定義為下限尺寸缺乏論證。常見完整性定義多基于常識判斷，缺乏科學(xué)評價。之后，Hoek和Brown依據(jù)大量三軸試驗數(shù)據(jù)，于1980年提出狹義Hoek-Brown強度準(zhǔn)則(HB強度準(zhǔn)則)，把脆性破壞等同為破壞準(zhǔn)則，塑性破壞視為屈服準(zhǔn)則[2-3]，公式為：

(1)

式中：σ1和σ3分別代表巖石峰值強度對應(yīng)的最大和最小主應(yīng)力；mb為巖石軟硬程度，取值范圍0.001～25；s為巖石破碎程度，取值范圍0～1；σc為完整巖石的單軸抗壓強度。這是首次基于公式形式涉及到完整巖石單軸抗壓強度這一概念，但在更廣泛的工程應(yīng)用中并未引起足夠的重視。相當(dāng)多學(xué)者甚至Hoek本人均認(rèn)為基于直徑50 mm和高100 mm圓柱試樣測定的單軸抗壓強度可視為完整巖石強度，認(rèn)為此種圓柱試樣尺寸符合最小REV單元要求，這種觀點缺乏依據(jù)。事實上，在HB強度準(zhǔn)則中，參數(shù)s的定義為巖石破碎程度，即考慮了完整性，但只有s和σc出現(xiàn)在同一公式中，在統(tǒng)計意義上才會自洽。如何結(jié)合完整巖石強度統(tǒng)計平均破碎性尚缺乏探討。針對同一樣品，如何評價這兩個參數(shù)的矛盾性非常重要，尤其是當(dāng)前HB強度準(zhǔn)則被廣泛應(yīng)用到工程實踐中，更有必要厘清兩個概念中涉及到的“完整性”定義。當(dāng)圍壓滿足σc=0，公式(1)變?yōu)椋?/p>

(2)

s的取值范圍0～1，式(2)存在關(guān)系：σ1≤σc。當(dāng)s=1時，σ1=σc，即實測值等同于完整巖石單軸抗壓強度σc，顯然s=1意味著巖石的“完整”概念，此值越小完整性越差。Hoek給出了實例[4]，其中s=0.000 63，十分小，這種情況與完整圓柱統(tǒng)計是矛盾的，除非基于更小的尺度進行觀察。

如何定義巖石破碎程度參數(shù)s，Hoek和Brown并未給出標(biāo)準(zhǔn)定義，而這一潛在關(guān)切也并未引起廣泛而深入地探考。Hoek和Brown早期建議巖石破碎程度s依賴于巖體分級(rock mass rating，RMR)值[5-6]，后期建議其依賴于地質(zhì)強度指標(biāo)(geological strength index，GSI)，由此可見總體思路是首先室內(nèi)擬合出完整巖石單軸抗壓強度，然后利用工程尺度變量定義mb和s，最終實現(xiàn)室內(nèi)試驗與工程應(yīng)用的結(jié)合。很顯然第一步σc的準(zhǔn)確界定至關(guān)重要，基于三軸試驗數(shù)據(jù)，難以借鑒依賴工程尺度變量來定義s的方法。Hoek和Brown建議根據(jù)s=1擬合確定相關(guān)參數(shù)[4]：

(3)

(4)

(5)

問題仍然會聚焦在究竟什么樣的試樣可視為完整，如若一系列三軸試驗樣品都視為完整，擬合顯然是多余的，其單軸抗壓強度應(yīng)該視為理想的，可見不能預(yù)作假設(shè)為前提。Hoek提出了修改的HB破壞準(zhǔn)則[7]：

(6)

(7)

