劉兆鵬

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000)

亞式期權(quán)是一種強(qiáng)路徑依賴(lài)期權(quán)，其收益取決于期權(quán)合約存續(xù)期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的平均值；由于亞式期權(quán)可以規(guī)避到期前市場(chǎng)操縱所帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)，因此成為最受歡迎的奇異期權(quán)之一.

在Black-Scholes模型的假設(shè)下，很多學(xué)者展開(kāi)了對(duì)亞式期權(quán)定價(jià)的研究，具體結(jié)果可以參看文獻(xiàn)[1]～[3].然而，在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)中，由于信息不對(duì)稱(chēng)，投資者無(wú)法獲得足夠的數(shù)據(jù)來(lái)解決投資選擇的問(wèn)題，他們更愿意依靠以往的經(jīng)驗(yàn)來(lái)做出自己的決定，因此信度在金融決策中起到非常重要的作用.為了理性描述信度問(wèn)題，2007年劉寶錠提出了不確定理論.基于股價(jià)波動(dòng)遵循不確定微分方程的假設(shè)，Liu[4]開(kāi)始了不確定金融的研究，建立了不確定股票模型并推導(dǎo)出歐式期權(quán)定價(jià)公式.此后，許多學(xué)者致力于不確定性理論框架下的金融問(wèn)題研究.例如，Zhang和Liu[5]研究了不確定金融市場(chǎng)下幾何亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題；Su和Chen[6]推導(dǎo)出了不確定金融市場(chǎng)的亞式期權(quán)定價(jià)公式；Sun和Yao[7]研究了不確定均值回復(fù)模型下的亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題；Wang和Chen[8]在帶有浮動(dòng)利率的不確定股票模型下獲得了亞式期權(quán)定價(jià)公式等.

本文基于不確定理論,采用不確定指數(shù)O-U過(guò)程模擬股票，研究幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，推導(dǎo)出幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)公式，并討論了不確定期權(quán)定價(jià)公式的一些數(shù)學(xué)性質(zhì)，給出一些數(shù)值算例.

1 不確定理論

不確定性理論已經(jīng)成為公理數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，用來(lái)處理主觀信念的程度.本節(jié)將介紹不確定變量和不確定微分方程的一些基本概念和定理.

定義1[4,9]L是非空集合(全集)Γ上的一個(gè)σ代數(shù)，集函數(shù)M：L→[0,1]稱(chēng)為不確定測(cè)度，如果滿足如下公理：

公理1:(規(guī)范性) 對(duì)于全集Γ，有M{Γ}=1.

公理2:(對(duì)偶性) 對(duì)于任何事件Λ，有M{Λ}+M{ΛC}=1.

公理4:(乘積公理) (Γk,Lk,Mk)是不確定空間，k=1，2，…乘積不確定測(cè)度M為乘積σ代數(shù)L1×L2×…上的一個(gè)不確定測(cè)度，滿足

其中Λk是從Lk中任意選取的事件.

定義2[10]ξ為不確定變量，ξ的期望定義如下

其中上式右端的積分至少一個(gè)是有限的.

引理1[9]ξ是具有不確定分布Φ的不確定變量.若它的期望存在，則

引理2[10]ξ是具有正則不確定分布Φ的不確定變量，則

定義3[11](Γ,L,M)為不確定空間，T是全序集(時(shí)間).一個(gè)不確定過(guò)程是從T×(Γ,L,M)到實(shí)數(shù)集的函數(shù)Xt(γ)，使得在任意時(shí)刻t對(duì)于任意一個(gè)Borel集B,{Xt∈B}都是一個(gè)事件.

定義4[4]不確定過(guò)程Ct如果滿足以下條件，則Ct被稱(chēng)為典范Liu過(guò)程：

(i)C0=0而且?guī)缀跛械臉颖拒壍朗荓ipschitz連續(xù)的；

(ii)Ct是平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程；

(iii)每一個(gè)增量Cs+t-Ct都是期望為0，方差為t2的正態(tài)不確定變量.即典范Liu過(guò)程的正態(tài)不確定分布和正態(tài)逆不確定分布分別是

定義5[4]若Ct典范Liu過(guò)程,f和g是兩個(gè)給定函數(shù)，則

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt，

稱(chēng)為不確定微分方程.

