李永娜

（廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東廣州510520）

本文研究了關(guān)于一維p-Laplacian算子邊值問(wèn)題

可以發(fā)現(xiàn)很多難題都可以轉(zhuǎn)變成適當(dāng)?shù)奈⒎址匠虂?lái)化解，比如人們一直所探討的宇宙天體、量子力學(xué)、彈性理論、醫(yī)學(xué)問(wèn)題等。由于非線性問(wèn)題更具有理論意義和應(yīng)用背景，所以近些年，關(guān)于非線性邊值問(wèn)題越發(fā)引起學(xué)術(shù)界的關(guān)注。

2008年，文獻(xiàn)［1］表明了三階邊值問(wèn)題

解的情況。借助于上下解和Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，給出了至少存在一個(gè)解的充分條件。

在很多不同的領(lǐng)域，帶p-Laplacian算子的微分方程使用非常廣泛。到目前為止，關(guān)于帶p-Laplacian算子的研究已不勝枚舉［2-8］。雖然p-Laplacian算子邊值問(wèn)題解存在性的研究很多，但是大部分文獻(xiàn)中的非線性項(xiàng)是含有一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)或不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)［9-11］。本文研究的新穎之處就在于：把邊值問(wèn)題（2）這種同時(shí)含有一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的三階微分方程推廣到帶p-Laplacian算子的三階微分方程上來(lái)；不同于問(wèn)題（2）中所用到的方法，本文采用Krasnosel’skill’s不動(dòng)點(diǎn)定理給出了邊值問(wèn)題（1）至少含有一個(gè)正解和至少含有兩個(gè)正解的充分條件。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［12］設(shè)E是Banach空間，K是E中的非空閉集，如果K滿足：

（1）任給 x，y∈K，α≥0，β≥0，有 αx+βy∈K；

（2）若 x∈K，x≠θ，則-x?K。則稱K是E中的錐。

定義2 ω是一個(gè)凹函數(shù)，如果

引理1［13］設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間，K∈E是E中的一個(gè)錐，假設(shè)Ω1，Ω2為E中的有界開集，并且是全連續(xù)算子，如果下列條件之一成立：

則T在K∩（Ω2Ω1）中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

下面需要用一些初步的結(jié)果去證明文中的主要結(jié)果，首先，給出關(guān)于二階邊值問(wèn)題

的格林函數(shù)，即

不難看出，格林函數(shù)G（t，s）具備如下性質(zhì)：

（1）對(duì)于任意的 t，s∈（0，1）＜1，都有

在本文中，假設(shè)下面前提是成立的：

（H）f∈C（［0，1］×［0，+∞）×R×（-∞，0］，［0，+∞））。

為了方便，引用以下記號(hào)

接下來(lái)，在Banach空間中，令E=C2［0，1］，E中范數(shù)定義為最大范數(shù)，即

令錐K=｛u∈C+［0，1］│u是凹函數(shù)｝，其中C+［0，1］=｛u∈C+［0，1］│u（t）≥0，t∈［0，1］｝。

定義一個(gè)積分算子T：K→C+［0，1］，

顯然（Tu）（t）≥0，t∈［0，1］｝。

引理2 TK∈K，且T的不動(dòng)點(diǎn)是邊值問(wèn)題（1）的解。

證明 如果存在u是算子方程Tu=u的解，得到

此外

并且，u''（0）=0。所以，T的所有不動(dòng)點(diǎn)都是邊值問(wèn)題（1）的解，證畢。

引理3 假設(shè)（H）成立，則T：K→K是全連續(xù)的。

證明 先證T是緊算子。首先，設(shè)T∈K是有界集，在D中有‖u‖=max｛│u（t）│｝，‖u'‖=max｛│u'（t）│｝，‖u''‖=max｛│u''（t）│｝，令‖│u│‖=max｛‖u‖，‖u'‖‖u''‖｝，則m=sup｛‖│u│‖：u∈D｝，從而‖u‖≤m，‖u'‖≤m，‖u''‖≤m。因?yàn)?f：［0，1］×［0，+∞）×R2→［0，+∞）是連續(xù)的，可知在有界閉集［0，1］×［0，m］×［-m，m］×［-m，0］上f（t，u（t），u'（t），u''（t））能取到最大值［14］。

因?yàn)镈∈K是有界集，故存在M0＞0，使得‖u‖＜M0＜m。對(duì)任意的u∈D，有

其次，對(duì)任意的 t∈（0，1），有

因此，T（D）是等度連續(xù)的。根據(jù) Ascoli-Arzela’s定理［15］知 T（D）是相對(duì)緊集。

因此，對(duì)任意的 n＞n0，t∈（0，1），由式（3）和（4）可得

2 主要結(jié)果

定理1前提（H）假設(shè)成立，如果符合下面兩種情況：

則邊值問(wèn)題（1）至少存在一個(gè)正解。

由式（5）、（6）和引理 1知，算子 T 有不動(dòng)點(diǎn) u∈K∩（Ω2Ω1），則邊值問(wèn)題（1）至少存在一個(gè)正解 u。

類似于定理1的方法，不難獲得定理2的結(jié)果。

定理2前提（H）假設(shè)成立，如果符合下面兩種情況：

則邊值問(wèn)題（1）至少存在一個(gè)正解。

由式（7）～（9）知，算子 T 有不動(dòng)點(diǎn) u1∈K∩（Ω3Ω5），另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) u2∈K∩（Ω5Ω4），則邊值問(wèn)題（1）至少存在兩個(gè)正解u1和u2。

類似于定理3的方法，不難獲得定理4的結(jié)果。

定理 4 前提（H）和（C1），（C4）假設(shè)成立，如果還符合情況：

（C6）存在常數(shù) F∈［B，+∞）和 l2＞0，使得

則邊值問(wèn)題（1）至少存在兩個(gè)正解。