劉悅彤 昌平第一中學

序言：經(jīng)濟學與數(shù)學是相輔相成的。數(shù)學是經(jīng)濟學的基礎，可以說沒有數(shù)學就沒有精確計量的經(jīng)濟學。經(jīng)濟學是數(shù)學在生活中應用的一個分支。實際上，數(shù)學對人類生活的作用是間接的，它通過和其他學科的融合對人類起指導作用。數(shù)學對推動經(jīng)濟學學科的發(fā)展具有關鍵的作用，經(jīng)濟學中很多模型都依賴于數(shù)學的推導。經(jīng)濟學中的許多理念都是由數(shù)學確立起來的，相關人員以數(shù)學語言來建構經(jīng)濟學的概念，使得經(jīng)濟學的相關概念具有了數(shù)學特征。

經(jīng)濟學中，大量的概念通過數(shù)學來定義，并且用到了函數(shù)、微積分等數(shù)學概念。人們可以利用數(shù)學這一不可或缺的工具將一些復雜的問題簡單化，可以快速、高效地解決經(jīng)濟領域的問題[1]。本文的第二部分探討經(jīng)濟學與數(shù)學的聯(lián)系；第三部分從微觀與宏觀經(jīng)濟學視角闡述三個經(jīng)濟學中的數(shù)學模型。

一、經(jīng)濟學與數(shù)學

（一）數(shù)學讓經(jīng)濟學更長遠有利的發(fā)展

數(shù)學是一門基礎學科，它研究的是數(shù)量、結構、變化、空間以及信息的一門學科[2]。它蘊含在生活中，生活的方方面面都離不開數(shù)學，它始終貫穿于人類社會的生產(chǎn)生活中，有著不可或缺的地位。數(shù)學是一個必不可少的基本工具，指導我們更好的發(fā)現(xiàn)問題，解決問題。給問題帶來了一個理論化的解釋，并可以加以推廣，解決同類問題，也可以上升到一個更廣泛的概念或者是數(shù)學思維，這會給我們的經(jīng)濟生活帶來一種質的飛躍。以數(shù)學為基礎的物理化學等學科，讓人類社會爆發(fā)了工業(yè)革命等技術革命，使人類在近二百年的發(fā)展成果遠超人類歷史發(fā)展的總和。以數(shù)學為基礎的經(jīng)濟學，讓商業(yè)、金融、借貸、貨幣等傳統(tǒng)上不知其所以然的概念有了新的詮釋，使人類認識到了經(jīng)濟學的力量。而不是避而不談，甚至蔑視不懈。所以，數(shù)學是經(jīng)濟學的基礎，沒有數(shù)學，就沒有今天的經(jīng)濟學。

（二）經(jīng)濟學讓數(shù)學有了生活中的實際意義

經(jīng)濟是價值的創(chuàng)造、轉化與實現(xiàn)，生產(chǎn)是基礎，消費是最終結果[3]。亞當·斯密提出過經(jīng)濟人假設，從個人來說，會出現(xiàn)追求物質利益的現(xiàn)象。從社會層面來說，社會同樣也為了追求社會利益，包括資源的合理配置，不同層面都會出現(xiàn)利益問題，那么在這些利益背后就是一個個數(shù)學問題。數(shù)學上的博弈論和納什均衡等等應用于經(jīng)濟生活，使得數(shù)學學科生動形象。

二、經(jīng)濟學中的數(shù)學模型分析

經(jīng)濟學中的數(shù)學問題本質上是函數(shù)問題：函數(shù)是一種對應法則。它就是將經(jīng)濟問題更數(shù)字化的變?yōu)閿?shù)學問題。當然，不僅可以通過數(shù)學函數(shù)來運算，也可以轉化為圖像問題，圖像可以更清晰明了的幫助我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟的規(guī)律或者最值等問題，反映更多的經(jīng)濟原理，圖像的走勢也可以來判斷經(jīng)濟的發(fā)展趨勢。

（一）帕累托原理

帕累托原理是經(jīng)濟學中常見的模型之一，探討關于經(jīng)濟效率和收入分配的問題；納什均衡理論奠定了現(xiàn)代主流博弈理論和經(jīng)濟理論的根本基礎；凱恩斯宏觀經(jīng)濟理論奠定了宏觀經(jīng)濟學在經(jīng)濟學領域的主導地位。本文選擇這三個經(jīng)典的經(jīng)濟學原理，從微觀到宏觀，探討經(jīng)濟學原理的數(shù)學模型的應用及對這些問題的分析思考。

