汪 杰

(湖北省孝感市孝昌縣第二高級(jí)中學(xué) 432900)

極值點(diǎn)偏移在高中數(shù)學(xué)的引入，能夠更直觀地解決所學(xué)的函數(shù)問題，為學(xué)生們提供更便捷的解題思路，讓學(xué)生能夠快速地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，有利于學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).本文著手這一角度，對導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極值以及最值問題中的應(yīng)用進(jìn)行介紹.

一、函數(shù)極值概述

1.極值點(diǎn)偏移的判斷定理

對于一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，在它的區(qū)間(a,b)之間只有一個(gè)極大值/極小值點(diǎn)x0，假設(shè)該方程的兩個(gè)根是x1、x2，其中存在關(guān)系a

情況1：如果f(x1)x0或者是(x1+x2)/2

因?yàn)閷τ诳蓪?dǎo)函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)極大(小)值點(diǎn)x0，則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增/單調(diào)遞增區(qū)間為(a，x0)，單調(diào)遞減/單調(diào)遞增區(qū)間為(x0，b)，另外又因?yàn)榇嬖赼2x0-x2，即(x1+x2)/2>x0或者是(x1+x2)/2

情況2：如果f(x1)>f(2x0-x2)，那么(x1+x2)/2>x0或者是(x1+x2)/2

因?yàn)閷τ诳蓪?dǎo)函數(shù)y=f(x)，在區(qū)間(a,b)上只有一個(gè)極大(小)值點(diǎn)x0，則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增/單調(diào)遞增區(qū)間為(a，x0)，單調(diào)遞減/單調(diào)遞增區(qū)間為(x0，b)，另外又因?yàn)榇嬖赼x0，所以結(jié)合f(x1)2x0-x2/x1<2x0-x2，即(x1+x2)/2x0，得出函數(shù)y=f(x)極小值/極大值點(diǎn)x0右偏/左偏.

2.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟

第一步，確定函數(shù)定義區(qū)間，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo).第二步，求出f′(x0)=0的根.第三步，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)來將函數(shù)定義域順次劃分為若干小開區(qū)間，并整理成表格，針對導(dǎo)數(shù)方程根兩端的值符號(hào)進(jìn)行判斷，左正右負(fù)為極大值，左負(fù)右正為極小值，如果左右不改變符號(hào)，那么該函數(shù)在這個(gè)根處沒有極值.

3.函數(shù)極值注意事項(xiàng)

(1)極極值的運(yùn)用能夠更快速地解決函數(shù)問題.但極值是一個(gè)局部的概念，僅針對所要解決的函數(shù)問題運(yùn)用極值進(jìn)行函數(shù)的區(qū)間判斷，通過分析與計(jì)算明確函數(shù)的最大值和最小值，但并不能說明這點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)就是最大的或者最小的；

(2)極值點(diǎn)偏移指的是對于單極值函數(shù)來說，因?yàn)樗暮瘮?shù)極值點(diǎn)左右增減速度有所不同，所以函數(shù)圖象就不具備一定的對稱性.若函數(shù)的左右不改變符號(hào)，那么可以說函數(shù)在這個(gè)定義區(qū)間內(nèi)沒有極值.

二、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的方法

1.求出函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)x0；

2.構(gòu)造一元函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

3.確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；

4.根據(jù)F(0)=0，判斷F(x)的符號(hào)，進(jìn)一步確定f(x0+x)、f(x0-x)的大小關(guān)系[3].

三、運(yùn)用判定定理判定極值點(diǎn)偏移的運(yùn)用策略

1.構(gòu)造函數(shù)法

構(gòu)造對稱函數(shù)(主要適用于用判定定理2)判斷極值點(diǎn)時(shí)

(1)求出函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)x0；

(2)構(gòu)造一元差函數(shù)F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)；

(3)確定函數(shù)F(x)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間；

(4)根據(jù)F(0)=0，判斷F(x)的符號(hào)，進(jìn)一步確定f(x0+x)、f(x0-x)的大小關(guān)系.

2.構(gòu)造比較函數(shù)

(主要適用于用判定定理1或者定義)判斷極值點(diǎn)時(shí)

(1)把x1+x2轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)；

(2)設(shè)t=x2/x1、t=ln(x2/x1)、t=x2-x1、t=ex2-x1等.

3.不等式放縮

極值點(diǎn)偏移的有關(guān)問題中，函數(shù)中如果存在ex、lnx的式子時(shí)，很難用到基本不等式，所以需要利用平均不等式或者是指數(shù)不等式，采用不等式放縮法求解.

在對數(shù)平均的定義中，設(shè)a=em，b=en，則有E(a，b)=(em-en)/(m-n)(m≠n)，且E(a，b)em-en(m=n)，根據(jù)對數(shù)平均不等式e(m+n)/2≤E(a，b)≤(em+en)/2，此不等式為指數(shù)不等式.

本文針對極值點(diǎn)偏移問題及運(yùn)用策略分別展開詳細(xì)闡述，總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師需要讓學(xué)生能夠掌握利用極值點(diǎn)偏移思想來對函數(shù)進(jìn)行求解，這樣有利于學(xué)生對于函數(shù)極值問題在進(jìn)行解題時(shí)更加準(zhǔn)確和快速，而極值點(diǎn)偏移貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，當(dāng)學(xué)生對于函數(shù)問題能夠有更深層次地理解和應(yīng)用，那么有利于整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí).