劉春艷

(北京教育學院 100120)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“課程標準”)實施建議中提到教師“不僅關注每一節(jié)的教學目標，更要關注主題、單元的教學目標，明晰這些目標對實現(xiàn)數(shù)學學科核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻”. 課程標準還提出要“整體把握教學內(nèi)容，促進數(shù)學學科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”. 相比課時教學設計，單元教學設計可以使教師有更充足的時間和空間根據(jù)實際情況調整教學的節(jié)奏，因此，單元教學設計在中小學教學中受到廣泛重視.

在數(shù)學課堂教學中，單元教學設計中的“單元”大多以數(shù)學學科框架體系內(nèi)的學習內(nèi)容來組織. 在單元教學的具體操作過程中，“單元”的范圍不局限于教材中的“單元”，常見的“單元”類型有：以數(shù)學知識為主線的單元；以數(shù)學思想方法為主線的單元；以數(shù)學基本能力為主線的單元；以數(shù)學學科核心素養(yǎng)為主線的單元等多種形式. 第一種類型一般用于新授課，實際教學中比較常見，本文所述的實際操作建議即以此類型為主.

對于單元教學設計的具體實施過程，鐘啟泉教授提出單元設計一般遵循“ADDIE”模型[1]，即分析Analysis、設計Design、開發(fā)Development、實施Implement和評價Evaluation. 呂世虎教授等將單元教學設計的整個過程細化為6個實施步驟[2]：確定單元內(nèi)容；分析教學要素；編制教學目標；設計教學流程；實施教學；評價反思及改進. 人教高中數(shù)學A版教參(2017版)中給出的單元教學設計樣例包括內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標和目標解析、教學問題診斷分析、教學支持條件分析和教學過程設計五個主要環(huán)節(jié). 從中可以看出，無論是哪個模式或者步驟，都是為了更好地解決“教什么，怎么教，教得怎么樣”這三個教學中的基本問題. 單元教學設計的特點主要體現(xiàn)在：(1)設計框架涵蓋教學基本要素，體現(xiàn)單元教學設計的整體性；(2)將“分析”貫穿設計始終，注重教學設計有理有據(jù)；(3)強調從“單元”到“課時”的過程，保障教學設計的層次性和有序性.

對于教師而言，單元教學設計形成了一個閉路，利于整體上把握單元教學的全過程. 但是在具體實施的過程中，教師往往存在很多困惑與問題：對單元教學內(nèi)容從哪些角度進行分析？學情分析關鍵點是什么？單元教學目標重點分析什么？在教學過程設計過程中，如何體現(xiàn)單元的整體性、層次性和有序性？等等.本文以“平面向量的運算”單元為例，與老師們探討如何進行一個真實的單元教學設計.

1 單元教學內(nèi)容分析的主線，是明確其學科地位，提升其學科核心素養(yǎng)

對于平面向量，按照課程標準要求包括向量概念、向量運算、向量基本定理及坐標表示、向量應用. 從新授課的角度，結合課程標準對于平面向量內(nèi)容和課時的要求，選擇以“向量運算”作為一個單元的主題，屬于“單元”類型的第一種情況. 本單元主要內(nèi)容包括平面向量的加減運算、數(shù)乘運算和數(shù)量積，以及它們的運算規(guī)則、運算性質及其幾何意義等．

對于單元教學內(nèi)容分析，要以“四基”為基礎，以明確學科核心素養(yǎng)為指向．具體分析時，可以先利用結構圖等形式進行梳理，說明單元內(nèi)容的知識結構，然后從知識的學科本質和上下位關系、蘊含的思想方法等方面具體分析；以此為基礎，說明本單元在本學段或者中學數(shù)學體系中，甚至數(shù)學體系中的地位和作用，并進一步明確本單元的學習在提升能力和發(fā)展學科核心素養(yǎng)的具體作用.

