張文海

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

1 問題的背景

當(dāng)前，高三數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)現(xiàn)狀是在高一高二拼命壓縮趕進(jìn)度，留出一年甚至一年半的時(shí)間進(jìn)行反復(fù)練、練反復(fù)，老師和學(xué)生陷入無盡的題海，大多數(shù)課堂呈現(xiàn)重“教”輕“學(xué)”、重“知”輕“能”、重“結(jié)果”輕“過程”的現(xiàn)象．不僅師生雙方感到疲憊不堪，而且教學(xué)效果不理想．對(duì)于一些典型問題和典型錯(cuò)誤，學(xué)生是屢做屢錯(cuò)，屢做屢犯；對(duì)于一些重點(diǎn)問題的處理方法，學(xué)生不能深刻地理解和掌握．筆者曾經(jīng)在本學(xué)期教學(xué)中做過這樣的測(cè)試，一周前讓學(xué)生在課堂上限時(shí)15分鐘解一道大題(知識(shí)可以是解析幾何、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列)，批改統(tǒng)計(jì)后認(rèn)真評(píng)講，課后也要求學(xué)生訂正整理，一周后再讓學(xué)生在課堂上限時(shí)15分鐘獨(dú)立完成該原題，結(jié)果能完全解答正確的人數(shù)與之前相比，沒有太大的變化，尤其值得關(guān)注的一點(diǎn)，原來怎么想怎么做的，后來還是怎么想怎么做的，學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)沒有發(fā)生任何變化.究其原因，還是在學(xué)生的頭腦里，知識(shí)是孤立的、零散的存在，沒有形成一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，也沒能建立成一個(gè)完整的知識(shí)體系．還有就是在評(píng)講時(shí)，沒能讓學(xué)生的思維卷入到課堂中，沒能真正建立自己的理解；這樣的思維記憶就是短暫的，不能長(zhǎng)久，也就造成目前教學(xué)中出現(xiàn)教師講過多遍，學(xué)生依然不會(huì)的困境．為了改變目前這種現(xiàn)狀和困境，下面以“橢圓中斜率之和問題探究”為例，通過“一題一課”模式進(jìn)行的實(shí)踐與思考與同仁交流．

2 “一題一課”模式

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家G·波利亞說：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但有不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域．”蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅也說過：“必須重視，很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性．”由此可見，解題教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，尤其在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的重要性，設(shè)計(jì)得當(dāng)?shù)慕忸}教學(xué)，往往能夠起到事半功倍的效果．

“一題一課”模式就是對(duì)一道題或一個(gè)材料進(jìn)行深入研究，認(rèn)真琢磨其本質(zhì)，通過縱橫聯(lián)系，將孤立問題“串”起來；通過課外拓展，讓學(xué)生思維“飛”起來．基于學(xué)情，科學(xué)、合理、有序地組織學(xué)生進(jìn)行相關(guān)的數(shù)學(xué)探索活動(dòng)，從而完成一節(jié)課的教學(xué)任務(wù)，以此達(dá)成多維目標(biāo)的過程．

3 教學(xué)案例

分析：本題研究的是直線PA，PB，PM的斜率k1，k2，k3之間的關(guān)系，因?yàn)樾甭逝c點(diǎn)P，A，B，M的坐標(biāo)有關(guān)，而點(diǎn)A，B，M是直線AB與橢圓和直線l的交點(diǎn)，所以只需設(shè)出直線AB的方程，建立方程組，就可以解出所需要點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而找到k1，k2，k3之間的關(guān)系．

解：因?yàn)橹本€AB與直線l相交于點(diǎn)M，

所以斜率存在，

故可設(shè)直線AB的方程為y=k(x-1)．

整理得(4k2+3)x2-8k2x+(4k2-12)=0，

故存在λ=2，使得k1+k2=2k3成立．

猜想1：既然常數(shù)“λ”的值與直線AB旋轉(zhuǎn)無關(guān)，那可能只與直線AB過的定點(diǎn)——右焦點(diǎn)F有關(guān)．下面固定點(diǎn)F，讓點(diǎn)P在直線x=1運(yùn)動(dòng)，結(jié)論是否依然成立？

故存在λ=2，使得k1+k2=2k3成立．

從上面的證明過程來看，只要點(diǎn)P是直線x=1(過右焦點(diǎn)垂直于x軸)上的動(dòng)點(diǎn)，就一定有k1+k2=2k3成立．

猜想2：觀察直線l的方程x=4，不難發(fā)現(xiàn)它是橢圓的右準(zhǔn)線，如果動(dòng)點(diǎn)M在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線MA，MB，MF的斜率間有沒有什么確定的數(shù)量關(guān)系呢？