在經(jīng)濟學中，對于某個經(jīng)濟分配結果，如果我們已無法使某些個體的狀況變得更好的同時、而又不損害其他個體的利益，那么這個經(jīng)濟結果是帕累托最優(yōu)的。如果沒有達到帕累托最優(yōu)，那么就存在一種新的分配方式，使得這種改進方式從經(jīng)濟學角度上，不會遭到任何人的反對，因為所有人的個人利益并沒有受損。帕累托最優(yōu)就像分蛋糕，當?shù)案獠]有變大而且已經(jīng)分完時，任何其他切分方式，不可能使得一些人的蛋糕變大，而其他人還不會變小。帕累托最優(yōu)是“不可能再增加特定人群的利益，而不損害其他人的利益”的一個平衡點[4]。帕累托原理是經(jīng)濟學中常常用到的一個模型。在經(jīng)濟學、工程學和社會科學中有著廣泛的應用。

因為經(jīng)濟的不確定性，所以用數(shù)學中的不等式來比較最優(yōu)方法去取得最大利益。在數(shù)學上，我們假設一個可能的分配集合X中選擇一個分配x∈X，使得社會中n個參與人的效用向量u(x)=(u1(x)，u2(x)，…，un(x) )是帕累托最優(yōu)。那么，令∑iaiui(x)為各參與人在權重向量α=(α1，α2，…，αn)下的效用加權，該加權可視為一個簡單的社會福利函數(shù)。也就是說，追求的是∑iaiui(x)的最大值，同時還要保證每個人的效用向量ui(x)并不會變小。

如果分配x0∈X可以最大程度上增大某個嚴格權重(α＞0)下參與人的效用加權，那么x0就是帕累托有效的。反過來，在一定條件下，每一個帕累托最優(yōu)的分配都最大程度上增大社會參與人在某個權重下的加權效用，這種結果可以理解為對帕累托邊界的一種描述。

將效用向量加權后的值作為數(shù)學中的因變量，那么帕累托最優(yōu)解就是使用數(shù)學方法，找出一組自變量x，使得因變量的值最大。這樣的分配方式，使得整體效益最高。

運用帕累托改進能夠解放社會發(fā)展的束縛，優(yōu)化生產(chǎn)分配結構，使全社會的總體效益增加。比如，在公辦醫(yī)院之外運行私營醫(yī)院的開辦，這樣既保證了全民依然可以享受低價醫(yī)療等普惠性政策，又允許高收入者可以自由選擇服務更好的私營醫(yī)院，和收費高一些的專家掛號。再比如，當前某些教育資源匱乏的地區(qū)，引進名校的課堂錄播視頻等，通過互聯(lián)網(wǎng)遠程享受名校名師的優(yōu)良教育，這對名校的教育資源沒有損害，但是又同時提高了偏遠地區(qū)的教育資源水平。這些就是帕累托改進，沒有損害任何人的現(xiàn)實利益，但是改善了其他人群的狀況。

（二）納什均衡

納什均衡是一種策略的組合方式，這個組合方式體現(xiàn)的是一種重要的思維邏輯，它是數(shù)學范疇下的博弈論的靈魂，融入到了生活中的方方面面。

納什均衡中有一個典型的例子。如果有兩個盜賊甲乙共同犯罪，被警察抓住，將他們兩個分開審問，雙方都可以選擇招供或者抗拒。

圖3-1 囚徒困境

如圖3-1所示，甲有兩種選擇，乙也有兩種選擇，他們雙方的選擇組合起來，就會有不同的結果。如果甲招供，乙也招供，他們坦白從寬，雙方會被判刑四年（圖中(-4，-4)所示；前者表示甲判刑四年，后者表示乙被判刑四年，下同）。如果甲不招供乙也選擇抗拒，警察沒有完全的證據(jù)，甲乙二人就會獲得較輕的刑罰一年。如果甲乙中有一人招供，而另外一人不承認罪行，那么不招供的那個人會被判刑5年，而招供的人不會被判刑。從甲乙雙方的立場上，他們都希望自己被輕罪處罰甚至無罪釋放，所以雙方都抵賴是對他倆整體而言最好的結果。