平面向量的運算單元的結構圖如下：

1.1 本單元的知識內(nèi)容

(1)學科本質[4]

本單元是以平面向量為研究對象，對其從運算的角度開展研究．由于向量既是代數(shù)研究對象也是幾何研究對象，向量的運算自然有代數(shù)和幾何兩種意義，因此，向量的運算也要從代數(shù)、幾何兩個角度進行研究．

從代數(shù)的角度，向量的運算遵循一般的運算研究脈絡，按照“背景——定義——法則——性質——應用”的順序建立相應的運算體系.

從幾何的角度，位置是空間最為基本原始的概念，向量理所當然地是空間最為基本原始的幾何量，這使得向量的運算都具有幾何意義，向量運算的運算律也具有豐富的幾何內(nèi)涵.如向量的加法用幾何語言描述就是“三角形法則”或“平行四邊形法則”．向量加法的交換律是平行四邊形定理的向量表述形式．數(shù)乘運算的分配律是相似三角形定理的代數(shù)形式．數(shù)量積的分配律也是勾股定理代數(shù)化的一種表達形式等等．

同時，由于向量理論具有豐富的物理背景，向量的概念源自物理學，因此向量的運算也有明確的物理背景，如物理中的功是平面向量數(shù)量積的背景．

(2)知識的上下位關系

本單元之前，學生已經(jīng)學習了關于數(shù)、式、集合、函數(shù)等對象的運算．本單元是將運算對象進一步擴展到向量，因此向量的運算是一類特殊的運算．

在數(shù)學中，從運算的共性來看，運算是一種映射，是兩個元到第三個確定元的一種特殊關系． 用集合的語言可敘述為：設有集合A，B，C，把一個從A×B→C的映射叫做A×B到C的一個代數(shù)運算或二元運算．特別地，若A=B=C，此映射稱為A上的一個二元運算．由此可見，向量的加減法運算是向量集合上的一個二元運算；向量的數(shù)乘運算是實數(shù)集合與向量集合對應到向量集合的映射；向量的數(shù)量積也就是兩個向量集合對應到實數(shù)集合的映射．

1.2 本單元蘊含的思想方法

首先，向量集數(shù)形于一身，向量的運算也具有明顯的幾何意義，因此向量的運算中蘊含著數(shù)形結合的思想方法．其次，根據(jù)學生的認知基礎和特點，類比數(shù)的運算研究向量的運算的研究方法貫穿本單元全過程，如類比數(shù)的減法，定義向量的減法．因此本單元學習過程中數(shù)形結合、類比是最主要的思想方法．

1.3 本單元的學科地位和作用

向量的運算不僅擴充了運算對象，體現(xiàn)運算的形式在不斷發(fā)展，而且為后續(xù)向量的學習(包括平面向量基本定理、空間向量等)、在現(xiàn)實生活和物理中的應用，在平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)等數(shù)學內(nèi)部的廣泛應用奠定了基礎．

向量運算體系的建立也進一步體現(xiàn)了數(shù)學內(nèi)部，如代數(shù)、幾何、三角函數(shù)等知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．從向量運算的角度來看，向量具有較好的代數(shù)結構：向量及其加法運算、數(shù)乘運算構成向量空間，這也為學習高等數(shù)學中線性代數(shù)奠定基礎．

1.4 本單元重點提升的學科素養(yǎng)

本單元最主要的內(nèi)容是向量運算的法則、性質及其幾何意義．“運算法則是運算的基礎，是推理的基礎，也是運算結果具有唯一性的保障．在運用運算解決問題的過程中，運算法則可以幫助我們探索運算思路．”[3]理解向量運算法則的過程也是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力的過程，同時，向量運算中蘊含的幾何意義和代數(shù)意義，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，幫助學生感受到幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，加強對數(shù)學整體性的理解，因此向量運算是提升數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等學科核心素養(yǎng)的良好載體．

2 學情分析的關鍵，是找出學生已有認知與學習需要之間的差距

對于學生學習情況分析，一方面要分析學生已有的認知基礎；另一方面要結合本單元內(nèi)容，分析學習者需要具備的認知基礎和經(jīng)驗，兩者之間的差距，也就是學生學習本單元內(nèi)容時可能遇到的困難．

