宋孟書，郭永江

(北京郵電大學 理學院，北京 100876)

對于游戲軟件、電子產品、服裝鞋子、家居裝飾等設計類產品，不同樣式的商品雖然造價相同，由于設計風格或者功能著重點不同，所受市場歡迎度往往有很大差別.這就導致商家在銷售過程中出現(xiàn)不受歡迎的樣式的商品銷售量很少甚至出現(xiàn)庫存過剩的情況.而大多數情況下，多生產一類產品往往比多設計一類產品的成本要高的多.但是商家若只推出一類產品，則會減少顧客的購買可選擇度，從而降低了顧客的購買欲望.如何減少損失、最大化商品利潤，是商家首要解決的問題.

本文考慮的顧客為策略型消費者，該類顧客在第0階段觀測到商家的價格分布函數后，通過將自己之前購買產品的消費結果考慮在內，給出購買策略.Bulow[1]和Stokey[2]提出了研究有策略顧客定價的重要性.Aviv和Pazga[3]提出，如果零售商忽略顧客是有策略的，那么零售商將會損失20%的利潤.K?szegi和Rabin[4]給出了策略型顧客的效益函數.Liu和Zhang[5]研究了兩個公司當面對有策略的顧客時的動態(tài)價格競爭模型.

損失厭惡(loss aversion)是指在在同等規(guī)模下，人們不喜歡損失的程度超過其喜歡獲利的程度.這使得個人對小規(guī)模和適度規(guī)模的貨幣風險非常厭惡.例如，試驗顯示，許多人寧愿選擇無風險(即100%的機會)地獲得3 000元，也不會傾向于選擇有80%的機會贏得4 000元的賭博.Kahneman[6]在“前景理論”(Prospect Theory)中指出，在可以計算的大多數情況下，人們對“所損失的東西的價值”的估計要高出對“得到相同東西的價值”的兩倍.

雖然厭惡損失會導致個人厭惡風險，造成消費者在消費過程中更在意金錢的流失，以至于消費可能性的降低.但也許多研究表明，消費者的損失厭惡也會產生相反的影響：企業(yè)可以通過利用消費者的厭惡損失心理，通過分析消費者的事前效益，將自己的決策引入一個更明智的環(huán)境，使自身效益得到提高.這是因為，當消費者決定在第1階段以銷售價格購買時，不會考慮到這會增加第0階段的消費預期，從而降低了預期效用.而這正是政策制定的商家的兩階段定價策略所操縱的.Ericson和Fuster[7]發(fā)現(xiàn)，如果消費者期望以80%～90%而不是10%～20%的概率獲得一個物體，那么他愿意為這個物體多付20%～30%的費用.Benartzi和Thaler[8]首先嘗試用投資者損失厭惡解釋了股權溢價之謎.Herweg[9]和Macera[10]證明了，面對損失厭惡型員工，最優(yōu)激勵合同的工資變化比基于經典模型的預期更少.Heidhues和K?szegi[11]研究了面對損失厭惡型顧客，出售單一產品類型商家將商品價格定為正常定價(regular prices)和折扣價格(sales)的價格組成方式的合理性.

本文在Heidhues和K?szegi[11]的基礎上研究了面對多類商品的損失厭惡型顧客的決策行為.并提供了一種生產策略：商家可通過對以往銷售數據的分析，只生產售賣最受歡迎的一類產品，但在商品上市前會推出多種類別的商品供銷售者選擇.通過分析消費者的事前效益，研究其將在不同類別產品的差價滿足何種條件時選擇購買高價類別產品[12-15].

1 模型

基本定價模型由一個最大化自身效益的風險中性壟斷者和一個規(guī)避損失的消費者構成，壟斷者尋求向一個有代表性的消費者銷售具有確定生產成本c的單一產品.

在模型中，商家只出售一類產品，但在該商品上市前商家會給出多類其設計的產品.本文假設商家設計的不同種類商品具有相同的生產成本c.

壟斷者和消費者之間的互動持續(xù)兩個階段：第0階段和第1階段.在第0階段，壟斷者承諾其產品的價格分配函數為Π(·)，消費者了解到價格分布，通過對自身的事前效益函數進行分析制定購買計劃，并對自己的消費結果形成信念.在第1 階段，商家將顧客的事前效益函數考慮到自身決策中，從價格分布函數Π(·)中提取價格p，確定售賣產品的產品類別.消費者觀察到商品價格后，決定是否購買單個此類產品，設其購買的數量為b∈{0,1}.

