徐建新

(福建省德化第一中學(xué) 362500)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》提出：“高中數(shù)學(xué)教學(xué)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．”在穩(wěn)步推進的高考改革中，有關(guān)部門特別強調(diào)了在考試評價中落實立德樹人根本任務(wù)，提出突出學(xué)科核心素養(yǎng)、突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色、著重考查學(xué)生理性思維能力以及綜合運用數(shù)學(xué)思維方法分析問題、解決問題的能力等方面的要求．在高三復(fù)習(xí)中，只有把這些要求落實于課堂，才能精準有效地做好復(fù)習(xí)教學(xué)．本文以筆者在解析幾何復(fù)習(xí)中的一些做法為例，針對以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標導(dǎo)向，以數(shù)學(xué)思想方法為載體，培養(yǎng)學(xué)生的理性思維能力和分析問題解決問題的能力，談點想法，請同行不吝指教．

1 引導(dǎo)學(xué)生全面理解坐標法

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，是研究幾何問題的“方法論”．坐標法是用代數(shù)方法解決幾何問題的“工具”，其要點是“先用幾何眼光觀察，再用坐標法解決”．為提升學(xué)生對“坐標法”的認識水平，筆者選用下列例題引導(dǎo)學(xué)生展開思考.

例1已知△ABC為等腰直角三角形，CA=CB，AB=4，D為AB中點，動點P滿足條件：PD2=PA·PB，求CP的最小值．

師：這是一個什么問題？你打算用什么方法解決？

生1：用建系的辦法來處理．

師：為什么要用建系的辦法？

生1沒能回答這個問題．因為各種資料中的解析幾何題都不需要建系，所以學(xué)生對用坐標法解決問題的完整過程比較朦朧，這正是解析幾何高考復(fù)習(xí)需要認真對待的問題．

師：本題是純幾何問題，自然先從平面幾何角度分析問題．從哪個角度觀察，如何分析圖形的特征呢？一般而言，我們從構(gòu)成平面圖形的要素，即點與線入手，分析它們之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系．

△ABC涉及的幾何元素及其關(guān)系是清晰的，但點P的位置卻是變化的，它與A，B，C三點的關(guān)系如何呢？不難發(fā)現(xiàn)，點P的變化，受幾何條件PD2=PA·PB的制約．在此條件下，點P的位置確定嗎？如果不確定，那么點P將如何變化，點P的運動軌跡是什么？這正是本題的關(guān)鍵所在．

為表達點P運動變化的軌跡、以及點P與A，B，C，D的關(guān)系，單純依賴平面幾何知識不易實現(xiàn)．在我們學(xué)過的知識中，向量、三角函數(shù)、解析幾何等知識與方法都可以用來處理幾何問題．本題涉及動點軌跡、動點與多個定點的聯(lián)動關(guān)系，這正是坐標法可以發(fā)揮威力的地方，所以我們用解析幾何的方法來解決．下面請生1介紹他的建系方法，以及對建系的思考．

生1：根據(jù)條件CA⊥CB，因此以C為原點，CA，CB分別為x軸，y軸建立直角坐標系．

師：好．請生1板書解答過程，同學(xué)們按此方法建系求解．

圖1

設(shè)P(x，y)，則由PD2=PA·PB知

兩邊平方得

展開并化簡，得

所以CP2=x2+y2=(x+y)2-2xy

CP2取最小值4．

所以，CP的最小值為2．

師：這是按照生1建系方式的解答過程(實際上生1沒有完成解答過程，是筆者幫助補充完成的)．我們發(fā)現(xiàn)，運算過程比較復(fù)雜，而且很多同學(xué)想不到將xy作為整體視為一個變量，導(dǎo)致半途而廢．為什么會如此復(fù)雜呢？是不是這種建系方法沒有充分體現(xiàn)這個問題的幾何特征？有沒有其他建系的方法呢？

生2：根據(jù)等腰直角三角形的對稱性，以D為原點，AB為x軸建立直角坐標系．

師：好．請生2板書解答過程，同學(xué)們按生2的建系方法獨立解答．

解：如圖2，以D為坐標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系．則D(0，0)，A(-2，0)，B(2，0)，C(0，2)．