甲乙分開審問，互相不知道對方的供詞。如果自己抵抗而對方承認，那么自己面臨最嚴重的刑罰被判刑5年。比如從甲的角度考慮，甲若招供，甲在乙抗拒的情況下被無罪釋放，或者在乙招供的情況判刑四年。但如果甲不招供，甲在乙抗拒的情況下被判一年，或者在乙招供的情況下判刑五年。綜合來看，不管乙如何選擇，甲選擇坦白，都是對甲最有利的方式。同理，乙也是面臨同樣的狀況。那么在沒有互信的情況下，甲乙兩個人從自己利益出發(fā)，都選擇坦白，那么他們各被判刑四年。但是實際上，兩個人若都選擇抵抗，則僅被判刑一年，這個比兩個人均獲刑四年更有利。

在沒有商量沒有互信時，兩個人做出了均獲刑四年的選擇，而不是均獲刑一年。這恰恰和他們想減輕懲罰的初衷背道而馳。所以，這個數(shù)學模型，在經(jīng)濟學上又稱作囚徒困境。

這個例子也告訴我們在納什均衡中，絕對理性人從自身利益出發(fā)，選擇對自己有利的一種選擇，但是可能并不是最優(yōu)解。從長遠來看，從社會整體來看，個人的最佳選擇不一定對社會總體帶來最佳結果。

為了避免陷入囚徒困境，只需要甲乙兩個人事先溝通，增加對彼此的充分信任，設置違背承諾的處罰等，將均衡博弈引入良性方面。在經(jīng)濟生活中為了達到更加有利的均衡點，可以通過宏觀調控、政策引導、政府監(jiān)督等，將市場中的不確定性帶來的損失減小，從而帶來更多的利益，免于陷入囚徒困境。這是數(shù)學的博弈論模型給經(jīng)濟生活帶來的解決方法。

（三）凱恩斯理論

著名經(jīng)濟學家凱恩斯，曾經(jīng)提出宏觀經(jīng)濟學理論。該理論的主要方面是研究一個國家或地區(qū)的宏觀經(jīng)濟總量之間的關系。因為宏觀經(jīng)濟理論常常被用來指導政府針對有關就業(yè)、國民收入問題做出相應的政策，因此也被稱就業(yè)理論或收入理論。這一經(jīng)濟學理論可以簡要地用兩個數(shù)學等式來闡述：

國民收入恒等式：

消費函數(shù)：

其中，Y表示收入，C表示消費，I表示私人投資，G表示政府支出，參數(shù)α表示維持生存的最低消費，參數(shù)β表示邊際消費傾向。若我們用國民收入恒等式減去消費函數(shù)，整理后求偏導，可以得到政府支出的乘數(shù)效應（GDP的數(shù)目和政府增加公共開支數(shù)目的倍數(shù)關系）：

凱恩斯理論的基本思想可以用上述兩個或三個數(shù)學等式來表述。

從凱恩斯理論可以得出，如果財富過分集中在少數(shù)人手中，就會降低社會消費傾向，不利于國家的經(jīng)濟發(fā)展。為了促進消費，結合我國國情及經(jīng)濟活動的狀態(tài)，我國采用適當提高累進個人所得稅的起征點，努力減少中低收入人群的個人所得稅，從而提高居民可支配收入，提高了全民的消費意識，有利于經(jīng)濟的發(fā)展。由此看來，凱恩斯理論的應用對中國有良好的影響。

三、結語

數(shù)學能夠既精確又簡潔地刻畫經(jīng)濟理論中最重要的本質。經(jīng)濟學研究的是整個社會層面的現(xiàn)象，著重于提高社會整體效率，改善全人類的生活水平。運用經(jīng)濟學的規(guī)律，可以更好的達到人類命運共同體的美好前景。這一切使得數(shù)學不是抽象的哲學，而是實實在在從生活中來到生活中去的學科。

本文通過簡單分析帕累托最優(yōu)模型、凱恩斯理論模型、納什均衡模型，指出了數(shù)學模型在經(jīng)濟學中的重要作用。當然，也不能陷入對數(shù)學盲目崇拜的困境，否則會形成數(shù)學化傾向，經(jīng)濟學也將最終失去其寬厚的社會基礎[5]。