至此HB強度準(zhǔn)則有了廣為流傳的形式，包含四個關(guān)鍵參數(shù)：一個為力學(xué)強度：完整巖石的單軸抗壓強度σc；三個為材料常數(shù)：巖石軟硬程度參數(shù)mb、巖石破碎程度參數(shù)s和暫無明確定義材料參數(shù)。為契合工程，三個材料常數(shù)均可根據(jù)經(jīng)驗確定，但正如前文所述，完整巖石單軸抗壓強度σc的確定又需要借助三個材料參數(shù)，從而進入死循環(huán)，因而確定σc成為關(guān)鍵中的關(guān)鍵。

1 傳統(tǒng)非線性描述方法

測試煤巖取自埋深約1 000 m工作面，加工為高100 mm，直徑50 mm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱。樣品表面相對整齊，無裂隙或明顯損傷可視為完整。利用MTS815巖石力學(xué)系統(tǒng)開展單軸與三軸測試，在圍壓0、3.96、10、15、20及25 MPa時測得的峰值強度分別為5.99、44.00、69.67、85.10、94.97及104.0 MPa[11]。圖1為煤巖單軸、三軸抗壓強度和圍壓的關(guān)系，非線性特征明顯，若僅依賴試驗數(shù)據(jù)，視為樣品完整，即s=1，則存在σc=5.99 MPa，對比相關(guān)研究成果[12-13]，此值明顯偏小，應(yīng)為非理想狀態(tài)下的完整巖石單軸抗壓強度，這與完整性假設(shè)相矛盾。

圖1 突破HB準(zhǔn)則參數(shù)范圍限制的σ1-σ3關(guān)系

(8)

由式(8)可知，預(yù)測圍壓0、3.96、10、15、20及25 MPa時煤巖峰值強度分別為6.47、39.87、67.60、82.68、95.39及106.6 MPa，預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果誤差對應(yīng)為8.01%、-9.39%、-2.97%、-2.84%、-0.44%和2.50%，圍壓小于5 MPa時，誤差接近10%，偏大；圍壓大于5 MPa時，誤差小于3%，尚可接受，可見HB強度準(zhǔn)則在預(yù)測單軸或臨近單軸狀態(tài)煤巖強度時，偏差明顯偏大，這正是完整性假設(shè)引起的。

公式(8)描述曲線延續(xù)絕大多數(shù)成果假設(shè)：a=0.5，但另兩個參數(shù)值mb=49.68和s=3.1均明顯大于Hoek和Brown給出的范圍。

如若界定a=0.5，mb取值范圍0.001～25，分s=1和s∈(0，1)兩種情況進行討論。

第一種情況適用于室內(nèi)圓柱試樣：

(9)

第二種情況適用于工程尺度研究：

(10)

圖2針對巖石破碎程度參數(shù)s進行了對比，首先s=1和s∈(0，1)均符合傳統(tǒng)HB準(zhǔn)則描述范圍，由此可見公式(1)針對同一組數(shù)據(jù)并不具備唯一的描述形式，如若采取更普適的HB準(zhǔn)則公式(7)，材料參數(shù)a更不確定，更無法確定唯一的形式。另一方面，針對方程(1)，若視s為變量，很自然方程是可討論的，但每一組甚至每一個樣品的破碎程度均應(yīng)視為是唯一的，除非s是基于一組樣品，而非針對某一具體樣品，其描述的是破碎程度的統(tǒng)計分布。則可得s=1和s∈(0，1)兩種情況下對應(yīng)圍壓0、3.96、10、15、20和25 MPa的強度分別為：11.17、39.04、64.01、80.68、95.56和109.30 MPa；6.55、38.28、63.94、80.90、96.00和109.90 MPa，兩預(yù)測值之差為：4.62、0.70、0.08、-0.22、-0.43和-0.60 MPa。可見在HB強度準(zhǔn)則參數(shù)界定范圍內(nèi)，除了完整巖石單軸抗壓強度σc外，其余強度差別不大。盡管方程(9)和(10)形式不一致，但在高圍壓下強度偏差較小，可認(rèn)為二者是等效的，最大差別仍然是單軸抗壓強度σc，因此HB強度準(zhǔn)則在σ3=0附近存在不確定性。