圖2

設(shè)P(x，y)，由PD2=PA·PB，知

兩邊平方得

(x2+y2)2=(x2+y2+4+4x)(x2+y2+4-4x)，

化簡得x2-y2=2，

所以CP2=x2+(y-2)2=y2+2+y2-4y+4

=2(y-1)2+4．

所以，CP的最小值為2．

師：比較兩種解法，大家有什么想說的？

生：第二種方法簡單多了．

師：請同學(xué)們思考一下，使第二種方法的運算相對簡單的原因是什么？

經(jīng)過討論，大家認為，第二種方法充分利用了等腰直角三角形的對稱性，使A，B，C，D的坐標簡單了，從而簡化了CP的表達式．

教學(xué)思考等腰直角三角形是本題的“主圖”，學(xué)生想到的上述兩種建系方法其實都很自然，但不同的建系方法對解答過程的繁簡程度卻產(chǎn)生了很大影響，這給學(xué)生以強烈刺激．實際上，選用第1種方法建系的學(xué)生較多，他們并沒有考慮如何建系才能簡化CP的表達式，僅僅根據(jù)條件的“方便”就做出了選擇．此題的解答和反思使學(xué)生認識到，認真觀察圖形的特征，分析清楚圖形中相關(guān)元素及其基本關(guān)系，再根據(jù)這些特征以及解決問題的需要選擇坐標系，這是用坐標法解決問題的關(guān)鍵點之一．

2 強化數(shù)形結(jié)合地分析條件，優(yōu)化解題過程

在分析幾何問題(圖形)的基礎(chǔ)上探索解決問題的思路，是解析幾何的“基本之道”．掌握這一基本之道，是學(xué)生學(xué)會數(shù)形結(jié)合地解決問題的具體表現(xiàn)，也是直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)的發(fā)展契機．因此，解析幾何復(fù)習(xí)中，要采取切實有效的措施，強化學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合觀點分析幾何條件，探索和優(yōu)化解題思路，提升學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想方法的認知水平與應(yīng)用能力．

例1要求學(xué)生根據(jù)圖形的幾何特征和解題需要選擇建系，那么在確定的坐標系下解決問題是不是就不需要顧及圖形的幾何特征了呢？為此，筆者選擇下列高考題，要求學(xué)生先作出圖形，認真分析題意，思考解題思路并給出解答．

在學(xué)生解答過程中，通過巡視課堂，發(fā)現(xiàn)了有代表性的四種不同解法．筆者讓這些學(xué)生展示自己的解法，并引導(dǎo)學(xué)生對如何利用問題中的幾何條件以簡化解題展開進一步討論．

生3：由于A，B是直線F1B與兩條漸近線的交點，因此設(shè)直線F1B方程為y=k(x+c)，與雙曲線漸近線方程聯(lián)立得A，B坐標．再利用A為F1B中點，F(xiàn)1B⊥F2B，列關(guān)系式求解．

如圖3，設(shè)直線F1B方程為y=k(x+c),

圖3

由A為F1B中點得

③

①式化簡得，b=3ak；②式化簡得b=3ak；③式化簡得，bk2=b-2ak．

聯(lián)立b=3ak，bk2=b-2ak，消k得b2=3a2，進而可得e=2．

師：請同學(xué)們仔細觀察一下解題過程，你能發(fā)現(xiàn)其中的問題及其原因嗎？如何改進？

學(xué)生發(fā)現(xiàn)，①、②兩式化簡后的結(jié)果相同，但解釋不清原因．

師：運用數(shù)形結(jié)合的觀點，分析①、②式的幾何背景．由點A坐標的形成過程可知它在直線F1B上(A點坐標由直線F1B方程與漸近線方程聯(lián)立而得)，等式xF1+xB=2xA，即①式的幾何背景(元素間的位置關(guān)系)是A為線段F1B的中點．同理，②式的幾何背景也是A為線段F1B的中點．兩者的幾何背景相同，都是點A，F(xiàn)1，B位置關(guān)系的表示．因此①式、②式是等價的，化簡后的結(jié)果自然相同，選擇其中一個化簡即可．形式上看②式比①式簡單，可選擇②式化簡．

教學(xué)思考實際上，有不少學(xué)生都如生3一樣同時列出①式、②式，不僅在解題過程中做了無用功導(dǎo)致解題效果差，而且有的學(xué)生因為無法解釋化簡后結(jié)果相同而造成困惑，從而影響后續(xù)的解答．有些學(xué)生完成了解答，但以“得出正確答案”為滿足，不注意解題后的回顧與反思，說明解題的盲目性較大，學(xué)習(xí)習(xí)慣不好，這也是學(xué)習(xí)效率不高、解題能力提高不快的重要原因．這里筆者抓住學(xué)生解題過程中出現(xiàn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生對代數(shù)表達式的幾何意義進行思考，通過“復(fù)盤”解題思路，找到產(chǎn)生問題的原因，形成優(yōu)化解題思路的策略．