對于消費者，假設其事前效用函數由兩個部分組成，一部分是消費效用(consumption utility)，一部分是損益效用(gain-loss utility).顧客的消費效用為kv-kp，其中kv=vb和kp=-pb分別是其在產品維度和貨幣維度上的消費效用.此外，在第0階段，顧客根據自己對消費結果的期望給出參考點(reference point)(rv,rp)，其中rv和rp分別為其在產品維度和貨幣維度的參考點.顧客通過把第0階段的參考點和第1階段的消費結果進行比較，得出損益效用u(ki|ri).損益效用函數由收益和虧損兩部分構成，收益部分的斜率η≥0，代表了顧客做決策時參照點對其決策的影響程度；虧損部分的斜率為λη≥η，參數λ≥1為附加在損失效用函數上的權重.

給定消費結果(kv,kp)和參照點(rv,rp)，顧客的總消費效用為

u(kv|rv)+u(kp|rp)=kv+μ(kv-rv)+

kp+μ(kp-rp).

(1)

顧客在評估其消費結果(kv,kp)時，將其與所有可能的參照點進行比較.假設參考點(rv,rp)服從概率分布F=(Fv,Fp)，且對任意的i，定義

(2)

則對于消費結果(kv,kp)，顧客的事前消費效用為U(kv|Fv)+U(kp|Fp).

下面的討論中，為方便起見，假設在第0階段，商家設計的產品分為高價和低價兩類產品，其價格分配函數為

(3)

即商家承諾：在第一階段推出價格為ph的高價產品的概率為π(ph)，推出價格為pl的低價產品的概率為π(pl).并且滿足π(ph)和π(pl)都為非負實數，π(ph)+π(pl)=1.故有

(4)

相應的，消費者在產品維度上，對價格為ph的產品產生固定消費效益vh，對價格為pl的產品產生固定消費效益vl，并且vh>vl.

記差價變量

Δp=ph-pl,

(5)

對于商家，其目標為

maxΔp.

本文將會討論當顧客為確定購買單件商品的類型這一特殊情況時的決策行為，并將此類顧客稱作“確定型消費顧客”.

當商家面對的為具有厭惡損失心理的確定型顧客的特殊情況時，假設該類顧客的參照點服從分布

(6)

下面不妨取π(ph)=q，π(pl)=1-q.

此時顧客的行為分為兩種情況：

當顧客選擇購買高價產品時，其在產品為維度上的效益包括兩個部分：(i)消費效益vh;(ii)購買高價商品比購買低價商品多獲得的產品收獲感(1-q)η(vh-vl)；在貨幣為維度上的效益也包括兩個部分：(i)消費效益-ph;(ii)購買高價商品比購買低價商品多獲得的貨幣損失感-(1-q)ηλ(ph-pl).

當顧客選擇購買低價產品時，其在產品為維度上的效益包括兩個部分：(i)消費效益vl;(ii)購買低價商品比購買高價商品多獲得的產品損失感-qηλ(vh-vl)；在貨幣為維度上的效益也包括兩個部分：(i)消費效益-pl;(ii)購買低價商品比購買高價商品多獲得的貨幣收獲感qη(ph-pl).

以上兩種情況總結成見表1.

表1 消費者效益分析

消費者在第0階段通過分析自身總消費效用，將選擇自己在“購買單件高價產品時的總消費效益大于購買單件低價產品時的總消費效益”的情況下購買高價產品.令購買單件高價產品的總消費效益等于購買單件低價產品的總消費效益，得到差價界值點，類似于K?szegi[4]及K?szegi和Rabin[11]中定義的“PE”，我們將這些界值差價點稱作個人均衡點(personal equilibrium).

本文考慮以下兩個問題：1)確定型消費顧客能接受的最高差價；2)商家如何設置第0階段的價格分布函數能增加自身效益.

2 主要結論

通過分析顧客的事前效益函數，給出具有損失厭惡的顧客能接受的最大產品差價，進而得到了想要提高自身效益的商家的價格分布函數需滿足的條件.

首先給出商家將銷售模式從“直接售賣單類商品”的單階段銷售模式改為“在第0階段聲稱設計多類產品”的兩階段報價模式的合理性，然后考慮最優(yōu)差價問題.商家在第0階段給出高價產品的價格ph、低價產品的價格ph，以及兩類產品相應的生產概率π(ph)、π(pl)；在第1 階段出售價格為ph的高價產品.則差價變量Δp由第0階段的ph、ph以及π(ph)、π(pl)共同決定.所以，零售商的決策問題實際是第0階段的價格分配函數Π(p).

