黃智銳 江中偉

(廣東省梅州市虎山中學(xué) 514299)

近幾年來，全國和各省高考對三角函數(shù)部分的考查，在內(nèi)容、題量、分值三個(gè)方面保持相對穩(wěn)定的同時(shí)，加大了對三角函數(shù)和其他函數(shù)結(jié)合的一類新函數(shù)的考查，難度較大，往往都是壓軸題. 這樣的命題意在考查考生的計(jì)算能力、演繹推理能力、綜合應(yīng)用知識解決問題的能力以及數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能. 近幾年來不斷在高考的相關(guān)問題中出現(xiàn)，成為高考題型中的一個(gè)創(chuàng)新，僅供參考.

一、sinx、cosx或tanx與一次函數(shù)的和或差相結(jié)合

此題型形如f(x)=asinx+bx+c、f(x)=acosx+bx+c或f(x)=atanx+bx+c(a,b,c∈R).

例1 設(shè)函數(shù)f(x)=ax-sinx.若a=1，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(π,f(π))處的切線方程.

解析由已知得f(x)=x-sinx，求導(dǎo)得f′(x)=1-cosx，因?yàn)閒(π)=π，f′(π)=2，故所求的切線方程為y-π=2(x-π)，即y=2x-π.

點(diǎn)評根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=3x+2cosx,g(x)=(ex-1)(e2x-5),若?x1∈(-,0]，?x2∈R，f(x1)+a≤g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

解析因?yàn)閒′(x)=3-2sinx>0，所以f(x)在(-,0]上為增函數(shù)，所以f(x)max=f(0)=2.令t=ex(t>0)，則h(t)=(t-1)(t2-5)，h′(t)=(t+1)(3t-5).當(dāng)時(shí)，h′(t)<0；當(dāng)t>時(shí)，h′(t)>0.所以從而依題意可得即故應(yīng)選D.

點(diǎn)評求導(dǎo)，確定f(x)max=f(0)=2，然后換元，構(gòu)造函數(shù)求出g(x)=(ex-1)(e2x-5)的最小值，利用f(x)max+a≤g(x)min，列不等式求實(shí)數(shù)a即可.

請同學(xué)們思考：

1.若?x1∈(-,0]，?x2∈[-1,1]，其余條件不變，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

2.若?x1∈(-,0]，?x2∈[-1,1]，其余條件不變，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

3.若?x1∈(-,0]，?x2∈[-1,1]，其余條件不變，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

二、sinx、cosx或tanx與二次函數(shù)的和或差相結(jié)合

此題型形如f(x)=asinx+bx2+cx+d、f(x)=acosx+bx2+cx+d或f(x)=atanx+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R).

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=cosx+kx2+(2k-1)x(x∈R).

(1)證明：對?k∈R，函數(shù)f(x)都不是奇函數(shù);

解析(1)假設(shè)函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，因?yàn)閤∈R，所以f(0)=0，這與f(0)=k·02+cos0+(2k-1)·0=1矛盾.故對?k∈R，函數(shù)f(x)都不是奇函數(shù).

點(diǎn)評(1)采用反證法，假設(shè)f(x)為奇函數(shù)，則必有f(0)=0與f(0)=1矛盾，故假設(shè)不成立，即可證明f(x)不是奇函數(shù)；

三、sinx、cosx或tanx與三次函數(shù)的和或差相結(jié)合

此題型形如f(x)=asinx+bx3+cx2+dx+e、f(x)=acosx+bx3+cx2+dx+e或f(x)=atanx+bx3+cx2+dx+e(a,b,c,d,e∈R).

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=ax-sinx.當(dāng)a≤1，x∈[0,+)時(shí)，證明：

四、sinx、cosx或tanx與指數(shù)函數(shù)的和或差相結(jié)合

例5 已知函數(shù)f(x)=ex-cosx.

(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

綜上,采用經(jīng)陰道聯(lián)合彩超檢查剖宮產(chǎn)子宮瘢痕妊娠有著較高的確診率,其診斷快捷、方便、易操作,患者檢查痛苦少易于接受,可以作為早期診斷剖宮產(chǎn)子宮瘢痕妊娠的首選方式,值得推廣。

解析(1)∵f(x)=ex-cosx，則f′(x)=ex+sinx，∴f(0)=0，f′(0)=1.故函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程y=x.

(2)當(dāng)x>0時(shí)，ex>1≥cosx，此時(shí)f(x)=ex-cosx>0，所以函數(shù)f(x)在(0,+)上沒有零點(diǎn).又f(0)=0，下面只需證明函數(shù)f(x)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).構(gòu)造函數(shù)g(x)=f′(x)=ex+sinx，則g′(x)=ex+cosx.當(dāng)時(shí)，g′(x)>0，所以函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增.因?yàn)閒′(0)=1，由零點(diǎn)存在定理知，存在使得f′(t)=0，且當(dāng)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)t0，所以函數(shù)f(x)在x=t處取得極小值，則f(t)

點(diǎn)評(1)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程是基本題型，只需求出f(x0)和f′(x0)，然后利用點(diǎn)斜式寫出所求切線的方程即可；

(2)利用分類討論思想，當(dāng)x>0時(shí)，ex>cosx來說明函數(shù)f(x)在(0,+)上沒有零點(diǎn)，并利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)f(x)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合f(0)=0，可證明函數(shù)f(x)在)上有兩個(gè)零點(diǎn).

五、sinx、cosx或tanx與對數(shù)函數(shù)的和或差相結(jié)合

例6 函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù).

證明：f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)0ln(1+x)，∴f(x)>0；

③當(dāng)x1f(x1)，∴f(x)>0；

④當(dāng)x>2π時(shí)，∵ln(1+x)>lne=1，sinx≤1，∴f(x)>0.

故f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)評此題是2019年高考理數(shù)全國Ⅰ卷第20題第(2)問，用分類討論的方法結(jié)合求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點(diǎn)存在定理可證得.

六、 sinx、cosx或tanx與分式函數(shù)的積或商相結(jié)合

點(diǎn)評(1)先對函數(shù)求導(dǎo)，再求切線的斜率寫出切線方程，即得切線的縱截距.

七、形如f(x)=Axmsinx+Bxncosx+C (A、B、C∈R，m、n∈N*)

點(diǎn)評根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的解析式可判斷f′(x)為偶函數(shù)，利用偶函數(shù)圖象性質(zhì)及函數(shù)圖象的特點(diǎn)即可選出正確答案.

八、sinx、cosx或tanx與其他函數(shù)的和差積商相結(jié)合

總之，這類三角混合題的求解，無論如何變化，都離不開函數(shù)單調(diào)性的研究，因此在備考中就應(yīng)該緊緊圍繞這個(gè)中心問題，熟練掌握函數(shù)求導(dǎo)公式、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具研究單調(diào)性的方法. 進(jìn)行分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練和總結(jié).