定義6[12]α是一個(gè)實(shí)數(shù)(0<α<1)，不確定微分方程

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt，

的解，其中Φ-1(α)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)逆不確定分布，即

dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dCt

Liu[9]指出X1t，X2t，…，Xnt是獨(dú)立的，如果對(duì)于任意的正整數(shù)k和任意時(shí)刻t1,t2,…,tk，不確定向量ξi=(Xit1,Xit2,…,Xitk)，i=1,2,…,n是獨(dú)立的.

引理4[13]假設(shè)X1t，X2t，…，Xnt是獨(dú)立的不確定過(guò)程，如果函數(shù)f(x1,x2,…,xn)對(duì)x1,x2,…,xm是嚴(yán)格遞增的，對(duì)xm+1,xm+2,…,xm+n是嚴(yán)格遞減的，則不確定過(guò)程Xt=f(X1t,X2t,…,Xnt)有α軌道

2 不確定環(huán)境下幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)

文獻(xiàn)[14]提出了不確定指數(shù)O-U模型：

(1)

其中r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，Bt為債券價(jià)格，c>0，σ>0是股票價(jià)格波動(dòng)率，μ是常數(shù)，Ct是典范Liu過(guò)程.模型(1)是具有非線性均值回復(fù)特征的不確定股票模型，是對(duì)文獻(xiàn)[5]的推廣和改進(jìn).股價(jià)遵循不確定指數(shù)O-U過(guò)程，避免了傳統(tǒng)對(duì)數(shù)正態(tài)分布中股票價(jià)格隨時(shí)間單向變化的限制，因此股票模型(1)更符合實(shí)際金融市場(chǎng).本文基于股票模型(1)，分別考慮幾何平均亞式看漲期權(quán)及亞式看跌期權(quán)，股票價(jià)格為Xt，執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén).

定理1設(shè)股票價(jià)格過(guò)程Xt滿足模型(1)，執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén)，則幾何平均亞式看漲期權(quán)的價(jià)格為

其中

證明：由定義2可知，通過(guò)解常微分方程

可以得到不確定微分方程

dXt=μ(1-clnXt)Xtdt+σXtdCt的α-軌道為

有α-軌道

根據(jù)定義8，由引理 2 和引理 3，可以得到幾何平均亞式看漲期權(quán)的價(jià)格是

由定理1的結(jié)果可知，對(duì)于股票價(jià)格過(guò)程Xt滿足模型(1)，執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén)，則幾何平均亞式看漲期權(quán)的價(jià)格為fc具有以下性質(zhì)：

1.fc關(guān)于執(zhí)行價(jià)格K是遞減函數(shù)；

2.fc關(guān)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是遞減函數(shù)；

3.fc關(guān)于股票的初始價(jià)格X0是遞增函數(shù).

定理2設(shè)股票價(jià)格過(guò)程Xt滿足模型(1)，執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén)，則幾何平均亞式看跌期權(quán)的價(jià)格為

其中

證明：由定理1可知，不確定微分方程

dXt=μ(1-clnXt)Xtdt+σXtdCt

的α-軌道為

因?yàn)?/p>

根據(jù)定義8，由引理2和引理3，可以得到幾何平均亞式看漲期權(quán)的價(jià)格是

由定理2的結(jié)果可知，對(duì)于股票價(jià)格過(guò)程Xt滿足模型(1)，執(zhí)行價(jià)格為K，到期日為T(mén)，則幾何平均亞式看跌期權(quán)的價(jià)格為fp具有以下性質(zhì)：

1.fp關(guān)于執(zhí)行價(jià)格K是遞增函數(shù)；

2.fp關(guān)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是遞減函數(shù)；

3.fp關(guān)于股票的初始價(jià)格X0是遞減函數(shù).

3 結(jié) 論

研究了不確定金融市場(chǎng)下幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.假設(shè)股票價(jià)格遵循不確定指數(shù)Ornstein-Uhlenbeck過(guò)程，運(yùn)用α-軌道方法，推導(dǎo)了幾何平均亞式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的定價(jià)公式.同時(shí)，討論了這些公式的一些性質(zhì)，并給出數(shù)值算例.