假設顧客在第1階段的任何漠視都有利于購買高價產品，即當顧客購買高價產品與購買低價產品的效益相同時，顧客更傾向于購買高價商品.顧客通過其事前效益函數得到其所能接受的最高差價Δp*(PE)，那么顧客在第0階段觀測到ph-pl≤Δp*時，會在第1階段選擇購買高價產品；反之，當差價ph-pl>Δp*時，顧客會在第1階段選擇購買低價產品，此時若第1階段市場上沒有低價類產品出售，顧客不會購買商品.商家通過分析顧客的行為，就會選擇顧客的個人均衡點(PE)作為其在第0階段所設置的產品差價，由此可得最優(yōu)差價Δp*.

不同于僅僅生產單類產品或者同時出售多類產品的單階段生產營銷模式，本文為商家提供的策略采用的是兩階段報價模式：第0 階段給出多類產品及相應價格，第1階段商家從第0階段給出的價格分布中挑選出一類產品進行生產和銷售.

引理3.1.商家采取兩階段報價能提高自身效益.

這是因為，以最一般的銷售模型為例，不考慮顧客的非零參照點.當商家直接售賣單價格為ph的單類商品時，一位理性消費者只會在vh≥ph時選擇購買單件此類商品，商家此時在單位商品上的獲利最高為vh-c.當商家在第0階段聲稱設計價格分別為pi(i=1,2,…,N)的N類產品時，消費者對每類產品產生相應的固定消費效益及購買概率vi和qi，根據消費者的事前效用函數，當∑qi(vi-pi)≥0時顧客選擇購買產品，此時有

(7)

注釋3.1 商家采取兩階段報價的銷售模式，增大了顧客可接受的高價產品的最高價格，從而提高了商家出售高價產品時可得的效益.

根據效用函數的定義，只有購買高價產品的效用不小于不購買低價產品的效用時，顧客才會選擇購買高價產品，即

U(vh|Fv)+U(-ph|Fp)≥U(vl|Fv)+

U(-pl|Fp).

(8)

定理3.1 當ph、pl滿足條件：

0≥ph-pl-(vh-vl)T,

(9)

顧客選擇購買高價商品.其中

注釋3.2 由于在ph、pl滿足條件[b1]時，顧客選擇購買高價商品，故將[Shopping-high]兩邊取等號，得到高價商品的臨界價格ph=pl+(vh-vl)T.記此臨界價格為ph(pl)，即ph(pl)=pl+(vh-vl)T.所以當Δp*滿足條件

Δp*=ph(pl)-pl=(vh-vl)T

(10)

時，顧客會在Δp≤Δp*的情況下選擇購買高價產品.

商家在第0階段所給出的價格分配函數，是通過顧客的行為得到的.只有當在第0階段商家給出的差價小于顧客的個人均衡差價點Δp*時，顧客才會選擇購買高價類產品，所以顧客的個人均衡介值差價點Δp*即為商家的最優(yōu)差價值maxΔp.由此可得商家的價格分配函數所具有的特點.

定理3.2 商家面對確定型消費顧客時的最優(yōu)價格分配函數

(11)

其中Δp*=(vh-vl)T，q∈[1/2,1].

注釋3.3 當商家面對的是帶有厭惡損失的確定型消費顧客時，其單位產品可取的最高差價為Δp*，且將高價商品定為價格ph=pl+Δp*的概率q需滿足q≥1/2.q≥1/2體現(xiàn)了：若高低價商品在銷售階段同時出售，顧客購買高價產品的概率大于購買低價產品的概率.這與本文基于的市場銷售背景以及給出生產銷售策略相一致，即“在第1階段生產的高價產品這一類別是市場中最受消費者歡迎的產品類別”.

性質3.1 若商家設置的差價大于Δp*，顧客會傾向于購買低價產品；如果商家設置的差價小于Δp*，顧客會傾向于購買高價產品.

這表明了如果Δp*增大，顧客會傾向于購買低價產品；如果Δp*減小，顧客會傾向于購買高價產品.所以即使商家想通過尋求更高的差價來提高高價產品的價格，從而提高自身效益，但在面對具有厭惡損失心理消費者的情況下，商家的差價最高只能設置為Δp*，若差價大于Δp*，那么顧客就不會選擇購買高價產品.

商家利用顧客的損失厭惡心理來幫助自己提高效益，下面研究顧客是風險中性的類別時，商家的定價決策.

性質3.2 當面對的為風險中性的顧客時，商家所能設置的最高差價為maxΔp=vh-vl.

這表明了當面對的顧客為風險中性的類型時，商家不能再通過利用消費者的厭惡損失心理來提高差價，從而增加自身效益.這是因為當λ=1時，顧客的事前效用函數中損益效用u(ki|ri)部分變?yōu)?，只剩消費效用kv-kp.此時顧客只會在ph-pl≤vh-vl時購買高價商品，所以商家只能通過固定值vh-vl來尋求最大差價，此時商家設置的差價需要滿足Δp≤vh-vl.