由△F1BF2為直角三角形得

如圖3，不妨設(shè)點B在第一象限，B(x，y),

生5：由OA∥F2B與F1A⊥OA可得直線BF2、F1A的斜率和方程，將這兩條直線的方程與漸近線方程聯(lián)立可得A、B的坐標，再由A為F1B中點列式求解．

師：這兩種解法簡潔明了．注意生5的解法中只求出A、B的橫坐標，而無需求出縱坐標．上述三種不同的解法中,都涉及到求點B的坐標，請大家分析一下它們的共性與差異．

為了清晰地說明求點B坐標的不同方法，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考每種方法產(chǎn)生的幾何背景，使學(xué)生感知形與數(shù)之間的聯(lián)系，體會圖形關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的聯(lián)系．通過獨立思考并進行小組討論，學(xué)生逐漸明確了如下問題：

三種方法的共同之處都是從分析圖形的基本結(jié)構(gòu)入手，得到點B的位置特征，再根據(jù)坐標法思想，將其位置特征轉(zhuǎn)化為點B橫、縱坐標間的制約關(guān)系(即橫、縱坐標間滿足的代數(shù)關(guān)系式)，最后通過運算得到解答．差異在于利用了點B位置特征的不同表征，因而得到的方程組也不同．

從思維過程看，三種解法都運用了數(shù)形結(jié)合思想，建立形與數(shù)之間的聯(lián)系，以及借助幾何直觀獲取圖形特征和數(shù)量關(guān)系的信息，都經(jīng)歷了從點B的位置特征到點B的橫、縱坐標滿足的數(shù)量關(guān)系的過程，即從“形”到“數(shù)”的過程．每一種求點B坐標的方法都有其特定的幾何背景，都是源于對圖形特征信息的認識與加工，都是以點B的位置特征為依據(jù)，是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物．導(dǎo)致解法差異的原因在于對圖形特征信息的認識、加工與轉(zhuǎn)化方式的不同，對點B的位置特征理解的不同．

如圖3，由條件知，OA為△F1BF2的中位線，OA∥F2B，∠BF2O=∠AOF1=∠BOF2．

在直角三角形△F1BF2中，|OB|=|OF2|，∠BF2O=∠OBF2．

師：請大家仔細分析一下這一解法，你能說明生6的解法為什么會那么簡捷嗎？

教學(xué)思考在本題的解答中，我們運用數(shù)形結(jié)合思想將向量關(guān)系表達的條件轉(zhuǎn)化為圖形基本元素間的關(guān)系．結(jié)合平面幾何知識得出圖形的幾何特征，再緊緊圍繞圖形的幾何特征建立雙曲線基本量a，b，c間的關(guān)系．我們看到，對圖形幾何特征認識的差異和幾何性質(zhì)使用的差異，直接影響著解題過程的簡捷程度．可見，把握幾何圖形的特征、充分運用幾何圖形的性質(zhì)、重視平面幾何基本知識的運用是解答解析幾何問題的基礎(chǔ)；運用數(shù)形結(jié)合思想將問題中的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系、以及對問題中的代數(shù)關(guān)系賦予一定幾何意義或給出幾何解釋，從而有效地建立數(shù)與形之間的聯(lián)系是解決解析幾何問題的“靈魂”．對于學(xué)生在解析幾何中出現(xiàn)的問題，老師們的一致看法是“學(xué)生的運算技能不過關(guān)”．殊不知，解析幾何中的運算是帶有幾何特征的“算”，如果僅僅從代數(shù)運算角度分析原因，那么就沒有準確地反映解析幾何的這一特點，教學(xué)效果也只能是事倍功半．

結(jié)束語

坐標法是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn)．面臨具體問題，用數(shù)形結(jié)合的眼光去看，從幾何、代數(shù)的不同角度去分析，就使我們對問題的條件、結(jié)論以及它們的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方式有了多角度的理解，從而也就可以使條件、結(jié)論得到不同形式的表達，形成多樣化的解題方法，使得幾何直觀、代數(shù)推理綜合地發(fā)揮作用，這就是解析幾何中解決問題的方法總是不唯一，且有方法的難易、代數(shù)運算的繁簡之分的原因．事實上，用坐標法解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合地看問題，探尋簡潔的解題方法并深入思考其原因，就是在解析幾何中發(fā)展學(xué)生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)的關(guān)鍵舉措．