由前面的分析，向量的運算需要從物理、幾何、代數(shù)三個角度進行理解，對于學生情況我們也從這三個角度對于已有的認知基礎和可能遇到的困難進行分析．

2.1 學生的認知基礎

(1)從物理角度，學生已經(jīng)學習了位移、力、功等相關物理量． 在具體問題中，學生能夠用有向線段畫出位移的合成、力的分解，能計算功的大小，并且在圖中能準確找到兩個向量(力與位移)的夾角．

(2)從代數(shù)角度，學生已經(jīng)學習了數(shù)、式、集合、函數(shù)等運算，也體會到運算是代數(shù)研究的重要內(nèi)容．尤其對實數(shù)運算的研究過程，學生比較完整的經(jīng)歷了從運算對象到運算法則、運算律，直至運算應用的研究過程，初步積累了建立運算體系的經(jīng)驗．

(3)從幾何角度，學生已經(jīng)系統(tǒng)學習了平面幾何，具備相應的知識基礎以及一定的關于幾何圖形研究的經(jīng)驗．另外，學生已具備了一定的觀察問題、分析問題的能力，具備能從簡單的實際背景中抽象出數(shù)學概念的能力，這些都是學生學習本單元的良好基礎．

2.2 學生可能遇到的困難

(1)從物理角度，學生有利用數(shù)學知識研究物理問題的經(jīng)驗，如利用三角函數(shù)研究物理中的彈簧振子、交變電流等． 在研究向量之前，學生不具備從物理背景引出數(shù)學內(nèi)容的經(jīng)驗，所以從具體的物理實例引出向量運算，學生會存在一定困難．

(2)從代數(shù)角度，向量既有大小，也有方向． 我們類比數(shù)的運算研究向量的運算，在向量的運算中，對于方向如何參與運算，學生沒有直接的經(jīng)驗．學生很容易帶著實數(shù)運算的思維定勢來理解向量的運算，出現(xiàn)對向量運算理解不到位，甚至出現(xiàn)“負遷移”，如數(shù)量積的結合律(a·b)·c=a·(b·c)等典型錯誤．

(3)從幾何角度，向量加法的定義是用作圖語言來刻畫的，對直接通過作圖定義向量運算這種處理方法，學生也是第一次接觸．對于向量的數(shù)量積內(nèi)容，兩個向量數(shù)量積運算的結果是實數(shù)，其幾何意義不如線性運算直觀． 除此之外，還涉及兩個向量夾角、投影和投影向量的概念，研究這些概念的必要性，尤其投影和投影向量的概念讓學生感到很陌生，也很抽象．

3 單元教學目標分析的重點，是將目標中“行為動詞”具體化、可操作化

教學目標是教學設計的核心，具體的教學過程設計圍繞教學目標展開，教學評價也是以教學目標為依據(jù)．雖然課程標準對知識單元的內(nèi)容有明確要求，但是過于抽象和概括，尤其行為動詞“理解”和“掌握”等的具體含義，可以借鑒布魯姆教育目標分類學中的認知目標，從解釋、舉例、分類、總結、推斷、比較、說明等方面分析.同時，考慮學生需要經(jīng)過什么樣的過程、具有什么樣的表現(xiàn)可以認為達到相應要求，以及本單元蘊含的思想方法體現(xiàn)在哪些具體環(huán)節(jié)等.通過深入分析，使教學目標明確、具體、可操作．

單元教學目標分析要與前面所述的單元教學內(nèi)容分析和單元學情分析相銜接，同時要注意課程標準中的內(nèi)容要求和教學提示．由于教材的編寫要貫徹數(shù)學課程的基本理念和要求，因此，教材也是教學目標分析的重要資源．