下面給出商家面對確定消費型顧客時的最優(yōu)差價Δp*的精密度分析.

性質3.3 最優(yōu)差價Δp*與q，η，λ的關系為：1)Δp*隨q的增大而增大；2)Δp*在q≥1/2時隨η的增大而增大；3)Δp*在q≥1/2時隨λ 的增大而增大.

性質3.3中1)說明了當顧客想要購買高價產品的概率q越高，其所能接受的最高差價Δp*越大.性質3.3中2)和3)說明了當顧客想要購買高價產品的概率q≥1/2時，顧客越重視參照點或對于損失的厭惡感越強烈時，其所能接受的最高差價Δp*越大.這體現(xiàn)了消費者的損失厭惡對其消費決策產生的相反影響，而商家正是通過利用消費者的這種心理，提高了商品差價，從而提高自身效益.同時，q≥1/2也對應了定理3.2中商家最優(yōu)價格分配函數所滿足的條件q≥1/2，與本文基于的市場背景以及給出的生產策略“在第1階段生產的高價產品這一類別是市場中最受消費者歡迎的產品類別”相一致.

3 結 語

隨著人們生活水平的持續(xù)提高，對消費產品的審美要求不斷上升，市場競爭日益激烈.面對琳瑯滿目的商品，顧客在購買過程中的行為也越來越具有策略性，面對策略型顧客，如何最大化自身利潤，將是商家面臨的巨大挑戰(zhàn).本文研究了面對厭惡損失的消費者，商家在兩階段生產及銷售模式下對不同種類商品定價的差價問題.通過分析第0階段顧客的事前效益函數找到界值差價，并得到了確定型購買顧客的最優(yōu)差價；繼而，得出了商家在第0階段給出的價格分配函數需滿足的條件，從而增大了商家收益.

4 附 錄

此部分主要給出定理3.1、定理3.2、性質3.1、性質3.2、以及性質3.3的證明.

定理3.1的證明.將公式(1)代入(8)，有

u(vh|Fvh(Π,ph))+u(-ph|Fph(Π,ph))+

u(vh|Fvl(Π,pl))+u(-ph|Fpl(Π,pl))≥

u(vl|Fvl(Π,pl))+u(-pl|Fpl(Π,pl))

由公式(2)，有

vh+(1-q)η(vh-vl)-

ph-(1-q)ηλ(ph-pl)≥

vl-qηλ(vh-vl)-pl+qη(ph-pl),

化簡得

記上式中兩邊取等號時得到的ph值為ph(pl)，則有

=pl+(vh-vl)T,

其中

定理3.2的證明.當商家面對的具有厭惡損失的確定型消費者時，為提高自身效益，其在設置價格分布函數時，從以下兩個方面考慮：

(i)由于商家在第0階段給出的價格策略是通過加入對確定型消費顧客的行為分析得到的，并且由定理3.1可知，顧客只會在差價小于等于Δp*時才會選擇購買高價商品，所以商家給出的價格分布函數應該滿足單位高價產品與低價產品的差價小于等于Δp*；

(ii)由引理3.1的證明可知，不具有厭惡損失心理的顧客會選擇在差價ph-pl小于等于vh-vl時選擇購買高價產品，所以商家想要利用顧客的厭惡損失心理來提高自身效益，其價格策略就需要滿足差價Δp*大于等于vh-vl.即Δp*需滿足：

(i)ph-pl≤Δp*；

故此時價格分配函數為

(ii)同理，當商家所取的差價Δp<Δp*時，顧客會傾向于購買高價產品.

綜上,商家給出的差價Δp>Δp*時，顧客更傾向于購買低價產品；商家給出的差價Δp<Δp*時，顧客更傾向于購買高價產品.所以商家能取到的最高差價只能為Δp*.

性質3.2的證明.λ=1時，顧客不具有厭惡損失心理，為風險中性型顧客.由定理3.1，將λ=1帶入0≥ph-pl-(vh-vl)T中，得T=1，ph-pl≤vh-vl.即風險中性的顧客只會選擇在ph-pl≤vh-vl時選擇購買高價商品.

1)將Δp*對q一階求導，得

(ηλ-η)[1+(1-q)η+qηλ]}=aη(λ-1)[2+qη+(1-q)η+(1-q)ηλ+qηλ]=aη(λ-1)(2+η+ηλ).

故Δp*隨q的增大而增大.

2)將Δp*對η一階求導，得

[(1-q)λ+q][1+(1-q)η+qηλ]}=a{(1-λ-2q+2qλ)+ηλ[(1-q)(1-q+qλ-qλ)-q2]+η[(1-q+qλ-1+q)q-(1-q)2λ]}=a(λ-1)(2q-1).

3)將Δp*對λ一階求導，得