曹素萍

【摘要】引導(dǎo)學(xué)生展開尋“理”的學(xué)習(xí)探究過程，可以幫助學(xué)生真正理解和掌握這一知識(shí)。感知性質(zhì)之原理、體會(huì)驗(yàn)證方法之學(xué)理、尋悟性質(zhì)之算理，學(xué)生在尋“理”中不僅體會(huì)到了知識(shí)的本質(zhì)和科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，還能發(fā)展理性思維能力，根植理性精神。

【關(guān)鍵詞】尋理 知識(shí)本質(zhì) 理性思維

《分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)》這節(jié)課是學(xué)生在學(xué)習(xí)了商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的約分和通分、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的基礎(chǔ)，是分?jǐn)?shù)教學(xué)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。教材先讓學(xué)生通過看圖寫分?jǐn)?shù)、折紙操作找分?jǐn)?shù)，感受分子、分母不同的分?jǐn)?shù)中分?jǐn)?shù)的大小可以相等。再觀察分子、分母的變化，從而歸納出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。最后要求學(xué)生用整數(shù)除法中商不變的規(guī)律說明分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，加深對(duì)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的理解，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。教學(xué)中，大部分教師都按教材的編排進(jìn)行教學(xué)，學(xué)生也能掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，但因?yàn)闋恳^多，學(xué)生未必真正理解分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)思考力的培養(yǎng)也是有缺失的。

筆者在執(zhí)教這一課時(shí)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生自主展開尋“理”的學(xué)習(xí)探究過程，從而幫助學(xué)生深刻體會(huì)知識(shí)本質(zhì)，掌握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，發(fā)展理性思維能力，根植理性精神。

一、復(fù)習(xí)猜想，感知性質(zhì)之原理

數(shù)學(xué)猜想是人的思維在探索數(shù)學(xué)規(guī)律、本質(zhì)時(shí)的一種策略，是一種創(chuàng)造性的思維方式。它能縮短解決問題的時(shí)間，獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的機(jī)會(huì)。猜想不是胡思亂想，而是建立在已有事實(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想，能調(diào)動(dòng)學(xué)生探究的熱情，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和探索精神。

師：（板書：商不變的規(guī)律）什么是商不變的規(guī)律？

生：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），商不變。

師：分?jǐn)?shù)與除法有哪些聯(lián)系？

生：分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于被除數(shù)，分母相當(dāng)于除數(shù)，分?jǐn)?shù)值相當(dāng)于商，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號(hào)。

師：結(jié)合商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，猜想一下分?jǐn)?shù)中可能會(huì)有什么規(guī)律？

生：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或除以相同的數(shù)，0除外，分?jǐn)?shù)值不變。

師：（板書學(xué)生猜想的內(nèi)容）如果請(qǐng)你們給這個(gè)規(guī)律取個(gè)名字，可以叫它什么？

生：分?jǐn)?shù)值不變的規(guī)律。

原理是帶有普遍性的、最基本的，可以作為其他規(guī)律的基礎(chǔ)規(guī)律。整數(shù)除法中，商不變的規(guī)律既是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的原理。五年級(jí)的學(xué)生已具有一定的知識(shí)遷移和類推的能力，所以很容易就猜想到分?jǐn)?shù)值不變的規(guī)律（即分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)），猜測(cè)的同時(shí)也初步感知了性質(zhì)的原理。猜想是否正確、這個(gè)規(guī)律是不是叫“分?jǐn)?shù)值不變的規(guī)律”，都不重要，重要的是這個(gè)規(guī)律是學(xué)生自主猜測(cè)的結(jié)果，模糊和不確定性更增強(qiáng)了自主驗(yàn)證的需求。

二、合作探究，體會(huì)驗(yàn)證方法之學(xué)理

“尋”，是追尋、尋求、尋根究底，這里兼有“循”之意。尋“理”既指學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中自主地尋找學(xué)科知識(shí)的“原理”，亦指在活動(dòng)中學(xué)會(huì)遵循學(xué)科的學(xué)習(xí)方法之“學(xué)理”，數(shù)學(xué)猜想和驗(yàn)證就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方法。而驗(yàn)證活動(dòng)不僅要關(guān)注教材本身蘊(yùn)含的知識(shí)目標(biāo)，更要關(guān)注的是驗(yàn)證的過程和方法。如何讓驗(yàn)證分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的方法更科學(xué)、合理呢？

1.正反舉例驗(yàn)證

師：大家準(zhǔn)備怎樣驗(yàn)證自己的猜想呢？

生1：可以先寫一個(gè)分?jǐn)?shù)，將它的分子和分母同時(shí)乘或除以一個(gè)相同的且不等于零的數(shù)，得到一個(gè)新的分?jǐn)?shù)，再用學(xué)過的方法證明這兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小相等。

生2：我準(zhǔn)備先找到兩個(gè)大小相等的，分子、分母不同的分?jǐn)?shù)，再觀察分子和分母是否同時(shí)乘或除以了相同的數(shù)。

師：大家想到的方法都很好，正向和反向驗(yàn)證更能增加結(jié)論的說服力。典型的分?jǐn)?shù)更具代表性，所以建議大家用來驗(yàn)證的分?jǐn)?shù)最好既有真分?jǐn)?shù)，又有假分?jǐn)?shù)。