如：課程標準中對向量的加減法運算的內(nèi)容要求是：“借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量的加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義．”對于向量的運算內(nèi)容，課程標準中的教學提示是：“在平面向量及其應用的教學中，應從力、速度、位移等實際情境入手，從物理、幾何、代數(shù)三個角度理解向量的概念與運算法則，引導學生運用類比的方法探索實數(shù)運算與向量運算的共性與差異.”人教A版教材“向量的加法運算”一節(jié)，文本呈現(xiàn)的順序是：“物理實例——向量的加法、向量加法法則——規(guī)定特殊情況——例題——向量的加法與數(shù)的加法聯(lián)系——運算律——例題”．“向量的減法運算”一節(jié)，文本呈現(xiàn)的順序是；“相反向量——向量的減法——減法的幾何意義——特殊情況——例題”． 對于向量的加法及運算法則是通過對圖形的語義轉換得到的，類比數(shù)的加法運算律，利用加法的幾何意義驗證運算律；類比數(shù)的減法，通過符號語言定義向量的減法；例習題的設計主要是通過圖形語言、符號語言的相互轉換，幫助學生理解向量的加減法運算．

因此，對于向量的加減法運算教學目標分析如下：

能借助物理中位移、力的合成和向量的幾何表示，定義向量的加法、向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能說明兩個法則的一致性；能借助向量加法的幾何意義，通過類比數(shù)的加法運算律，探究向量加法的運算律；能類比數(shù)的減法，定義向量的減法；能通過作圖表示兩個向量的和或差.

通過向量加減運算的研究過程，體會研究運算對象的一般思路，即“運算概念——運算規(guī)則——運算性質”，提升數(shù)學運算和邏輯推理的素養(yǎng)，通過向量運算中幾何意義的理解與運用，提升直觀想象的素養(yǎng)．

4 做到單元教學設計整體有序，必須將單元教學要素逐步分解、細化到課時教學過程

具體的教學過程是以課時為單位進行設計的，首先根據(jù)前面的分析設計課時，將單元教學目標和重難點逐步分解到課時，再將課時教學目標細化為課時的主要教學環(huán)節(jié)，并以圍繞核心問題展開問題串的形式設計教學活動． 通過從單元到課時、從整體到局部，有邏輯有順序有步驟地設計課時教學過程，充分體現(xiàn)了單元教學設計的整體性和有序性，是單元教學目標實現(xiàn)的重要保障．

對于向量的運算，建議用6課時．第一課時：向量的加法；第二課時：向量的減法；第三課時：向量的數(shù)乘運算；第四課時：向量的共線與數(shù)乘運算的關系；第五課時：向量的數(shù)量積和投影；第六課時：向量數(shù)量積的運算律及應用．以第一課時“向量的加法”為例．

4.1 將單元教學目標和重難點分解到具體課時

“向量的加法”主要與單元教學目標的第一條有關，課時教學目標為：(1)通過位移、力的合成，定義向量的加法、三角形法則和平行四邊形法則；(2)能借助向量的幾何表示，作出兩個向量的和；(3)通過類比數(shù)的加法運算律，猜想向量加法的運算律并利用向量的幾何表示驗證，體會向量運算與數(shù)的運算的區(qū)別與聯(lián)系，提升數(shù)學運算的素養(yǎng)．

課時教學重點是向量的加法法則和運算性質；難點是向量加法概念的形成過程，對向量加法法則的理解．

4.2 將課時教學目標細化為教學過程的主要環(huán)節(jié)

教學環(huán)節(jié)就是教學目標的細化，是緊密圍繞課時教學目標逐步展開的教學過程．“向量的加法”的教學過程設計7個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)與課時教學目標的對應關系如下：

4.3 再將教學環(huán)節(jié)具體化為圍繞核心問題展開的師生活動

具體的教學活動應該創(chuàng)設合適的教學情境，提出合適的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考與交流．向量的運算具有豐富的物理背景，因此在教學環(huán)節(jié)1中創(chuàng)設學生熟悉的物理情境，在第2個教學環(huán)節(jié)“借助物理背景，定義向量的加法”中，設計如下的系列問題，引導學生思考和討論.

