葉 煉

(廣東省鶴山市鶴華中學(xué) 529700)

普通高中課程標準教科書對法向量是這樣定義的：如果a⊥α，那么向量a叫平面α的法向量.

運用法向量這一工具來處理立幾中求角和距離等問題，可以避開了立幾傳統(tǒng)解法的較為繁瑣的推理，從而降低思維難度，更使解題方法模式化，解答過程流暢、簡潔，易于掌握.

運用法向量解題，主要利用下面三個定理：(為了節(jié)省編幅，定理證明略)

定理2若直線與平面法向量的夾角為α，則線面所成的角θ滿足sinθ=|cosα|.

定理3若二面角兩個面的法向量分別為n1、n2，則二面角(銳角)的平面角θ滿足cosθ=|cos〈n1,n2〉|.

例1已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，點E是CC1的中點，點F是BD1的中點.

(1)證明EF為BD1與CC1的公垂線；

(2)求點D1到面BDE的距離.

解(1)(略)

(2)以D為原點，分別以DA、DC、DD1為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則D(0，0，0)，B(1，1，0)，E(0，1，1).

∴s=1,t=-1，故n=(1，1，1),|n|=3.

(1)求A1B與平面ABD所成的角的正弦值；

(2)求點A1到平面ABD的距離.

解(1)如圖，建立以C為原點，分別以CA、CB、CC1為x軸,y軸,z軸的空間直角坐標系O-xyz，設(shè)A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，0，0)，A1(a，0，2)，B1(0，a，2)，C1(0，0，2)，D(0，0，1).其中令A(yù)C=a>0.

設(shè)A1B與平面ABD所成的角為θ，則

(1)求四棱錐S-ABCD的體積；

(2)求面SCD和面SAB所成二面角的正切值.

解(1)(略)

設(shè)平面SCD的法向量為n=(s，t，1)，

∴s=2,t=-1.

例4如圖ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點.

(1)求三棱錐D1-DBC的體積；

(2)證明BD1∥面C1DE；

(3)求面C1DE與面CDE所成二面角的正切值.

解(1)(2)(略)