陳民

摘要：三線八角，既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，對(duì)這一知識(shí)掌握的好與壞將直線影響到平行線判定與性質(zhì)的學(xué)習(xí)。如何識(shí)別三類角？當(dāng)面對(duì)一個(gè)稍微復(fù)雜的圖形時(shí)，很多學(xué)生就無(wú)從下手，恐懼襲心，繳械投降。其實(shí)，破解它是有方法可依、有思路可循的?？淳€段抓截線，看兩側(cè)找兩被截線，配對(duì)兩點(diǎn)的方位角，三類角便極速魚(yú)貫而出。

關(guān)鍵詞：線段;截線;被截線;三類角

中圖分類號(hào)：G633.6 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B ? ?文章編號(hào)：1672-1578（2020）23-0172-01

兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)造出八個(gè)角，一般稱為“三線八角”（見(jiàn)圖1）。其中沒(méi)有公共頂點(diǎn)的角可分為三類：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。它們位置形狀特征分別是同側(cè)且同方的“F型”、兩側(cè)且內(nèi)部的“Z型”、同側(cè)且內(nèi)部的“U型”。從結(jié)構(gòu)圖可看出，三線中必有一條線段，線段所在線為公共邊即截線。線段兩端點(diǎn)連著兩線即非公共邊，所在線為兩條被截線。顯而易見(jiàn)，線段之所在是截線之所在，線段成為快速解題的關(guān)鍵。由此歸納出找三類角的口訣：

一看線段，找公共邊（截線）

二看兩側(cè)，找另兩邊（兩被截線）

三看構(gòu)圖，照對(duì)字母

找三類角的最難題目類型為在復(fù)雜圖中指出所有的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，下面介紹破解妙法：

在幾條相交的被截直線‘多余地出現(xiàn)且直線有時(shí)又退化成射線或線段的變式圖形中，為了方便快速識(shí)別三類角，我們不妨把同頂點(diǎn)、同方位的角匯集為一個(gè)集合，并把同一集合的所有元素角的非公共邊合一（可取一邊代表），這時(shí)復(fù)雜圖形就簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單圖形，三線的位置恢復(fù)常態(tài)，八角的關(guān)系就更加清晰了，問(wèn)題更易解決。

例如：將圖2簡(jiǎn)化成圖3，①∠MEG、∠NEG與∠1同頂點(diǎn)同方位，匯集為一個(gè)集合{∠NEG，∠1，∠MEG}，同時(shí)∠MEF、∠NEF與∠4匯集為一個(gè)集合{∠MEF，∠NEF與，∠4}，非公共邊ME、NE、EB合一并取邊EB為代表。

②∠PFE與∠5同頂點(diǎn)同方位，匯集為一個(gè)集合{∠PFE，∠5}，∠PFH與∠8同頂點(diǎn)同方位，匯集為一個(gè)集合{∠PFH，∠8}，非公共邊PF、DF、合一并取邊DF為代表。

巧用集合角的特點(diǎn)，快速配對(duì)出同類角。因?yàn)榧显亟峭旤c(diǎn)同方位，所以兩個(gè)集合之間的角元素進(jìn)行兩兩配對(duì)所形成的角種類必定一樣。比如：如圖2，顯然∠4與∠5形成同旁內(nèi)角，那么可知∠4所在的集合元素角與∠5所在集合的元素角兩兩配對(duì)都形成同旁內(nèi)角。也即所有以E為頂點(diǎn)的右下方位角（如∠4）與所有以F為頂點(diǎn)的右上方位角（如∠5）兩兩配對(duì)都形成同旁內(nèi)角（如∠4與∠5）。那么圖2的同旁內(nèi)角有哪些呢？因?yàn)椋汉?jiǎn)化圖3的右側(cè)以E為頂點(diǎn)右下方的角{∠MEF，∠4，∠NEF}與以F為頂點(diǎn)右上方的角{∠PFE，∠5}兩兩配對(duì)得出同旁內(nèi)角有{∠MEF與∠PFE，∠NEF與∠PFE，∠4與∠PFE，∠MEF與∠5，∠NEF與∠5，∠4與∠5}，還有左側(cè)的∠3與∠6。所以，圖2的同旁內(nèi)角共有：∠MEF與∠PFE，∠NEF與∠PFE，∠4與∠PFE，∠MEF與∠5，∠NEF與∠5，∠4與∠5，∠3與∠6。

【例1】如圖4，指出圖中所有的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角。

分析：一般，線段所在就是截線所在。解答這類題目的關(guān)鍵是找兩端都有連接線的線段，這樣的線段所在線可看成截線。圖4是一個(gè)含有幾個(gè)變式三線八角圖的復(fù)雜圖形，可按截線逐一抽出簡(jiǎn)化圖，寫(xiě)出需要的方位角集合，并兩兩配對(duì)得出三類角。

在圖4中，共有三條線段，線段AB、AC、BC所在線都是截線。分別以AB、AC、BC為截線抽出簡(jiǎn)化圖5、圖6、圖7。

如圖5：AB為公共邊、截線，EF、BC代表非公共邊、被截線

①同位角：{∠MAF，∠MAC}與{∠ABC，∠ABP}兩兩配對(duì)得{∠MAF與∠ABC，∠MAC與∠ABC，∠MAF與∠ABP，∠MAC與∠ABP}

②內(nèi)錯(cuò)角：{∠BAE，∠BAN，∠BAD}與{∠ABC，∠ABP}兩兩配對(duì)得{∠BAE與∠ABC，∠BAN與∠ABC，∠BAD與∠ABC，∠BAE與∠ABP，∠BAN與∠ABP，∠BAD與∠ABP}

③同旁內(nèi)角：{∠BAC，∠BAF}與{∠ABC，∠ABP}兩兩配對(duì)得{∠BAC與∠ABC，∠BAF與∠ABC，∠BAC與∠ABP，∠BAF與∠ABP}

如圖6：AC為公共邊、截線，BC、EM代表非公共邊、被截線

①同位角：{∠DAN，∠DAE，∠DAB}與{∠C}兩兩配對(duì)得{∠DAN與∠C，∠DAE與∠C，∠DAB與∠C}

同理，兩兩配對(duì)得出，②內(nèi)錯(cuò)角：{∠CAF與∠C，∠CAM與∠C}③同旁內(nèi)角：{∠CAN與∠C，∠CAE與∠C，∠CAB與∠C}

如圖7：有內(nèi)錯(cuò)角∠PBC與∠C，同旁內(nèi)角∠ABC與∠C。

綜上所述，就可以得到以下答案：

解：①同位角：∠MAF與∠ABC，∠MAC與∠ABC，∠MAF與∠ABP，∠MAC與∠ABP;

②內(nèi)錯(cuò)角：∠BAE與∠ABC，∠BAN與∠ABC，∠BAD與∠ABC，∠BAE與∠ABP，∠BAN與∠ABP，∠BAD與∠ABP，∠CAF與∠C，∠CAM與∠C，∠PBC與∠C;

③同旁內(nèi)角：∠BAC與∠ABC，∠BAF與∠ABC，∠BAC與∠ABP，∠BAF與∠ABP，∠CAN與∠C，∠CAE與∠C，∠CAB與∠C，∠ABC與∠C。

參考文獻(xiàn)：

[1] 七年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版版）.