問題由位移的合成，你認為如何進行兩個向量的加法運算？

追問1對于矢量的合成，物理學中還有其他方法嗎？

備用問題：如右圖，在光滑的平面上，一個物體同時受到兩個外力F1與F2的作用，你能作出這個物體所受的合力F嗎?由此你能給出向量加法的另一種法則嗎？

追問2向量加法的平行四邊形法則與三角形法則一致嗎？為什么？

追問3以上的兩個法則是否完整？如不完整，缺少什么？

“你認為如何進行兩個向量的加法運算”就是一個核心問題，后續(xù)預設的追問不是固定的模式，授課中要根據(jù)學生的討論情況及時調整順序，甚至增加或者減少追問問題．比如在討論問題的過程中，學生可能提出“共線向量如何做加法運算”、“零向量如何處理”等問題，此時需要把追問3分解成多個小問題，并調整順序．圍繞核心問題展開的系列問題的靈活處理，都是為了達到預期的教學目標1．

教學環(huán)節(jié)要設計具有一定的開放性、引導性的核心問題，聚焦基本內(nèi)容，形成認知沖突，激活學生思維，自然而然地思考“為什么”、“怎么辦”、“還有什么”、“有什么意義”、“具體是什么”等問題，通過問題解決的過程理解基本內(nèi)容．通過圍繞核心問題展開的、體現(xiàn)數(shù)學內(nèi)在邏輯的、有層次性的一組問題，引導學生用數(shù)學的眼光觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學的方法和經(jīng)驗思考問題、用數(shù)學的語言表達問題，進而達成預期的教學目標．

圍繞核心問題展開的某一教學環(huán)節(jié)與相應教學目標的關系如下圖：

4.4 通過單元引言和單元小結凸顯單元設計的整體性

對于課時教學設計，引入和小結是兩個重要的環(huán)節(jié)．對于單元教學設計，第一課時的引入和最后一課時的小結更要考慮立足“單元”進行整體設計，也就是要成為“單元引入”和“單元小結”．

(1)單元引入

課時教學設計的第一個環(huán)節(jié)常常要考慮創(chuàng)設情境引入主題，單元教學設計也需要通過單元引入創(chuàng)設整個單元的教學情境，引入單元教學主題．本單元的引入可以借用人教A版必修第二冊6.2“平面向量的運算”中的節(jié)引言：

“我們知道，數(shù)能進行運算，因為有了運算而使數(shù)的威力無窮．那么向量是否也能像數(shù)一樣進行運算呢？人們從向量的物理背景和數(shù)的運算中得到啟發(fā)，引進了向量的運算．本節(jié)我們就來研究平面向量的運算，探索其運算性質，體會向量運算的作用．”

這段引言通過比較開放和具體統(tǒng)攝性的問題，幫助學生站在數(shù)學知識的整體高度認識問題、思考問題． 幫助學生明確：引進一個量，就要研究它的運算；引進一種運算，就要研究它的運算性質；向量的運算是以物理實例為背景，以數(shù)的運算為類比對象展開研究的.單元引言要幫助學習體會本單元要研究什么、為什么研究、以及如何研究等基本問題，這些基本問題既要成為貫穿本單元教學始終的一條主線，也要為學生提供一個有力的知識、方法的認知固著點．

(2)單元小結

最后一課時的小結要概括性的總結提煉本單元的學習內(nèi)容，以“如何研究向量運算？每種向量運算的共性與個性是什么？”作為核心問題，根據(jù)學生實際情況，可以預設如下的系列問題：

問題1：本單元學習了向量的哪些運算？請舉例說明．

問題2：對于向量的每一種運算，研究了哪些內(nèi)容？

問題3: 對于向量的每一種運算，研究的方法是什么？

問題4: 向量的各種運算，具有什么共性和個性？

問題5: 向量的運算與實數(shù)的運算之間，有什么共性與差異？

通過圍繞核心問題的系列問題進行總結，以提綱的形式幫助學生梳理本單元學習的主要內(nèi)容，形成本單元的知識結構，明確數(shù)學思想方法在研究問題中的具體作用，幫助學生明確應該落實的“四基”．通過對向量運算研究路徑的梳理，幫助學生進一步明確研究數(shù)學運算對象的基本思路，把“獲取知識當作方法而不是最終目的”[5]，借此為提高學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力做好示范，進而發(fā)展學生數(shù)學運算和邏輯推理等素養(yǎng)．