學(xué)習(xí)小組合作驗(yàn)證，填寫研究小結(jié)（A或B），匯報(bào)交流。

2.演繹推理驗(yàn)證

師：通過剛才正反驗(yàn)證，你們得出的結(jié)論是什么？

師：分?jǐn)?shù)有無數(shù)個(gè)，你們剛才只驗(yàn)證了幾十個(gè)分?jǐn)?shù)。幾十個(gè)分?jǐn)?shù)有這樣的規(guī)律，所有分?jǐn)?shù)都一定有這樣的規(guī)律嗎？

生：……

師：有沒有更具有概括性、更合理的方法來驗(yàn)證呢？

（學(xué)生思考）

生：我們猜想的規(guī)律是從商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系而來，能不能用它們來證明分?jǐn)?shù)值不變的規(guī)律呢？

師：?jiǎn)柕煤茫∽屛覀冇米帜副硎緮?shù)來試一試。（師生共同驗(yàn)證，師相機(jī)板書）

師：分子和分母同時(shí)除以相同的數(shù)怎么驗(yàn)證？（指名學(xué)生驗(yàn)證）

師：這樣驗(yàn)證時(shí)，哪些字母不能為零？為什么？

生：b和m都不能為零，因?yàn)樗鼈兪欠帜负统龜?shù)。

師：孩子們，現(xiàn)在我們可以確定這個(gè)規(guī)律是正確的嗎？這個(gè)規(guī)律在數(shù)學(xué)上還有一個(gè)自己的名字，叫“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”。

科學(xué)的驗(yàn)證方法有操作驗(yàn)證、舉例驗(yàn)證和推理驗(yàn)證等。推理包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過不完全歸納和類比等推測(cè)某些結(jié)果。學(xué)生前面的猜想和舉例驗(yàn)證的過程都是合情推理，它看似合情合理，實(shí)際上卻有可能是錯(cuò)的。演繹推理是從已有的事實(shí)和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。用商不變的規(guī)律和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系來驗(yàn)證分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)是演繹推理，因?yàn)橥评硪罁?jù)的規(guī)律和關(guān)系是真的，所以結(jié)論一定是正確的。學(xué)生在驗(yàn)證活動(dòng)中合作探究，不僅尋找到了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)之“原理”——商不變的規(guī)律，而且體驗(yàn)到了科學(xué)的驗(yàn)證方法之“學(xué)理”——正反舉例驗(yàn)證和合情推理與演繹推理結(jié)合驗(yàn)證。如此設(shè)計(jì)，不僅讓學(xué)生在知其然中知其所以然，更能讓學(xué)生感受到理性思維的嚴(yán)謹(jǐn)與縝密，發(fā)展了理性精神。

三、練習(xí)提升，尋悟性質(zhì)之算理

史寧中教授在《注重“過程”中的教育》這本書里提出：“課不要反復(fù)講，而要把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)……應(yīng)該把理給講出來。”這里的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是數(shù)學(xué)道理。那么，分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的本質(zhì)是什么？或者說運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)時(shí)的算理又是什么呢？教材中練習(xí)十的第1題要求孩子們?cè)诜礁窦埳贤可硎?2/24，再思考還可以表示幾分之幾。我是這樣引導(dǎo)學(xué)生思考尋“理”的。

師：涂色部分還可以表示幾分之幾？

生：6/12、 4/8、 3/6、 2/4、1/2?。（師板書）

師：這些分?jǐn)?shù)大小相等嗎？為什么？

生1：都表示同一個(gè)涂色部分。

生2：分子和分母的變化相同。

師：從分子、分母的變化中，你能發(fā)現(xiàn)什么？

生：方格紙平均分的份數(shù)擴(kuò)大或縮小幾倍，涂色部分的份數(shù)也就擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。

師：這里分?jǐn)?shù)的什么變了，什么沒變？

生：分子、分母變了，分?jǐn)?shù)的大小不變。

師：分母變了，也就是什么變了？分子變了，也就是什么變了？

生1：分母變了，就是分?jǐn)?shù)單位變了。分子變了，就是分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)變了。

生2：我發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)單位變大了，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)就少了;分?jǐn)?shù)單位變小了，分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)就多了。

生3：分?jǐn)?shù)單位擴(kuò)大多少倍數(shù)，個(gè)數(shù)就縮小相同的倍數(shù);分?jǐn)?shù)單位縮小多少倍數(shù)，個(gè)數(shù)就擴(kuò)大相同的倍數(shù)。

教學(xué)中，通過數(shù)形結(jié)合學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了：平均分的份數(shù)的變化和涂色部分的份數(shù)的變化是相同的;分子、分母變了，本質(zhì)上就是分?jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)變了，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)單位和分?jǐn)?shù)單位個(gè)數(shù)的變化是有規(guī)律的，所以分?jǐn)?shù)的大小不變。

總之，在小學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平上激發(fā)他們合理、有度、有效地追尋數(shù)學(xué)之“理”，不僅能使學(xué)生的認(rèn)知更通透，更能促成師生關(guān)系、教學(xué)結(jié)構(gòu)等方面的深度變革。

（作者單位：江蘇省南通市通州區(qū)通州小學(xué)）