解：設(shè)M(4,n)，因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，

猜想3：從上面的三個(gè)問題可以發(fā)現(xiàn)，只要點(diǎn)F和直線l確定，這個(gè)常數(shù)是必然存在的．那么這個(gè)常數(shù)2與點(diǎn)F的坐標(biāo)和直線l的方程之間有什么數(shù)量關(guān)系呢？因?yàn)辄c(diǎn)F是右焦點(diǎn)，直線l是右準(zhǔn)線，它們之間存在一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系．如果點(diǎn)F改成是橢圓長(zhǎng)軸上的任意一點(diǎn)，是不是也存在這樣的一條定直線l滿足上面的關(guān)系呢？

解：因?yàn)橹本€AB與直線l相交于點(diǎn)M，所以斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為：y=k(x-t)．設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(t,n)，

即M(m,k(m-t))．

使得k1+k2=2k3成立．

所以kMA+kMB=2kMQ．

背景鏈接：

4 教后反思

“一題一課”最為突出的特點(diǎn)就是對(duì)數(shù)學(xué)“題”進(jìn)行了深度挖掘，以“原題”為本，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律作深思，設(shè)計(jì)出不同層次的探究題，由淺入深、淺顯易懂，知識(shí)內(nèi)容卻深刻，思想方法顯靈動(dòng)．這是一節(jié)貼近學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，突出學(xué)生自主探究過程的課堂教學(xué)．

4.1 了解學(xué)生學(xué)情，確定一個(gè)主題

4.2 遴選好的例題，衍生一串問題

瑞士數(shù)學(xué)家皮亞杰認(rèn)為：學(xué)習(xí)過程并不是個(gè)體獲得越來越多外部信息的過程，而是能動(dòng)地建構(gòu)新的認(rèn)知圖式，不斷完整新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程．高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)是通過有限的復(fù)習(xí)，對(duì)所學(xué)知識(shí)獲得螺旋式上升的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到知識(shí)的系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)經(jīng)過順應(yīng)和同化得到發(fā)展．如何通過少量題目的訓(xùn)練，而又要達(dá)到以上的理想目標(biāo)，就離不開精心選擇好的問題作為研究對(duì)象．本節(jié)課從尋找斜率之間的關(guān)系入手，在一個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中發(fā)現(xiàn)一個(gè)常數(shù)的存在，凸顯了變中不變的本質(zhì)，讓學(xué)生產(chǎn)生去研究不變的常數(shù)如何刻畫有規(guī)律的變化．基于以上的思考，產(chǎn)生了一個(gè)問題串，點(diǎn)P從一個(gè)定點(diǎn)變成一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，結(jié)果如何？右準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)是否也有類似的規(guī)律？題中的定點(diǎn)F和右準(zhǔn)線之間有著對(duì)應(yīng)的關(guān)系，如果改變定點(diǎn)的位置，是否也存在對(duì)應(yīng)的一條定直線，保持結(jié)論的穩(wěn)定性呢？這一串問題很好地體現(xiàn)了“一題一課”選題的原則：層次性、開放性、廣延性．問題的層次性讓不同能力的學(xué)生在學(xué)力上得到不同的發(fā)展；問題的開放性讓不同層次的學(xué)生都能參與；問題的廣延性，易于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題做進(jìn)一步的探究與推廣．

4.3 強(qiáng)化類題訓(xùn)練，夯實(shí)一種方法

4.4 觀察思考表達(dá)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出：“數(shù)學(xué)教育要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維分析世界，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)；學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．”高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要在發(fā)展核心素養(yǎng)的視角下設(shè)計(jì)專題復(fù)習(xí)，聚焦對(duì)問題的深度學(xué)習(xí)與思考，讓學(xué)生在研究的狀態(tài)下學(xué)習(xí)，而不是單純的接受，而是在發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)上的同化，重在引導(dǎo)學(xué)生通過親身觀察、深入思考、理性表達(dá)，達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想、方法和價(jià)值的領(lǐng)悟，才能讓學(xué)生真正學(xué)得明白，才能把發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實(shí)處．本節(jié)課從一個(gè)學(xué)生熟知的問題為觀察起點(diǎn)，利用學(xué)生直觀想象的能力，猜測(cè)其中可能存在某種結(jié)論，通過數(shù)學(xué)的思維去分析和論證變與不變的規(guī)律，學(xué)生的邏輯推理能力得到加強(qiáng)．在猜測(cè)和論證的過程中，不斷調(diào)整和完善問題的條件和結(jié)論，得到一串正確的命題，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)得到鍛煉．建構(gòu)主義認(rèn)為：“學(xué)習(xí)要放在活動(dòng)中進(jìn)行建構(gòu)，只有在活動(dòng)過程中不斷地進(jìn)行反省、概括和抽象，重構(gòu)自己的理解，才能真正理解知識(shí)的本質(zhì)．”