范曉東，崔 瑩，張慶春

(1．吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林 132022；2．遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029)

近年來(lái),有限混合模型[1]得到了學(xué)者廣泛關(guān)注,已知樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)自于一些不同的類，但是每個(gè)類的比例是缺失的，有限混合模型經(jīng)常被用來(lái)對(duì)這類數(shù)據(jù)進(jìn)行建模．EM算法[2]作為一種迭代算法，是處理有限混合模型的一個(gè)重要算法．本文用EM算法來(lái)求解帶有刪失數(shù)據(jù)[3-4]的混合線性回歸問(wèn)題，建立了混合線性回歸模型[5]的參數(shù)估計(jì)程序并對(duì)國(guó)民生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)集進(jìn)行了分析．

1 線性混合模型

(1)

(2)

(3)

(4)

和

(5)

2 混合回歸的EM算法

1.E步驟

計(jì)算Q(θ|θ(t))，也就是計(jì)算組分包含的“后驗(yàn)”概率(以數(shù)據(jù)和θ(t)為條件)，則對(duì)于i=1,2,…,n,j=1,2,…,m，

(6)

2.M步驟：

(1)對(duì)于參數(shù)λ，設(shè)

(7)

重復(fù)上面的步驟1、2直至收斂.

3 實(shí)例分析

收集了2019年46個(gè)國(guó)家的人均國(guó)民生產(chǎn)總值和人均二氧化碳排放量的數(shù)據(jù)建立數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集包括2019年人均國(guó)民生產(chǎn)總值(GNP)和2019年人均二氧化碳(CO2)排放量，主要討論兩者之間的關(guān)系.使用模型(1)來(lái)建立人均國(guó)民生產(chǎn)總值關(guān)于人均二氧化碳排放量的混合線性回歸模型，對(duì)于模型(1)采用分兩類的情況，使用第二節(jié)中的程序得到混合線性回歸模型為：

(8)

圖1展示了回歸曲線及其99%的置信帶．圖1表明使用兩個(gè)組分的混合回歸來(lái)擬合數(shù)據(jù)集是合理的，而且對(duì)于GNP較低的國(guó)家來(lái)說(shuō)，如果將來(lái)他們想增加GNP有(8)式中的兩種方案可供選擇．

Predictor圖1 回歸曲線

4 結(jié) 論

研究了帶有刪失數(shù)據(jù)的混合線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，并且利用EM算法建立了混合線性回歸模型的估計(jì)程序．收集2019年46個(gè)國(guó)家的人均國(guó)民生產(chǎn)總值和人均二氧化碳排放量的數(shù)據(jù)建立數(shù)據(jù)集，利用混合線性回歸模型來(lái)分析這個(gè)數(shù)據(jù)集，得出使用兩個(gè)組分的混合回歸來(lái)擬合數(shù)據(jù)集是合理的，并且得到了回歸方程，為低GNP國(guó)家增加GNP提供了兩種選擇方案．