范 洪 霞

(哈爾濱商業(yè)大學(xué) 基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院，哈爾濱 150028)

頂點(diǎn)算子代數(shù)起源于數(shù)學(xué)中的魔鬼群表示、月光猜想和物理學(xué)中的共形場(chǎng)理論.頂點(diǎn)算子是頂點(diǎn)算子代數(shù)結(jié)構(gòu)中的核心部分，它最早出現(xiàn)在物理學(xué)的弦理論中.為了描述弦之間的相互作用，物理學(xué)家引入了一種局部算子，即某種頂點(diǎn)算子.在弦理論和共形場(chǎng)論中，弦之間的相互作用是由頂點(diǎn)算子在一個(gè)無(wú)窮維向量空間上的作用來(lái)表示.在某種意義下，頂點(diǎn)算子是場(chǎng)算子的代數(shù)描述.

R·E· Borcherds[1]首次引入了頂點(diǎn)代數(shù)的數(shù)學(xué)定義，這標(biāo)志著頂點(diǎn)代數(shù)理論的誕生.1988年，F(xiàn)renkel L, Lepowsky和Meurman[2]引入了頂點(diǎn)算子代數(shù)的概念.至今頂點(diǎn)算子代數(shù)理論已有完備公理體系和結(jié)構(gòu)及表示理論.Frenkel I和Zhu[3]分別構(gòu)造了許多頂點(diǎn)代數(shù)例子.Meurman,Primc[4]、Xu[5]構(gòu)造了一些Virasoro代數(shù)、Heisenberg代數(shù)、仿射李代數(shù)、格相關(guān)的頂點(diǎn)代數(shù)的例子.李海生[6-8]等人給出了素特征域上仿射頂點(diǎn)代數(shù)的扭模，建立了一些經(jīng)典代數(shù)(如雙楊氏代數(shù))同量子頂點(diǎn)代數(shù)的自然聯(lián)系以及探索了三角李代數(shù)、仿射李代數(shù)、頂點(diǎn)代數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系.姜翠波,林宗柱[9]用范疇的語(yǔ)言對(duì)頂點(diǎn)算子代數(shù)理論中的一些構(gòu)造加以解釋.李楊[10]素特征域上頂點(diǎn)代數(shù)的局部系.程俊芳,楚彥軍[11-12]給出了扭的Heisenberg-Virasoro頂點(diǎn)算子代數(shù)的一個(gè)特征.王書琴[13-15]構(gòu)造了相應(yīng)于非退化可解李代數(shù)的頂點(diǎn)算子代數(shù)以及它的一類子代數(shù)結(jié)構(gòu).本文研究相應(yīng)于非退化可解李代數(shù)的頂點(diǎn)算子代數(shù)的模的結(jié)構(gòu)性質(zhì).并且得到了以下結(jié)果: 仿射李代數(shù)的水平為的限制模與頂點(diǎn)算子代數(shù)模一致；的頂點(diǎn)算子代數(shù)的不可分解模存在子模的合成列.

φ∶→EndWa?tn|→φ(a?tn)=aW(n),

K|→φ(k)=l·1W

(1)

YW(a,x)

(2)

換位運(yùn)算可等價(jià)表示為

(3)

[YV(a,x1),YV(b,x2)]=

YV((YV(a,x1-x2)-YV(a,-x2+x1))b,x2)=

(4)

a?tn|→=a(n)=aV(n),k|→l

(5)

ψ(a(x))=aV(x)=YV(a,x)

(6)

[YV(a,x1),YV(b,x2)]=

(7)

比較式(6)、(7)有：

i=0,a0b=[a,b];i=1,a1b=l;i≠0,1,aib=0.

(8)

[YW(a,x1),YW(b,x2)]=

(9)

將式(8)代入得

(10)

即

φ([a(x1),b(x2)])=[φ(a(x1),φ(b(x2))],φ[a?tn,b?tm]=[φ(a?tn),φ(b?tm)].

(11)

aW(x)nbW(x)=Eesx1((x1-x)naW(x1)bW(x)-(x1-x)nbW(x)aW(x1)),

(12)

aW(x)nbW(x)∈ε(W)，

令

UW(x)=span{aW(1)(x)n1…aW(r)(x)nr1W|a(i)∈g,ni∈Z,r≥0}.

規(guī)定

Yε(x)(aW(1)(x)n1…aW(r)(x)nr1W,x0)=

a(1)(x0)n1…a(r)(x0)nr1W.

(13)

YW(x)(aW(1)(x)n1…aW(r)(x)nr1,x0)=

a(1)(x0)n1…a(r)(x0)nr1W.

(14)

由Yε(·,x0)滿足Jacobi 等式

YW(x)(aW(1)(x)n1…aW(r)(x)nr1,x0)=

Yε(aW(1)(x)n1…aW(r)(x)nr1W,x0)

(15)

所以YW(·,x0)也滿足Jacobi等式，綜上(W,YW)是一個(gè)頂點(diǎn)代數(shù)模.

(16)

由PBW定理

M(l,W)={a(1)(-m1)…a(r)(-mr)u|r≥0,a(i)∈g,mi≥1,1≤i≤r,u∈W}.

(17)

(18)

(19)

其中

(20)

并且

[L(m),a(n)]=-na(m+n),

(21)

[L(m),L(n)]=(m-n)L(m+n)+

(22)

由定理1.1知M(l,W)是頂點(diǎn)代數(shù)模.記L(n)=LM(n),a(m)=aM(m)因?yàn)槟Ｗ饔贸朔ū３謸Q位運(yùn)算，所以式(21)、(22)在M(l,W)也成立,且

(23)

(24)

(25)

所以

(hM+n)v}.

(26)

下面討論作為頂點(diǎn)算子代數(shù)模M(l,W)的合成列.

定理1.3 設(shè)W是非退化可解李代數(shù)g的有限維模,誘導(dǎo)模M(l,W)作為頂點(diǎn)算子代數(shù)模, 那么

1)存在頂點(diǎn)算子代數(shù)模Mi,i=1,…,t.使

M(l,W)=Mt?Mt-1?…M1?M0=0

(27)

2)不存在頂點(diǎn)算子代數(shù)真子模M,使MiMMi-1(i=1,…,t)成立.

證明1)W是有子模合成列

W=Wt?…W1?W0=0 dimWi/Wi-1=1

(28)

構(gòu)造誘導(dǎo)模

(29)

由式(28)得

M(l,W)=Mt?Mt-1?…M1?M0=0

(30)

2)若存在頂點(diǎn)算子代數(shù)模M,使MiMMi-1,i=1,…,t.則有

(31)

又g=g?t0,?a∈g,a=a(0),a∈g,v∈M(h+n),n∈N,L(0)v=(h+n)v,則有

L(0)av=L(0)a(0)v=a(0)L(0)v+[L(0),a(0)]v=a(0)L(0)v=(n+h)a(0)v=(n+h)av

(32)

所以

g·M(h+n)?M(h+n)

(33)

從而每個(gè)齊次子空間M(h+n)都是g模.最低權(quán)空間M(h)是g模.若M(h)?Wi,必存在u∈M(h),u?Wi,從而u∈M(h),u?Wi從而

(34)