馬俊

整體思想是最重要的數(shù)學(xué)思想之一，也是優(yōu)化數(shù)學(xué)解題的重要途徑.在實(shí)際教學(xué)中，很多問(wèn)題，如果從局部出發(fā)是很難解決的，而應(yīng)用整體思想來(lái)解則會(huì)省去很多中間步驟，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.通過(guò)日常的研究以及實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，我對(duì)整體思想的應(yīng)用方法進(jìn)行以下總結(jié)，希望能為廣大教師的教學(xué)工作提供借鑒.

一、整體代換，簡(jiǎn)化過(guò)程

審題時(shí)，我們首先關(guān)注的是已知條件以及求解內(nèi)容.通過(guò)觀察和對(duì)比，我們就可能找出已知條件和結(jié)論之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而整體代換，達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.

例已知a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，且abc=24，求abc+bca+cab-1a-1b-1c的值.

根據(jù)已知條件，可知有a、b、c、d四個(gè)未知數(shù)，也有四個(gè)式子，由此完全可以進(jìn)行對(duì)a、b、c、d四個(gè)未知數(shù)進(jìn)行求解.但很顯然，這種方法的計(jì)算量是非常大的.求解時(shí)，由于已知條件給出的前3個(gè)式子中都有d2，那么a、b、c兩兩之間的差值就很容易求出來(lái)了.然后對(duì)結(jié)論進(jìn)行變形：abc+bca+cab-1a-1b-1c=a2+b2+c2abc-bc+ac+ababc=12abc（2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab）=12abc[（a2-2bc+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]=12abc[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2].至此，結(jié)論已經(jīng)轉(zhuǎn)變成了可以根據(jù)已知條件簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化的整體形式.由a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，可知a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，那么原式=12×24×（1+1+4）=18.

整體代換的適用范圍非常廣，大家一定要學(xué)會(huì)合理變形，實(shí)現(xiàn)條件和結(jié)論的雙向轉(zhuǎn)化.

二、整體變形，呈現(xiàn)規(guī)律

對(duì)于一些數(shù)值很大的計(jì)算來(lái)說(shuō)，通過(guò)整體變形處理同樣可以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的.但變形也要通過(guò)觀察和思考，按照正確的方法和方向進(jìn)行，這樣才能使整個(gè)式子呈現(xiàn)一定的結(jié)構(gòu)和規(guī)律，否則就會(huì)適得其反.

如對(duì)于計(jì)算題99…9（2008個(gè)9）×99…9（2008個(gè)9）+199…99（2008個(gè)9），普通的計(jì)算方法是肯定不行的.通過(guò)觀察，我們首先可以考慮將含“9”的式子加1，從而便于計(jì)算.

原式=99…9（2008個(gè)9）×[99…9（2008個(gè)9）+1]-99…9（2008個(gè)9）+199…99（2008個(gè)9）=99…9（2008個(gè)9）×102008+102008=[99…9（2008個(gè)9）+1]×102008=102008×102008=104016.

對(duì)于這個(gè)計(jì)算題，第一眼看起來(lái)是非常難的.但我們通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)題中只用了0、1和9這3個(gè)數(shù)字.在我們?nèi)粘Ｗ鲱}和通常認(rèn)知中，對(duì)于“999+1=1000”的用法是很熟練的，因此可通過(guò)這種整體變形呈現(xiàn)出整個(gè)式子的規(guī)律，最后再應(yīng)用乘法分配律以及冪的計(jì)算進(jìn)行求解.

三、整體配湊，特殊結(jié)構(gòu)

對(duì)于有些特殊結(jié)構(gòu)的題型來(lái)說(shuō)，根據(jù)已知條件求解是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的.但通過(guò)平方公式，我們能夠?qū)⑵溥M(jìn)行整體配湊.這就要求學(xué)生不僅要背會(huì)平方公式，還要有進(jìn)行“正應(yīng)用”和“逆應(yīng)用”的能力.

例已知a+2b+3c=12及a2+b2+c2=ab+bc+ca，求a+b2+c2.

在這道題目中，已知條件中有3個(gè)未知數(shù)，但只有2個(gè)式子，按照常規(guī)方法來(lái)說(shuō)，顯然無(wú)法分別求得a、b和c的值.繼續(xù)觀察.已知條件a2+b2+c2=ab+bc+ca可配湊為2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，即（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0.由非負(fù)整式之和為0可知幾個(gè)整式的值均為0，那么a-b=b-c=a-c=0，即a=b=c.這時(shí)候結(jié)合a+2b+3c=12可得出a=b=c=2.最終可求得a+b2+c2=10.

解這類題型時(shí)一定要注意3點(diǎn)：①按照常規(guī)方法，所知關(guān)系式個(gè)數(shù)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)是無(wú)法求解的，但通過(guò)非負(fù)整式之和的配湊可得出三個(gè)未知數(shù)之間的關(guān)系.這對(duì)求解有很大幫助.②熟記平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2及（a-b）2=a2-2ab+b2，遇到這幾種形式時(shí)一定要想辦法對(duì)這種特殊結(jié)構(gòu)進(jìn)行配湊.③熟練應(yīng)用“若幾個(gè)非負(fù)整式的和為0，那么這幾個(gè)整式均為0”的原理.當(dāng)然，除平方外，根據(jù)題中的其他已知條件也可進(jìn)行適當(dāng)配湊.教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生滲透正確的思考方式，而不是僅僅進(jìn)行知識(shí)的灌輸.

整體思想的應(yīng)用范圍很廣，是初中生必須要掌握的內(nèi)容.通過(guò)總結(jié)，學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)可以很明確地分辨解決方式和途徑，不會(huì)再是無(wú)頭緒的狀態(tài).最后，希望大家可以多花時(shí)間進(jìn)行研究、探討和理解，將整體思想真正變成自己解題的“法寶”.