圖2 傳統(tǒng)HB準(zhǔn)則下的σ1-σ3關(guān)系

2 新的線性描述方法

描述的本質(zhì)是實現(xiàn)數(shù)學(xué)與力學(xué)意義上的統(tǒng)一，重點是在保證力學(xué)意義的前提下盡量提高擬合精度。傳統(tǒng)方法主要是針對σ1和σ3或者(σ1-σ3)和σ3非線性關(guān)系進行描述，事實上，若不考慮單軸條件下試驗數(shù)據(jù)，非線性擬合精度仍然很高，而一旦考慮完整巖石單軸抗壓強度，擬合精度下降很快；若同時考慮完整巖石單軸抗拉強度σt，誤差幾乎無法接受，多數(shù)模型均是采取直接截斷方法，由此可見，單軸條件與三軸條件必然存在著尚未關(guān)注的某些力學(xué)本質(zhì)上的不同。將公式(1)改寫成[11-12]：

(11)

(12)

公式(12)有三個參數(shù)，通常先主觀確定σc值，取σc=5.99 MPa[11]，代入式(12)得：s=16.4；m=41.63，再代入式(11)得(圖3(b))：

圖3 σ1-σ3非線性關(guān)系的線性確定

(13)

由式(13)計算出峰值應(yīng)力的擬合值為：24.26、43.66、65.52、80.8、94.67和107.6 MPa，后五點的最大誤差為6%，但單軸強度的誤差高達(dá)305%(線性擬合的相關(guān)系數(shù)R2=0.958 7)。

如何減小誤差仍面臨挑戰(zhàn)，解決的關(guān)鍵在于公式(12)的求解，其有三個未知數(shù)，傳統(tǒng)策略均是預(yù)設(shè)完整巖石的單軸抗壓強度σc等于巖石單軸抗壓強度測試值，再反算真值，而所謂誤差即實測值與預(yù)測理論值偏離較大，但此時確定的理論值是存在假設(shè)前提的。若能消除這一前提，提高精度完全可能。

將σc=60 MPa[14]代入公式(12)得：s=0.163 47，m=4.156 3，再代入公式(1)得：

(14)

調(diào)整s值[14]，設(shè)s=0.000 063，代入公式(12)得：σc=3 056.3 MPa和m=0.081 6，再代入公式(1)得：

(15)

若設(shè)定m=0.1，代入公式(12)得：σc=2 493.8 MPa和s=0.000 094 6，再代入公式(1)得：

(16)

形式上看，公式(14)、(15)和(16)都不相同，但均以公式(12)為前提，本質(zhì)上仍等同于公式(13)，因此僅預(yù)設(shè)三個參數(shù)中的一個值難以提高精度，但該方法優(yōu)點是巖石單軸抗壓強度預(yù)測值不會隨著參數(shù)的預(yù)設(shè)而改變?？梢妶D3(b)中相同擬合曲線的三個力學(xué)描述參數(shù)并不唯一，雖然數(shù)學(xué)上曲線一致，但力學(xué)上難以界定，因此單純的數(shù)學(xué)擬合意義并不大，必須結(jié)合力學(xué)背景進行綜合考慮。

(17)

這樣HB強度準(zhǔn)則就由三參數(shù)σc，s和m變成二參數(shù)b和c，b即為線性擬合得到的一次項系數(shù)，c為線性擬合得到的常數(shù)項，只要把b和c代入公式(17)即可。

3 考慮誤差判據(jù)的強度界定

針對擬合數(shù)據(jù)偏差，Hoek和Brown[4]推薦了判定系數(shù)

(18)

來評判數(shù)據(jù)分布的線性特征。則由公式(1)計算的強度值判定系數(shù)r2=0.995 13；由公式(13)計算的強度值確定的判定系數(shù)r2=0.928 511。但正如上述分析，公式(14)、(15)和(16)單參數(shù)改動不會引起公式(17)中b和c值的變動，對應(yīng)HB強度準(zhǔn)則未有精度上的改進，因此不能單純依賴于判定系數(shù)。

針對巖石脆性破壞，力學(xué)模型的理想目標(biāo)是高精度匹配試驗數(shù)據(jù)。目前盡管發(fā)展了數(shù)百種模型，但囿于問題的復(fù)雜性，能經(jīng)得起時間考驗的模型少之又少，主要原因為針對不同試驗數(shù)據(jù)的誤差過大。因此模型建立時誤差的判定對于可靠性評判十分重要，根據(jù)上述分析，求解公式(12)時，先確定完整巖石的單軸抗壓強度σc，再計算其他兩個參數(shù)，最終得到的單軸抗壓強度與假定值并不符合。這雖不影響HB強度準(zhǔn)則曲線，但對三個參數(shù)的確定影響極大，即表達(dá)式和力學(xué)意義存在不確定性，這或許是Hoek和Brown設(shè)定參數(shù)范圍的潛在原因。

對于判斷哪條曲線更合理，根據(jù)公式(17)可以看出，關(guān)鍵參數(shù)b和c值的確定極其重要。這里引入四種誤差評判方式：絕對誤差絕對值和Δ1、絕對誤差平方和Δ2、相對誤差絕對值和Δ3以及相對誤差平方和Δ4，分列如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

描述的原則是盡量降低四種誤差至最小，這就需要一個循環(huán)算法，反復(fù)比較尋找誤差最小值?；诠?17)確定理想的b和c值(圖4)?；驹頌榧俣ㄆ渲幸粋€參數(shù)值，引入四種判據(jù)，設(shè)定步長，反復(fù)循環(huán)追蹤誤差至最小值；待一個參數(shù)確定后，再采用類似算法確定第二個值。兩個循環(huán)下的最小誤差被認(rèn)為是可接受的。

圖4 確定擬合參數(shù)b和c的循環(huán)算法

對公式(8)和公式(13)的預(yù)測結(jié)果進行四種誤差評判，分別為12.120、34.365、0.262和0.018；30.960、382.671、3.206和9.310。顯然新的算法在遵守HB強度準(zhǔn)則參數(shù)限定下，整體誤差偏大，而基于公式(1)雖然提高了精度，但突破了相關(guān)參數(shù)范圍界定，給力學(xué)模型的準(zhǔn)確理解增加了困難。

如圖5所示，利用尋求最小誤差算法，基于判據(jù)一(絕對誤差絕對值和)確定b=250.5，c=611.8，對應(yīng)誤差Δ1b=11.839，Δ1c=11.768；基于判據(jù)二(絕對誤差平方和)確定b=237.7，c=866.7，對應(yīng)誤差Δ1b=38.34，Δ1c=38.335；基于判據(jù)三(相對誤差絕對值和)確定b=231.5，c=687.3，對應(yīng)誤差Δ1b=0.186，Δ1c=0.172；基于判據(jù)四(相對誤差平方和)確定b=226.3，c=868.9，對應(yīng)誤差Δ1b=0.01，Δ1c=0.009。

圖5 4種誤差判據(jù)

根據(jù)b值可很快確定HB強度準(zhǔn)則曲線，兩種誤差Δ1b和Δ1c相差不大且不斷減小，相比初始值b和c界定范圍[1 900，2 000]，兩個參數(shù)迅速收斂到誤差最小值。整體上看，四種判據(jù)下HB強度準(zhǔn)則曲線類似但并不同。當(dāng)σ3=0時，對應(yīng)完整巖石單軸抗壓強度分別為：σc1=24.7 MPa，σc2=29.4 MPa，σc3=26.2 MPa和σc4=29.5 MPa，而根據(jù)公式(8)、(9)、(10)和(13)確定的強度值分別為6.47、11.17、6.55和24.26 MPa。

表1羅列了文中所述HB強度準(zhǔn)則表達(dá)式，基本上可分兩類：公式(8)、(9)和(10)是針對非線性分布直接進行非線性擬合；公式(13)、判據(jù)一、二、三和四是基于線性間接進行非線性擬合，二者本義不同。除了公式(8)和(13)，方程整體形式均服從傳統(tǒng)HB強度準(zhǔn)則限定的范圍。但三參數(shù)均不相同，盡管判據(jù)一、二、三和四無需參數(shù)s和mb，但其可根據(jù)預(yù)測σc′反算?？梢奌B強度準(zhǔn)則形式不一，針對某一固定試驗數(shù)據(jù)，HB強度準(zhǔn)則形式的不確定性將影響其準(zhǔn)確性。這里重點關(guān)注預(yù)測的整巖石的單軸抗壓強度σc′，分別為6.74、11.17、6.55、24.26、24.7、29.4、26.2和29.5 MPa，前三者差異較大；其與試驗值之比σc′/σc0分別為1.125、1.865、1.093、4.05、4.124、4.908、4.374和4.925。公式(8)和(10)與實測值接近，雖鮮有文獻采用，但公式(8)精度高；公式(10)符合傳統(tǒng)HB強度準(zhǔn)則定義。公式(9)是s=1時確定的形式，單軸強度明顯大于實測值[11]，根據(jù)傳統(tǒng)HB強度準(zhǔn)則應(yīng)予推薦，但是在不同的成果中很難出現(xiàn)s=1和mb=25的理想情況，這里只是巧合，因此仍難以確定其具體形式。依據(jù)新的線性擬合思想，所列公式(13)、判據(jù)一、二、三和四的形式相仿，尤其是與預(yù)測完整巖石的單軸抗壓強度σc′相似，分別為24.26、24.7、29.4、26.2和29.5 MPa，其值相對穩(wěn)定，但比傳統(tǒng)HB強度準(zhǔn)則預(yù)測值稍大。

表1 不同HB準(zhǔn)則方程及對應(yīng)完整巖石單軸抗壓強度對比

4 結(jié)論

傳統(tǒng)和普適HB強度準(zhǔn)則被視為巖石力學(xué)中描述屈服或破壞的經(jīng)典準(zhǔn)則，并隨應(yīng)用的擴展促使其從巖石力學(xué)領(lǐng)域拓寬到巖體力學(xué)領(lǐng)域。結(jié)論如下：

1)證實了傳統(tǒng)HB強度準(zhǔn)則表達(dá)式的不確定性。傳統(tǒng)HB強度準(zhǔn)則中兩個參數(shù)巖石軟硬程度mb和巖石破碎程度s默認(rèn)為建議范圍，但仍然存在滿足參數(shù)范圍限制的多解問題。這一潛在不確定性主要影響完整巖石單軸抗壓強度σc的準(zhǔn)確界定，其主要原因在于對巖石完整性尚無公認(rèn)的定義，巖體相對巖石容易確定，而巖石間完整性比對尚無解決方案。

3)提出了完整巖石單軸抗壓強度確定的建議方案。傳統(tǒng)HB強度準(zhǔn)則無法確定唯一的完整巖石單軸抗壓強度σc，這一困擾將影響室內(nèi)巖石力學(xué)試驗向室外巖體工程應(yīng)用擴展。結(jié)合線性解決方案和任一誤差判據(jù)可唯一確定擬合曲線，并可保證完整巖石單軸抗壓強度σc的唯一性。盡管目前真值無法確定，但與傳統(tǒng)HB強度準(zhǔn)則相比，推薦解決方案仍然可視為理想的，其參數(shù)均符合傳統(tǒng)定義范圍且四種方案給出的完整巖石單軸抗壓強度σc十分穩(wěn)定。

致謝：研究工作啟發(fā)于成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治和地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室陳津民老師的建議，數(shù)據(jù)整理和修改中得到了碩士生盧嵐大力協(xié)助，在此特別感謝！